数字图像的边缘检测研究论文

本科毕业论文
数字图像边缘检测研究
RESEARCH ON EDGE DETECTION OF DIGITAL IMAGE
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数字图像的边缘检测研究
摘要
边缘检测是数字图像处理技术中比较基础的一部分，其技术的本质上就是通过对图像特征中不连续的部分进行读取判断。

在这门技术中有很多决定性的因素影响到数字图像处理的结果。

边缘检测是属于图像分割技术的分支，也是数据图像处理中重要的一部分。

边缘检测结果的好坏影响着接下来的图像分析理解过程，所以数字图像边缘检测在数字图像工程中有着十分重大的影响力。

本文结合实例对数字图像的边缘检测技术整体进行了介绍，重点的介绍了Roberts 算子、Sobel算子、Laplacian算子和LOG算子几种梯度算子。

详细的介绍了目前应用最普遍的Canny算法流程与原理。

同时给出了各算子处理图像的效果图，直观的展示了各算子的检测边缘的效果。

经过实验对比得出结论，Roberts算子易于实现但检测效果不理想。

Sobel算子对边缘的定位比较准确和完整，但是精确度下降。

Laplacian算子边缘定位准确但受噪音影响较大。

LOG算子受噪音影响较小但需要平衡滤波和精确定位边缘的问题。

Canny算法能减少边缘的的中断，细化边缘，滤除噪声，检测效果强于梯度算子。

关键字：数字图像处理，边缘检测，高斯滤波，Canny算法
RESEARCH ON EDGE DETECTION OF DIGITAL IMAGE
Abstract
Edge detection is the basic part of digital image processing technology.Essentially, edge detection technique is characterized by the image of the discontinuous section reads and judgment. Therefore, edge detection is part of image segmentation branch.Edge detection result is impact on the image understanding process,and the digital image edge detection has a very important influence in the digital image project.
This paper introduces the edge detection of digital image with the specific example. We stress on introducing some gradient operator such as Roberts operator, Sobel operator, Laplacian operator and log operator.Besides, we will discuss the canny algorithm in detail about its process and principle. We will also show the effect picture of each operator in order to display the result of each operator visually.
After the comparison of the experiment, the conclusion is drawn that the Roberts operator is easy to implement but the detection effect is not ideal.. The Sobel operator is more accurate and complete to the edge location, but the accuracy is decreased.The edge location of Laplacian operator is accurate, but it is affected by the noise. The LOG operator is less affected by noise but requires a balanced filtering and precise positioning of the edge problem.Canny algorithm can reduce the edge of the interruption, thinning edge, filtering noise, detection results are stronger than gradient operator.
KEYWOEDS：Digital image processing, edge detection, Gaussian, Canny algorithm
目录
第1章绪论 (1)
1.1图像处理的历史背景 (1)
1.2数字图像处理的概念 (1)
第2章边缘检测的概述 (4)
2.1 边缘的概念 (4)
2.2常见边缘类型 (5)
2.3边缘检测过程 (6)
第3章常见的梯度算子边缘检测 (7)
3.1 Roberts算子 (7)
3.2 Sobel算子 (8)
3.3 Hueckel算法 (10)
3.4 Laplacian算子 (10)
3.5 LOG算子 (11)
3.6梯度算子比较 (13)
第4章基于Canny算法的边缘检测 (18)
4.1 Canny算法边缘检测的基本原理 (18)
4.2 Canny算子三项准则 (18)
4.3 边缘检测滤波器对性能指标的影响 (19)
4.4 尺度对性能指标的影响 (20)
4.5 Canny算法检测流程 (21)
4.6 Canny算法图像处理结果 (24)
结论 (25)
参考文献 (26)
致 (27)
第1章绪论
1.1图像处理的历史背景
随着时代的发展，计算机技术的迅猛发展，数字化这一概念越来越深入我们的生活中。

