数阵的一种求和技巧

１ ０
了；
３ ２
３ ２ １
ｎ
１ ｎ ２ １ ． －ｌ 一
Ⅱ ３ 一 …
・ 一
…
・－ －
…
・・ ・
５
５
４
４
（ ） 图 ３所示 ： Ａ Ｂ， ２如 设 ， Ｃ处 的三个数 分别为 ａ ｂ ，， ｃ。 ６ ｃ ） 三边的公差 分别 为 ｄ ＝ （ 十 ＋ ＝１ ， 。 ， ｄ＝
个２＋ ｎ１
ａｂ
变 ２ Ｉ＞ 否在数，ｆ ｆ成 题 若Ⅱｌ 存整 ６ ＞ Ｉ是 使 ｌ
立， 若存在 。 ６ 求 的值 （ 或范围） 若不存在 ， ； 请说 明理 由．
证 法 ６ 设
） ＝
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， 因为 Ｉ ＜ｌ Ｉ ＜１ 所 以 。Ｉ ， ６ｌ ，
ｆ）［ ，上 单 递 函 ， ｏ 景 （在一１ 是 调 增 数且 ） ， ｘ ｌ］ ＝
又 ） 一 ，］ 在［ １ １ 上连续且单调递增 ．
‘
．
变 １ ｌ＜ 否在 数，Ｉ Ｉ成 题 若Ⅱ１ 存 整 ６ ＜ ｌ是 使 ｌ
立， 若存在 ， ｂ 求 的值 （ 或范围） 若不存在 ， ； 请说明理 由 ．
。
，－ ） ｆ （１ ） １， ）
一
・ ． ．
ｌ ｔ ｌ ｌ＋ Ｉ１ 立 ． ＜＜ 即 １ ＜ 成
ｎ
ｎ—ｌ ｎ Ｈ—ｌ ｎ—ｌ … ・ － … ｎ—ｌ ｎ－１ ｎ－１ ｎ—ｌ －１ ・
ｎ ｎ ｎ ｎ … … … ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
把数阵①按逆时针旋转 １ 度后得数阵② ： ２ ０
ｎ
ｎ—ｌ
ｎ
ｎ 一２ ｎ －３ ｎ －２
… …
… ｎ ３ ｎ ２ ｎ － － —ｌ
ｎ
（ ｎ …＋ ＋ ） ＋ ＋ ＋ 凡
— —
… ｎ ４ ｎ ３ ｎ ２ ｎ １ － 一 一 －
一
把上面所有 的数写成下面数阵①的形式 ：
把数阵②按逆时针旋转 １０度后得数阵③ ： ２
／一） （ １ ＝一（ ＋ ６ 一 — ＝ １ ８ （ ＋ ） ０， １ ｎ ） ｎ ｂ 一（ ＋ ） １ ６ ＜
ｌ ＜ ＜ ， ．
１ Ｉ成 ． ＜立 １
４ 引 申
生动活泼 ， 又可减轻学生负担 ， 阔视野 ， 开 能够让 学生在 解 决具体的数学 问题 时做到既有 型 ， 又无型 ； 有型似无 型， 无型胜有 型 ， 收到举一反 三 ， 解类 旁通 效， 逐步达
到学习数学的更高境界 ， 这也正是素质教育所要求 的 ．
２ ４
十‘擞 ・ （ ｌｑｙ 期・ 中 ７ ７ ２ｏ－ ５ 高 版） ｏ ；
・ 解题研究 ・
数 阵的 一种 求和技巧
３２０ 福建 惠安高 级 中学 ６ １０
教学过程 中， 笔者 发现 了一种数 阵的求 和方法 ， 即 利用数阵的某些对称 特征 ， 把数 阵绕 式子 的中心旋转 ，
３
２
杨苍洲
１
２
３
４ ４
３
４
进行相 加求 和 ， 这里笔 者把 它称为旋转相加 求和法 ， 下
面笔 者 以课 本 中一 个 常见 结论 的 证 明 和 ２ ０ ０９年 湖 南 理
４
科卷第 ｌ 题 为例介绍这种有趣的求和方法． ５ 例 １ 求 Ｓ ＝１＋ ３ ＋ …＋ ２２ ＋ ４＋ 本题是一个较常见的求和公式的证明， 课本的证明方 法是采用数学归纳法进行证明的 ， 但是数学归纳法是在知 道结果的条件下进行的 ， 如果我们不知道结果那就没办法 应用数学归纳法进行求解得 ， 我们该如何进行求和呢？
ｎ一１ ， ｌ 一１
／ ／ ，
・
・
．
Ｓ。 １ ＝ ＋２ ＋ ＋ ３ ４ ＋… ＋ ｎ
＝
１ ＋ （ ＋ ） ＋ （ ＋ ＋ ） ＋ （ ＋ ＋ ＋ ） ＋ … ＋ ２２ ３ ３３ ４４４４
— —
２ ３ ｌ ２ ３
４ ４
５ ５
・ 一 ・・ ・
（ 稿 日期 ： １０ １ ） 收 ２ ０２ ０ ０
教材 中的例题大 都是具有 完备的条 件和 固定 结论
的封闭题 ， 基本上 是为 了使学生 巩固所学知识 ， 引起认
知结构的同化而设计的 ， 为了使数学教学更 多地体现探 究精神 ， 本题可作如下变化 ．
・
解题研究 ・
ｎ
十‘擞 ・ （ １年 ５ 高 版 ７ ７ ２０ 第 期・ 中 ） ０
ｂ ａ －
，
ｔ ｎ ｒ ２ ｎ一３ ｒ － ｌ ， —ｌ 卜－ 卜４
，， ｄ＝
把数 阵① ， ， ② ③对应位置 的数 字相加 ， 得每个位 置
都是 ２ ＋ ， ｎ １ 则共有 １ ２ ３ …＋ ： ＋ ＋ ＋ ｎ 丛
３ ｜： Ｓ －（ ２ ），．ｓ ： ．． ．
由， ：１ （ ） 得 ＝ １ 口 （ 一 ） ０ （一 ） １ｂ＞ ，
） １ ＝－ 得 ＝ （ ＋ ） １ ６ ＜ ， 一 １ ０ （ ＋ ） ０
・
－
变 ３ ＞ 否 在 数，ｆ Ｉ成 题 若 Ｉ是 存 整 ６ ＜ ｌ 使 ｌ
立， 若存在 ， ｂ的值 （ 求 或范 围）若不存在 ， ； 请说明理由 ．
把 图 ２中对应点相加 得 ， 则每 个位置对应 的数字 之
ｎ—ｌ ｎ
和 为 １共 有 １ ２ ３ ４ ０个 １ ．３ （ ） ０ ．１ ３ ＝ ， ＋ ＋ ＋ ＝１ ，．ｆ ３ ＝１ ，． （ ） ・ ．厂
，一２ ｝ 一 ｎ一３
， ｌ ｎ ｎ—ｌ
ｎ—ｌ ７一２ １ ，
变 ４ ＜ 否 在 数，Ｊ ｆ成 题 若 ｌ是 存 整 ６ ＞ ｌ 使 ｌ
立， 若存在 ， ｂ 求 的值 （ 或范围） 若不存在 ， ； 请说明理 由 ．
数学教学离不开解题 ， 但教师要在打好学生“ 双基” 的基础上 ， 进行适度的开放式 教学 ． 既可使学生学得 这
．
．
１Ａ 一 １ｎ （ ＋ ） ０ （－ ） １ ｂ ］ ， － （＋ ）１６ ］ ） １ａ （一 ） ＝ｌ