广东省汕尾市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

广东省汕尾市2019-2020学年数学高二下期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ） A ．540
B ．300
C ．180
D ．150
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．1622+
B ．1522+
C ．19
D ．14+223．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01a
b
<
< B ．a b c c > C ．0ac bc -<
D ．ln
0a b
> 4．已知命题p ：x R ∃∈，sin x a >，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤
C ．1a =
D ．1a <
5．函数2y x 在点1x =处的导数是（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．(6
1x 的展开式中有理项系数之和为（ ）
A ．64
B ．32
C ．24
D ．16
7．某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩X 近似服从正态分布(
)2
84,N σ
,且
()78840.3P X <≤=,则()90P X ≥=( )
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.5
8．将点M 的极坐标1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
化成直角坐标为（ ） A ．31,2⎛- ⎝⎭ B ．(1,3)--
C ．13,22⎛ ⎝⎭
D ．3)
9．有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )
A ．18
B ．15
C ．16
D ．25
10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足(3)(1)f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，
则(105.5f ）
=（ ） A ．
12
B ．
32
C ．32
-
D ．
52
11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13515a a a ++=，416S =，则4(a = ) A ．9
B ．8
C ．7
D ．2
12．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin :sin A B =2cos c C ==，则ABC ∆的周长为__________．
14．已知函数32()4f x x ax =++恰有两个零点，则实数a 的值为___________ 15．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________． 16．由曲线3
y x =与1
3
y x =围成的封闭图形的面积是__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-． (1)解不等式()24f x x <-+；
(2)若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求2221
m n m n
+++
的取值范围．
18．已知函数32()2f x x x x a =+++．
（1）若()f x 在0x =处的切线过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在[]2,0-上存在零点，求a 的取值范围．
19．（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝
1
2
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．
20．（6分）已知函数f （x ）＝x ＋，且此函数的图象过点（1，5）．
（1）求实数m 的值并判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断函数f （x ）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．
21．（6分）设*N n ∈,圆n C :222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ,与曲线y x =
1
(,)n N y n
,直线MN 与x 轴的交点为0(),n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>; (3)设123n n S a a a a =+++
+,111123
n T n =+
+++,求证:27352n n
S n T -<<. 22．（8分）已知数列{}n a 中，12a =，122n
n n a a +=++。

（1）证明数列{
}2
n
n a -为等差数列，并求数列{}n
a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】
分析：将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．
详解：将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，
分成1,1,3时，有33
53C A ⋅种分法；
分成2,2,1时，有323
5332
2
C C A A ⋅⋅种分法,
由分类计数原理得，共有32333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种不同的分法，故选D ． 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 2．B 【解析】 【分析】
判断几何体的形状几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【详解】
由题意可知几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，如图：
几何体的表面积为：12
61222222115222
++⨯+⨯+⨯⨯=+ 故选B ． 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】
解：由于a ＞b ＞0，
1a
b
>，A 错；
当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错； a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．
ln
ln10a
b
>= ，D 对； 故选D ． 【点睛】
本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 4．A 【解析】
分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出a 的值.
详解：命题p ：x R ∃∈，sin x a >，则p ⌝为,sin x R x a ∀∈≤，p ⌝是真命题，即sin x a ≤恒成立，sin x 的最大值为1，所以1a ≥ 故选A.
点睛：含有一个量词的命题的否定
5．C 【解析】 【分析】
求导后代入1x =即可. 【详解】
易得2y'x =,故函数2y x 在点1x =处的导数是212⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数的运算,属于基础题. 6．B 【解析】
分析：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数为整数，求出r 的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．
详解：（）6的展开式的通项公式为 T r+1=6r
C •2r
x ，令2
r
为整数，可得r=0，2，4，6，
故展开式中有理项系数之和为 06C +26C +46C +6
6C =25=32， 故选：B ．
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数 7．A 【解析】 【分析】
根据正态分布的对称性求出P （X≥90），即可得到答案． 【详解】
∵X 近似服从正态分布N(84,σ2),
()78840.3P X <≤=.
∴()()1
902
120.30.2P X -⨯=≥=， 故选：A. 【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出． 【详解】
x ＝cos
13
2π
=
，y ＝sin 3π=，
可得点M 的直角坐标为1,22⎛ ⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．B 【解析】
4名会唱歌的从中选出两个有246C =种,3名会跳舞的选出1名有3种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞
的有一个,两组不能同时用他,∴共有36315⨯-=种，故选B. 10．D 【解析】 【分析】
先由题得出函数的周期，再将变量调节到()2,3范围内进行求解． 【详解】
因为(3)(1)f x f x +=-，所令1x t -=，则1x t =+，所以可得(4)()f t f t +=，即(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4T
=，
则()()()(105.5426 1.5 1.5 2.5f f f f =⨯+==-）
， 又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当23x ≤≤时，()f x x = 所以()()5
2.5 2.52
f f -== 故选D 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括周期性，奇偶性，解题的关键是先求出函数的周期，属于一般题． 11．C 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，求得1a 和d 的值，即可求出． 【详解】
由13513615a a a a d ++=+=，125a d ∴+=，
4143
4162
S a d ⨯=+
⨯=， 解得11a =，2d =，则4137a a d =+=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用。