当我们想要了解世界的变化不是去拿起最新的报纸期刊而是通过网络浏览新信息时。

当我们不用人力站岗转而去使用监视器时，当我们不再使用光学相机与胶卷时，数字化的图像就已经深深地扎根在我们的日常生活当中。

而对于这些数字化图像的运用方式就成了一种十分重要的技术。

从60年代末开始，不断完善的图像处理技术逐渐成为一种新兴学科。

随后几十年的研究与发展，让数字图像处理的理论和方法进一步的完善，有了更广泛的应用围。

而随着近几年计算机和个相关领域的迅猛发展，多媒体技术的广泛应用，数字图像处理从专门领域的学科，逐渐演变成了一种科学研究和人机界面的工具。

图像处理的早期目的主要是是为了改善图片质量。

输入质量相对较低的图像，输出经处理后质量经过改善的图像。

数字图像技术第一次成功的应用应当归属于背锅喷气动力实验室的尖端实验。

1964年，经过图像处理的天文照片为人类之后的航天事业迈出了扎实的一步。

数字图像处理技术在60年代末和70年代初开始运用到医学图像、地球遥感检测和天文等领域，而一直发展到今天，图像处理技术则主要被应用于人类分析[1]。

随着电子技术飞跃式的发展，图像处理技术跨入了一个全新的境界。

在集合了数字技术、光学技术、生物成像技术、现代视觉理论等各种各样的技术之后，数字图像处理技术已经将触须深入了五花八门的不同行业之中。

在这些年当中有许多发达国家投入许多人力、物力到图像处理的研究里，取得了很多非常重要学术成果。

在众多的研究成果之中最具有代表性的研究成果就是七十年代末MIT的Marr所提出的视觉计算理论，计算机视觉领域之后数十年的研究发展都根据Marr的理论思想所指导。

图像理解虽然在理论的研究上已经获得了一定的进展，但图像理解本身就是一门十分困难的技术，其研究现在还是困难重重，因人类对于自身视觉的详细过程的理解还不透彻，所以计算机视觉还有待进一步的探索和发现。

1.2数字图像处理的概念
数字图像处理是指借用数字计算机处理数字图像，值得提及的是数字图像是由有限的元素组成的，每个元素都有一个特定位置和幅值，这些元素被称为图像元素、画面元素或像素[1]。

在人类的各种感知当中，视觉感知占有了相当大的比重，所以图像毫无疑问的在人类认知当中占据了极大的比重。

不过人类的视觉感知仅仅只有部分处于可见光波段的电
磁波才能被识别，但是机器不同，专门用于研究的机器能接受绝大多数种类的电磁波，不论是不可见光还是超强穿透力的伽马射线。

所以机械能对超出人类视觉认知的图像源进行处理，这些图像源包括但不限于x射线成像、红外视觉成像和电子望远镜等技术产生的图像。

所以图像处理技术能运用到各行各业当中。

相比于图像处理技术，对数字图像的图像处理技术的兴起要晚得多，这主要是因为计算机技术在数学计算方面的应用相对较晚。

利用计算机处理数字图像的技术应用主要能分为五个阶段：
1. 辅助设计阶段：80年代中期，计算机在图形方面的运用开始推广，此时主要用于工程制图和数学线形图。

此时代的处理特点是以点和线为主的图形，在色彩方面的参数经常被忽略。

2. 图形应用的初级阶段：80年代后期，随着微型计算机的大批上市和普及应用，软件也不断地在丰富，此时已经有不少的学习用和游戏用软件出现。

当时微机中主打类型是8位机——APPLE机，图形主要应用在游戏画面和教学画面的回执上，图形以矢量图形为主，由程序所控制。

3. 平面设计初级阶段：80年代末，随着鼠标触摸笔等硬件的投入应用，特别是后来窗类软件图形界面投入应用，逐渐出现了良好的人机交互界面，图形美工门不再需要学习编程，造福了广大非计算机专业人员。

热升华、蜡转印、彩色激光等高质量的输出设备陆续出现出现。

图形的输出问题也得到了较大程度上的解决，计算机在图形处理方面的优势开始显现。

4. 平面设计的普及阶段：90年代初，随着计算机价格的不断下降和硬件水平不断提升，PC已经能够胜任普通的平面设计工作，因此平面设计来是出去神秘的面纱，得以普及。

普通用户能使用专业软件进行绘图创作。

5. 多媒体技术广泛运用阶段：到了90年代中后期，计算机技术有了很大发展，多媒体技术开始普遍应用，数字图像已经从过去的单一平面走向了多媒体时代，从静止的画面处理甚至逐渐延伸到动态捕捉系统。

数字图像处理的体系趋向完善。

从图像处理到计算机视觉之间的划分并没有明确的分界线，在这个连续的统一体当体能划分出三种区分——低级处理（如如降低噪声、对比度增强、图像锐化等。

特点是输入输出都为图像）、中级处理（包括诸如图像分类、提取特征等。

特点是输入图像输出特征）和高级处理（对图像进行总体的理解等。

特点是实现对图像的理解）。

图象处理，图像分析，机器视觉，计算机视觉是彼此紧密关联的学科。

如果你翻开带有上面这些名字的教材，你会发现在技术和应用领域上他们都有着相当大部分的重叠。

这些学科的基础理论大致是相同的，然而由于关注的领域不同，各研究机构，学术期刊，会议及公司往往把自己特别的归为其中某一个领域，于是各种各样的用来区分这些学科的特征便被提了出来。

