多项式与多项式的乘法

（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
实质上是转化为单项式×多项式 的运算
不要漏乘；正确确定各符号；结 果要最简
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
[义务教育教科书]( R J ) 八 上 数 学 课 件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第3课时 整式的除法
导入新课
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法， 对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：去括号，得40x－8x2=34－8x2+6x， 移项，得40x－6x=34， 合并同类项，得34x=34， 解得 x=1.
拓展提升
8.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加
上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确
的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为A，则
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴A＝4x2－2x＋1.
am ÷an=am-n
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n.
知识要点 同底数幂的除法
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
想一想：am÷am=? (a≠0) 答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b
满足（ C ）
A．a=b
B．a=0
C．a=-b
D．b=0
4.判别下列解法是否正确，若错，请说出理由.
（1） (2x 3)( x 2) ( x 1)2; 解：原式 2x2 4x 6 ( x 1)( x 1)
（2）x6·（x ）（4 ）=x10 相当于求x10÷x6=？
3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？
（1）28 ÷23=25 =28-3 （2）x10÷x6=x4 =x10-6
同底数幂相除，底数 不变，指数相减
(3) 2m+n ÷2n=2m =2(m+n)-n
4. 试猜想：am ÷an=? (m,n都是正整数,且m>n)
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
情境引入
问题 木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98 ×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
木星的质量约为地球质量的 (1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该 如何计算?
地球 木星
讲授新课
一 同底数幂的除法
x2 7x 7.
(x 1)(x 1)
(x2 2x 1)
5.计算：(1)(x−3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x−2y).
解: (1) (x−3y)(x+7y), =x2 + 7xy −3yx−21y2
= x2 +4xy-21y2；
（2） (2x +5 y)(3x−2y) = 2x•3x −2x• 2y+5 y• 3x−5y•2y = 6x2 −4xy + 15xy−10y2 = 6x2 +11xy−10y2.
(m+n)(a+b)= 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 设a+b=X，则 (m+n)(a+b)= mX+nX = m(a+b)+n(a+b)
= ma+mb+na+nb
实际上，把(a+b)看成一个整体，有：
(m+n)(a+b) = m(a+b)+n(a+b) = ma+mb+na+nb
知识要点 多项式乘以多项式
例5 如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开 式中不含x3项，求n的值．
解：(－3x)2(x2－2nx＋2) ＝9x2(x2－2nx＋2) ＝9x4－18nx3＋18x2.
∵展开式中不含x3项，∴n＝0.
方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算 顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示 这一项的系数为0.
如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值
3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)其中a＝－2.
解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4) ＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2 ＝－20a2＋9a. 当a＝－2时， 原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的 符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
2x2 4x 6 ( x2 2x 1)
2x2 4x 6 x2 2x 1 x2 2x 5;
3x
（2）(2 x 3)( x 2) ( x 1)2 ;
解：原式 2x 2 4x 3x 6 (x 2 12 )
2x2 7x 6 x2 1
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2 结果中有同类项
=3x2+6x+x+2
的要合并同类项.
=3x2+7x+2； (2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2；
计算时要注意符 号问题.
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2
针对训练 计算： (1)(－xy)13÷(－xy)8； (2)(x－2y)3÷(2y－x)2； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2. 解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y； (3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
5.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).
解：原式=( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x) ·(-xy2) =-2x3 y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2 =-7x3 y+3x2y2.
6.解方程：8x（5－x）=34－2x（4x－3）.
由上面计算的结果找规律，观察填空： (x+p)(x+q)=__x_2+_(_p_+_q_)_x+___p_q___.
例4 已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28，其中a、b、m 均为正整数，你认为m可取哪些值？它与a、b的取 值有关吗？请你写出所有满足题意的m的值.
解：由题意可得a+b=m,ab=28. ∵a,b均为正整数，故可分以下情况讨论： ①a=1,b=28或a=28,b=1，此时m=29;
拓展提升 8.小东找来一张挂历画包 数学课本．已知课本长a厘 米，宽b厘米，厚c厘米， 小东想将课本封面与封底 的每一边都包进去m厘米， 问小东应在挂历画上裁下 一块多大面积的长方形？
b
数学 a 八年级(上) 姓名：____________ c
b
b
a
m m
c 面积：(2m+2b+c)(2m+a)
∴A·(－3x2)＝(4x2－2x＋1)(－3x2)
＝－12x4＋6x3－3x2.
[义务教育教科书]( R J ) 八 上 数 学 课 件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习引入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 将单项式分别乘以多项式的各项， ② 再把所得的积相加.
当a＝－1，b＝1时， 原式＝－8＋2－15＝－21.
例3 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，
也不含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，
∵积不含x2的项，也不含x的项，
∴22ab

3b 0, 3 0,
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?
① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定.
课堂小结
整式 乘法
单项式× 单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
单项式× 多项式
实质上是转化为单项式×单项式
四点 注意
（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都 包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项 相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负 （2）不要出现漏乘现象 （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减 （4）对于混合运算，注意最后应合并同类项
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分 别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2
1
1
2
3
4
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
3 4
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析
例1 计算:(1)(3x+1)(x+2)；
(2)(x-8y)(x-y)；
6.化简求值： (4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2.
解:原式=16x2 12xy 12xy 9 y2 6x2 10xy 3xy 5y2
22x2 7xy 14 y2
当x=1,y=-2时， 原式=22×1-7×1×（-2）-14×(-2)2
=22+14 -56 =-20.
7.解方程与不等式：
(1)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1)；
(2)(3x+6)(3x-6)＜9(x-2)(x+3)．
解：(1)去括号，得x2-5x+6+18=x2+10x+9， 移项合并，得15x=15， 解得x=1； (2)去括号，得9x2-36＜9x2+9x-54， 移项合并，得9x＞18， 解得x＞2 ．
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3.
计算时不能漏乘.
注意 需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题; (3)最后结果应化成最简形式.
例2 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－ a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
解：(2m+2b+c)(2m+a) = 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块 （4m2+2ma+4bm +2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.
课堂小结
多项式× 单项式
运算 法则
注意
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项分别乘以另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加
∴a b

9 4 3 2
, .
练一练：计算 (1)(x+2)(x+3)=__x_2_+_5_x_+_6__； (2)(x-4)(x+1)=__x_2_-_3_x_-4___； (3)(y+4)(y-2)=__y_2_+_2_y_-8___； (4)(y-5)(y-3)=__y_2_-_8_y_+_1_5_.
②a=2,b=14或a=14,b=2，此时m=16; ③a=4,b=7或a=7,b=4，此时m=11. 综上所述，m的取值与a,b的取值有关，m的值为 29或16或11.
当堂练习
1.计算(x-1)(x-2)的结果为（ D ） A．x2+3x-2 B．x2-3x-2 C．x2+3x+2 D．x2-3x+2 2.下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（ B ） A．(x-4)(x+3) B.(x-6)(x+2) C．(x-4)(x-3) D.(x+6)(x-2)
探究发现
本题直接利用同底数 幂的乘法法则计算
1.计算：
（1）25×23=？28 （3）2m×2n=？2m+n
2.填空：
（2）x6·x4=?x10
本题逆向利用同底数 幂的乘法法则计算
（1）（ 2 ）（ 5 ）×23=28
相当于求28 ÷23=？ （3）（ 2 ）（ m ）×2n=2m+n
相当于求2m+n ÷2n=？
规定 a0 =1(a ≠0) 这就是说，任何不1）x8 ÷x2 ;
(2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：（1）x8 ÷x2=x8-2=x6;
(2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3. 方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是 否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看 作一个整体，再根据法则计算．