12．B 【解析】 【分析】
把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等． 【详解】
由题意知，
把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人， 即从9个人中选一个正组长， ∴甲被选定为正组长的概率是19
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．3+【解析】
由题意sin :sin A B =b =，且c =
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-===
，得a =3b =
所以ABC ∆的周长为3a b c ++=+点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 14．3- 【解析】 【分析】
令()0f x =，得24a x x -=+，转化为直线y a =-与函数()()240g x x x x
=+≠的图象有两个交点，于此可得出实数a 的值。

【详解】
令()3
2
4f x x ax =++，得24a x x -=+
，构造函数()
2
4
g x x x =+，其中0x ≠， 问题转化为：当直线y a =-与函数()()24
0g x x x x
=+≠的图象有两个交点，求实数a 的值。

()333
88
1x g x x x -=-='，令()0g x '=，得2x =，列表如下：
()g x
极小值3
作出图象如下图所示：
结合图象可知，3a -=，因此，3a =-，故答案为：3-。

【点睛】
本题考查函数的零点个数问题，由函数零点个数求参数的取值范围，求解方法有如下两种：
（1）分类讨论法：利用导数研究函数的单调性与极值，借助图象列出有关参数的不等式组求解即可； （2）参变量分离法：令原函数为零，得()a g x =，将问题转化为直线y a =与函数()y g x =的图象，一般要利用导数研究函数()y g x =的单调性与极值，利用图象求解。