数字图像处理( Digital Image Processing )：数字图像处理是指通过计算机对数字图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。

（主要研究二维图像）
图像分析(Image analysis)：图像分析一般利用数学模型并结合图像处理的技术来分析底层特征和上层结构，从而提取具有一定智能性的信息。

（主要研究二维图像）机器视觉( Machine vision)：机器视觉就是用机器代替人眼来做测量和判断。

机器视觉系统是指通过机器视觉产品（即图像摄取装置，分 CMOS 和CCD 两种）将被摄取目标转换成图像信号，传送给专用的图像处理系统，根据像素分布和亮度、颜色等信息，转变成数字化信号；图像系统对这些信号进行各种运算来抽取目标的特征，进而根据判别的结果来实现高效的机器控制或各种实时操作。

（主要用于工业领域）图像的边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，属于图像处理中的中级处理。

图像分析和理解的第一步往往是边缘检测。

边缘是图像灰度跃迁的反应，标志着不同区域的分割，包含了大量的图像信息，是图像的重要特征。

第2章边缘检测的概述
2.1 边缘的概念
边缘检测是很多数字图像处理技术的基础之一，再次我们先要了解边缘检测的概念。

从直观上来看，每条边缘都是一组互相连接的像素的集合。

这些像素处于两个区域的边界上。

从根本上讲，如我们将要看到的，一条边缘是一个“局部”概念，而由于其定义方式，一个区域的边界是一个更具有整体性的概念。

为了给边缘更合理的定义需要具有以有意义的方式测量灰度级跃迁的能力。

从直观上来看，以建立边缘的建模为开始，我们能进入到一个有意义，并且能测量灰度级的形式体系当中。

理论上，理想的边缘应当如图2-1(a)的模型。

按照此模型生成理论上的边缘是连续的像素的集合（垂直方向），所有的像素都处在灰度级跃迁的垂直变化上。

(a) (b)
图2-1 (a)理想数字模型 (b)斜坡数字边缘
事实上，由镜头等光学系统拍摄取样和其他种类的图像采集系统的误差与不完善让得到的图像上的边缘是模糊不清晰的，模糊的程度由采集系统的能力、环境、设备的操作或者其他相关因素所决定。

从结果来看，边缘被更准确的模拟成“类斜面”的剖面。

如图2-1(b)，倾斜部分的长度与边缘模糊的程度时能成比例的。

在此模型中，不再有一像素宽的线条。

与之前不同，此时边缘上的点是被斜坡包含的任意点，使边缘成为一组相连的点的集合。

跃迁过程的斜坡整体的长度既是图像边缘的“宽度”。

图像的模糊程度会决定斜坡的倾斜度，而倾斜度又会决定斜坡的长度。

从这里看，模糊的边缘会使边缘变粗，清晰的边缘会使边缘变细。

下图2-2(a)显示的是一放大的斜坡数字边缘，图2-2(b)为两区间边缘的水平灰度级剖面线，同时画出了灰度级剖面线的一阶导数和二阶导数。

当沿着剖面线从左到右是，在进入斜面和离开斜面的过程中，一阶导数为正数。

在灰度级不发生改变的区域一阶导数为0。

在进入跃变区的跃迁点二阶导数的值为正，在离开跃变区的跃迁点二阶导数的值为负。

当灰度变化速率不变时二阶导数的值为0。

由此我们得到一个结论：一阶导数能用来检测图像中的某点是否处在边缘上，二阶导数的正负能判断图像的明暗方向和灰度变化方向。

在此同时，我们还发现二阶导数有两条附加性质：
1. 对于每条边缘，其二阶导数都会生成两个不同的值（此特性经常成为影响边缘
检测的因素）
2. 二阶导数正负极值的虚构连线将会在边缘中心附近穿过零点。

（此特性对确定模糊边缘中心位置有极大帮助）
灰度刨面图
一阶导数
二阶导数
(a) (b)
图2-2 (a)一条垂直边缘所分割的两个不同区域 (b)边界附近的细节，现实了一个灰度级泡面
与一阶与二阶导数刨面图
在此详细的说明了一维水平的边缘剖面，二维水平面甚至多维水平面边缘的原理与此相同，对于更详细的过程就不在此讨论了。

2.2常见边缘类型
在日常的生活学习中，我们所遇到的图像边缘通常能被分为三类，除了在上面详细说明的阶梯型边缘(Step-edge)外还有屋顶型边缘(Roof-edge)和线性边缘(Line-edge)两种，如图2-3。

