2021版高考北师大版文科数学一轮复习核心考点·精准研析2.2函数的单调性与最值

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核心考点·精准研析
考点一函数的单调性(区间)
1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减少的是 ( )
A.y=1-x2
B.y=x2+2x
C.y=-
D.y=
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是
( )
A.(-∞,0]
B.[0,1)
C.[1,+∞)
D.[-1,0]
【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增加的;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减少的,在区间[-1,+∞)上是增加的;对于选项C,在区间(-∞,0]上是增加的;对于选项D,因为y==1+.易知其在(-∞,1)上为减少的.
2.选D.函数有意义,则x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).
3.选D.特例法:设f(x)=x,则y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
在定义域上无单调性,A错;则
y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.
4.选B.因为g(x)=
作出函数图像如图所示,
所以其递减区间为[0,1).
判断函数单调性的方法
(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.
(2)图像法:从左往右看,图像逐渐上升,单调递增;图像逐渐下降,单调递减.
(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则.
(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.
其中(2)(3)一般用于选择题和填空题.
【秒杀绝招】
T2用特例法、排除法也可求解.
考点二函数的最值(值域)
【典例】1.函数y=的值域是________.
2.函数y=x+的最小值为________.
3.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=________. 世纪金榜导学号
【解题导思】
序号联想解题
1 由,想到分离常数
由x+,想到利用函数的单调性或换元法求2
解
3 由-,想到反比例函数的单调性
【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x2≥1,所以0<≤2,所以-1<-1+≤1,所以函数的值域为(-1,1].
答案:(-1,1]
2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数
y=x+在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时,y取最小值,即y min=1.
方法二:令t=,且t≥0,则x=t2+1,
所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.
配方得y=+,
又因为t≥0,所以y≥+=1.
故函数y=x+的最小值为1.
答案:1
3.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上是增加的,
所以即解得a=.
答案:
求函数最值的常用方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.
(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
1.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.[0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,2)
【解析】选A.当x<1时,0<2x<2,
当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0,
综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2).
2.函数y=的值域为________.
【解析】y===3+,
因为≠0,所以3+≠3,
所以函数y=的值域为{y|y≠3}.
答案:{y|y≠3}
3.(2020·汉中模拟)设0<x<,则函数y=4x(3-2x)的最大值为
________.
【解析】y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.因为∈,
所以函数y=4x(3-2x)的最大值为.
答案:
考点三函数单调性的应用
命题精解读1.考什么:(1)考查比较大小问题、与抽象函数有关的不等式和已知单调性求参数解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.
2.怎么考:与基本初等函数、单调性、最值交汇考查函数的单调性、图像等知识.
3.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.
学霸好方法1.比较大小问题的解题思路
(1)利用函数的单调性判断两个值的大小.
(2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用1,0,-1等.
2.与抽象函数有关的不等式问题的解题策略
判断函数的单调性,并利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式,然后求解即可.
3.已知函数单调性求参数值的解题策略
依据函数的图像或单调性得出含有所求参数的不等式或方程,解该不等式或方程即可.
比较大小问题
【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设
a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>c>b
D.b>a>c
【解析】选D.因为f(x)的图像关于x=1对称,所以f=f,又由已知可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2)>f>f(e),即
f(2)>f>f(e).
与抽象函数有关的不等式问题
【典例】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有
f=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0. 世纪金榜导学号
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)-f<2.
【解析】(1)f(1)=f=f(x)-f(x)=0.
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明:设0<x1<x2,则由f=f(x)-f(y),得f(x2)-f(x1)=f,因为
>1,所以f>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)因为f(6)=f=f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化为f(x2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以
解得0<x<4.
已知函数单调性求参数值问题
【典例】(2020·蚌埠模拟)若f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为________. 世纪金榜导学号
【解析】由题意知,
解得所以a∈.
答案:
1.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a的值为( )
A.-2
B.2
C.-6
D.6
【解析】选C.由图像易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是,令-=3,所以a=-6.
2.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( )
A.(8,+∞)
B.(8,9]
C.[8,9]
D.(0,8)
【解析】选B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),
由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),
因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
所以有解得8<x≤9.
3.函数y=f(x)在R上是增函数,且y=f(x)的图像经过点A(-2,-3)和
B(1,3),则不等式|f(2x-1)|<3的解集为________.
【解析】因为y=f(x)的图像经过点A(-2,-3)和B(1,3),所以
f(-2)=-3,f(1)=3.又|f(2x-1)|<3,所以-3<f(2x-1)<3,即
f(-2)<f(2x-1)<f(1).因为函数y=f(x)在R上是增函数,所以
-2<2x-1<1,即即所以-<x<1.
答案:
(2020·北京模拟)函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{a n}满足a n=f(n),n ∈N*,
①函数f(x)是增加的;
②数列{a n}是递增数列.
写出一个满足①的函数f(x)的解析式________.
写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式________.
【解析】由题意可知:在x∈[1,+∞)这个区间上是增加的函数有许多,可写为:f(x)=x2.
第二个填空是找一个数列是递增数列,而对应的函数不是增加的,可写为:f(x)=.
则这个函数在上单调递减,在上单调递增,
所以f(x)=在[1,+∞)上不是增加的,不满足①.
而对应的数列为:a n=在n∈N*上越来越大,属递增数列.
答案:(答案不唯一)f(x)=x2f(x)=
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莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。