1552 【解析】 【分析】
设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】
复数z 满足方程||2z i +=， 设,z a bi =+（,a b ∈R ），
则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；
()()
2
2|2||2|2z a bi a b -=-+=-+()2,0的距离，
由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，
2. 【点睛】
本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 16．1 【解析】
分析：由于两函数都是奇函数，因此只要求得它们在第一象限内围成的面积，由此求得它们在第一象限内交点坐标，得积分的上下限．
详解：3
y x =和1
3y x =的交点坐标为(1,1),(0,0),(1,1)--，
∴1
1
3
3
2()S x x dx =-⎰4431
312()044x x =-1=．
故答案为1．
点睛：本题考查用微积分定理求得两函数图象围成图形的面积．解题关键是确定积分的上下限及被积函数． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）()5,3-；（2）7[)2
++∞ 【解析】
分析：(1)由()24f x x <-+知2124x x ---<，分类讨论即可求解不等式的解集； (2)由条件，根据绝对值的三角不等式，求得其最小值2a =，即2m n +=，再利用均值不等式，求得
21m n
+的最小值，进而得到2221
m n m n
+++
的取值范围． 详解：(1)由()24f x x <-+知2124x x ---<，解集为()5,3-．（过程略）……5分 (2)由条件得()()212321232g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，
其最小值2a =，即2m n +=．
又
()(2112112133222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以(222121172322
m n m n m n m n ++++=+++≥++=
，
此时4m =-2n =．
故2221m n m n +++的取值范围为72⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭
．……………………10分 点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及均值不等式的应用求最值，其中熟记含绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式、均值不等式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力． 18．（1）1a =；（2）[]0,2．
【解析】
【分析】
（1）求出()f x '，然后求出()0f '和()0f ，然后表示出切线方程，把点()2,3代入方程即可取出a
（2）由32()20f x x x x a =+++=得322a x x x =---，然后求出32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-的值域即可.
【详解】
解：（1）∵2()341f x x x '=++．∴()01f '=，
又∵()0f a =，
∴()f x 在点0x =处的切线方程为000y
f f x ，即y a x -=．
由过点()2,3得：32a -=，1a =．
（2）由32()20f x x x x a =+++=， 得322a x x x =---，
令32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-．
∴2()341g x x x '=---，
令0g x ，解得1x =-，或13
x =-． 易知()22g -=，()00g =，()10g -=，1
4()327
g -=， 由()f x 在[]2,0-上存在零点，得a 的取值范围为[]
0,2．
【点睛】
若方程()a f x =有根，则a 的范围即为函数()f x 的值域.
19．（1）
2
（2）4 【解析】 试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三
边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意
这个隐含条件的使用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝. 故PA ＝72
. 5分 （2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.
在△PBA 3sin sin(30)
αα=︒-， 3＝4sin α.
所以tan α＝3tan ∠PBA 3分 考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
20．（1）m ＝1，奇函数；（2）f （x ）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m 的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式()()f x f x =-或者()()f x f x -=-．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将()f x 看做()h x x =与()m g x x
=两个函数的和，由(),()g x h x 的奇偶性判断出()f x 的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的12x x <时，
12()()f x f x -的正负来确定函数在区间上的单调性．
试题解析：（1）（1）∵f （x ）过点（1，5），
∴1＋m ＝5⇒m ＝1．
对于f （x ）＝x ＋4x
，∵x≠2， ∴f （x ）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），关于原点对称． ∴f （－x ）＝－x ＋4x
-＝－f （x ）． ∴f （x ）为奇函数． 另解：()()()f x g x h x =+，4(),()h x x g x x ==
，定义域均与()f x 定义域相同，因为(),()h x g x 为奇函数，因此可以得出()f x 也为奇函数．
（2）证明：设x 1，x 2∈[2，＋∞）且x 1<x 2，
则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋14x －x 2－24x ＝（x 1－x 2）＋()2112
4x x x x -＝()()1212124x x x x x x --． ∵x 1，x 2∈[2，＋∞）且x 1<x 2，
∴x 1－x 2<2，x 1x 2>1，x 1x 2>2．
∴f （x 1）－f （x 2）<2．
∴f （x ）在[2，＋∞）上单调递增．
考点：1、求函数表达式；2、证明函数的奇偶性；3、证明函数的单调性．
21．（1
）2221
11(),n n n R R n n n n
+=+==
,11n a n =+(2)
根据题意，由于111n
+>>,*1,12n n N a n ∴∀∈=+> 进而得到证明． (3) 先证
:当01x ≤
≤时,11)12x x +≤≤+
.然后借助于不等式关系放缩法求和比较大小．
【解析】
试题分析：（1）根据点1
(N n 在圆n C 上，在直线MN 上，即可求得n a ，再利用函数的单调性即可得证12n n
a a +>>
；（2）首先证明不等式11)12x
x +≤≤+
，进而可证得13222n a n n
+≤<
+，累加求和即可得证． 试题解析：（1）由点N
在曲线y =
1(N n ，又点在圆n C 上，则222111()n n R
n n n +=+=，n R =从而直线MN 的方程为1n n x
y a R +=，由点1(
N n 在直线MN 上得：1n x na
+=，将n
R =11n a n =++
∵111n +>1>，
∴*n N ∀∈，112n a n =+
+>，又∵1111
1n n +>+
+
>，∴11n a n
=++> 1111n a n +++=+；（
2）先证：当01
x ≤≤时，11)12x x +
≤≤
+，
事实上，不等式2211)1[11)]1(1)22x x x x x +≤+
⇔+≤+
≤+
22
222211)1)113)1)044
x x x x x x x x ⇔++≤+≤++⇔+≤≤，
后一个不等式显然成立，而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤，
故当01x ≤≤
时，不等式11)12x x +≤≤+
成立，
∴1111)12n n +≤+，
∴1132122n a n n n
+≤=+++(等号仅在1n =时成立)，
求和得：3222n n n n T S n T <<+
⋅，∴27352n n S n T -<<． 考点：1．数列的通项公式；2．数列与不等式综合题．
【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2．重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3．数学归纳法．
22． (1)见证明；22(1)n n a n =+- (2) 1222n n S n n +=+--
【解析】
【分析】
（1）由题设条件，化简得到()()112
22n n n n a a ++---=，即可证得数列{}2n n a -为首项为0，公差为2
的等差数列，进而求得通项公式．
（2）由（1）可得22(1)n n a n =+- ，利用求和公式即可得出． 【详解】
（1）因为()()112
22n n n n a a ++---=，且1120a -=， 所以数列{}2n n a -为首项为0，公差为2的等差数列.
所以202(1)n n a n -=+-，即22(1)n n a n =+-.
（2）因为()122122(1)22122
n n n n n S n n +--=+=+---， 所以1222n n S n n +=+--.
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。