其中屋顶型边缘的特征是灰度值从边缘开始慢慢增长，达到一定数值后开始慢慢减少。

线性边缘的特性与两者都不相同，他的灰度值会从一个级别猛的跳向另一个级别，然后在跳回。

阶梯型边缘
屋顶式边缘线性边缘
图2-3 常见边缘类型
2.3边缘检测过程
通常边缘检测的过程如图2-4所示：
1. 对原始图像进行平滑处理，得到平滑后的数字图像。

2. 通过各种算法增强图像，得到图像的灰度图像。

3. 通过阈值分割，将灰度图像变成二值图像，标注出边缘，就能得到边缘图像。

微分边缘检测算法在检测过程中主要是基于图像的一阶导数和二阶导数来进行计算，因倒数对于噪声十分敏感，使噪声还能更大程度上会影响到检测效果，所以在图像检测前需利用滤波器来滤除噪声。

大部分的滤波器在滤除噪声的过程中会引起边缘强度损失，而利用各种算法增强图像边缘能弥补滤波过程所造成的损失，所以在增强边缘和降低噪声之间需要找到一个适合的平衡点。

原始图像平滑滤波边缘增强阀值分割图像边缘
图2-4 边缘检测过程
第3章 常见的梯度算子边缘检测
3.1 Roberts 算子 Roberts 算子是一种最简单的算子，是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子，他由Roberts 在1963年的博士毕业论文Machine Perception of 3D solids 中提出，属于最早分析边缘和图形学的文章。

一份数字图片的一阶导是个基于二维梯度的近似值。

图像),(y x f 在),(y x 位置的梯度定义为：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇∂∂∂∂y f x f y x G G f (3-1) 通过向量分析能让我们知道，梯度向量是指向f 在坐标）（y x ,位置的最大变化率的
方向。

在边缘检测的过程里，向量的大小是很重要的一种量，用f ∇表示。

在[]2122
)(y x G G f mag f +=∇=∇里给出了f ∇方向上每增加一单位距离之后),(y x f 的值的最
大的变化率。

通常也把f ∇称作梯度。

另一个重要的量是是梯度向量的反响。

令,)x y α(表示向量f ∇在),(y x 处的方向角。

经过向量分析可以得到：
)arctan(),(x
y G G y x =α (3-2) 在此，角度是用x 轴作为基准来度量的。

边缘在),(y x 处的方向与此点梯度向量的方向所垂直。

算子（如图3-2）：
)(59z z G x -= (3-3)
和
)(68z z G y -= (3-4)
图3-2 Roberts 算子模板
3.2 Sobel 算子
Roberts 算子非常的通俗易懂，但可惜的是它的效果并不是很好，于是人们在实践总结中又创造出新的算子。

1968年，Irwin Sobel 博士在一次博士生课题讨论会提出了Sobel 算子。

Sobel 算子这个在数字图像处理和机器视觉教程中出现多年的算子从来没有由公开论文发表，仅在1973年Irwin Sobel 博士出版的一本专著《Pattern Classification and Scene Analysis 》的脚注里作为注释出现和公开的。

Sobel 算子使用水平与垂直两个有向算子（一般称为模板）来进行检测。

在检测的过程中，首先要用水平和垂直的两种算子依次对图像进行卷积处理，结果可以输出在忽略边界问题下与原图等大的两个矩阵A1和A2，用来表示检测对象中同一位置的两种偏导数。

然后在将A1和A2相对应的位置上的数做平方根处理。

不过在实际操作中这样做并不能让人满意，这是因为计算平航和与平方根所需的计算量很大，所以在此经常用绝对值相对梯度地近似来计算：
y x G G f +≈∇ (3-5)
这个公式不但能简化计算，而且它仍然能保持同灰度级变化的相对变化。

在计算个个像素的梯度值后可通过法制处理得到所需的边缘图像。

整体过程应当为：
()
222)()(Thresh P M P M E H V >⊗+⊗= (3-6)
Sobel 算子所使用的模板如下(如图3-3)：
图 3-3 Sobel 算子模板
我们来做一个假设，图像的灰度值满足下面关系：
γβα++=y x M y x , (3-7)
而梯度是）（βα,。

当像素邻域的像素值为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++-++-++-+-+--γβαγαγβαγβγγ
βγβαγαγβα (3-8) 水平方向的算子和垂直方向的算子将定义为：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a b a a b a 000 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---a a b b a a 000 (3-9) 这样不但能满足电路设计上的需要的同时还能满足对称性。

使用两个模板对像素进行卷积，可以得到方向导数：
)2(2b a g x +=β (3-10)
)2(2b a g y +=α (3-11)
所以此像素位置上的梯度大小为
22)2(2βα++=b a G (3-12)
122=+）（b a (3-13)
此时a 和b 的取值可以是61==b a （只计算六份权值）或者是81=a 和41b =（八份权值），具体应取多少要由图像的噪声来决定。

Sobel 算子的实现比较容易，Sobel 边缘检测器检测时因为Sobel 算子引入了局部平均，使其受噪声的影响会更小，但还是对噪音敏感，若想通过对图像的平滑处理改善检测质量，又会出现平滑处理将一些连在一起的边缘一起平滑掉，进而影响对图像边缘的定位。

3.3 Hueckel 算法
Hueckel 在1971年左右提出的Hueckel 算法，其基本思想是利用图像数拟合与理想的边缘模型
0)(x x x x if if h b b x S ≥<⎩⎨⎧+= (3-14) 若模拟式精确的，则在此位置应存在一个和这个理想边缘参数相同的边缘。

既若原图像和)(x s 的平均平方误差E 低于阈值，则此处即为边缘。

[]dx x s x M E x x ⎰+--=1
1200)()( (3-15) 在二维的情况下，图像情况变得极为复杂，拟合曲面定义成
ρθθρθθ≥+<+⎩
⎨⎧+=)sin()cos()sin()cos(),(y x y x if if h b b y x s (3-16) E 将定义成
[]⎰⎰-=D
dxdy y x s y x M E 2
),(),( (3-17) 3.4 Laplacian 算子
Laplacian （拉普拉斯算子）算子是种利用二阶导数来检测的边缘检测算子，是线性移不变的算子，是二阶导数的二维等效式。

),(y x f 的Laplacian 算子公式为：
22222
y f x f f ∂∂+∂∂=∇ (3-18) 在利用差分方程对x 方向和y 方向上的二阶偏导数能近似为：
]),[]1,[2]2,[(]),[(]),[(])
,[],[(22j i f j i f j i f x
j i f x i j i f x
j i f i j i f G x f x
x ++-+=∂∂-∂+∂=∂-+∂=
∂∂=∂∂ (3-19) 此近似式是用点[]1,+j i f 作为中心的，用1-j 代替j 后能得到
])1,[],[2]1,[(22-+-+=∂∂j i f j i f j i f x f (3-20)
他是以点[]j i ,为中心的二阶偏导数的近似式，同理有：
]),1[],[2],1[(22j i f j i f j i f x f -+-+=∂∂ (3-21)
把式3-18和式3-19合并，成为一个算子。

就成为用来表示近似Laplacian 算子的模板：
2010141010⎡⎤⎢⎥∇≈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3-22) 有时希望邻域中心点的权值更重，比如下面的模板就是一种基于这种思想的近似
Laplacian 算子： 21414204141⎡⎤⎢⎥∇≈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3-23)
当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点（均匀零区）。

原则上，过零点的位置精度可以通过线性插方法精确到子像素分辨率，不过由于噪声，以及由噪声引起的边缘两端的不对称性，结果可能不会很精确。

由于Laplacian 算子是二阶导数，因此它对于噪声有极高的敏感性，对于双边带梯度值函数，Laplacian 算子不易检测出边缘的方向，图片中的一些边缘会使Laplacian 算子产生双重的梯度值响应。

所以图像一般先经过平滑处理，把Laplacian 算子和平滑算子结合起来，使他生成一个新的模板。

3.5 LOG 算子
在之前我们介绍的梯度算子（Sobel 算子）和Laplacian 算子都是利用微分或者差分算法，所以对噪声的反应都十分敏感。

所以我们在进行边缘间的流程之前必须滤除噪声。

Marr 和Hildreth 两人把高斯滤波技术和Laplacian 边缘检测技术有机的结合在一起，就形成了一项新的算法——LOG(Laplacian-Gauss)算法。

因为Laplacian 算子对噪声十分的敏感，如果想要降低噪声对检测结果的影响，大部分都会优先对检测图进行平滑处理，之后再用Laplacian 算子进行检测边缘。

LOG 算子具体检测步骤如下所示：
1. 滤波处理：先将图像),(y x f 进行平滑滤波处理，根据人体视觉特性选用高斯函数作为滤波函数。

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)(21ex p 21
),(2222y x y x G πσπσ (3-24) 在上面公式中）（y x G ,是一个圆对称函数，函数能通过σ控制函数平滑的效果。

如果让图像）（y x G ,和),(y x f 两者卷积，能得到一平滑过后的图像：。