高中数学高考导数题型分析及解题方法(免费下载)

导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． f (x)x33x22
在区间
1,1
上的最大值是2
2．已知函数y
f ( x)x(x c)
2
在 x
2
处有极大值，则常数c＝6；
3．函数y
1 3x x
3
有极小值－ 1, 极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线y
4x x3在点1,
3
处的切线方程是y x 2
2．若曲线f ( x)
x
4
x
在 P 点处的切线平行于直线 3 x y
，则 P 点的坐标为（ 1，0）
3．若曲线 y x4的一条切线l
与直线
x
4 y8
垂直，则
l
的方程为4x y 3 0
4．求下列直线的方程：
（1）曲线y
x
3
x21
在 P(-1,1)处的切线；（ 2）曲线
y
x
2
过点 P(3,5)的切线；
解：（ 1）点
P(1,1)
在曲线
y x
3
x
2
1
上，y/3x2 2 x k y/ |
－
1
3
－
2 1
x
所以切线方程为y1x 1 ，即 x y20
（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A( x0 , y0) ，则 y0x02①又函数的导数为y/ 2 x
，
A( x , y )k y /
|
x x
2 x A( x , y )
所以过点的切线的斜率为0，又切线过、 P(3,5) 点，所以有
0 0000
y05x1x
05
2x00或3
②，由①②联立方程组得，y01y025
，即切点为（1， 1）时，切线斜率为
x0
k1 2x02;
；当切点为（5， 25）时，切线斜率为k22x0
10
；所以所求的切线有两条，方程分
别为y
12(x1)或 y2510( x
5)，即y
2x 1 或 y10x25
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
（Ⅰ）若函数
f ( x)在 x
2
处有极值，求
f ( x)
的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y f ( x)
在[ － 3， 1] 上的最大值；
（Ⅲ）若函数 y
f ( x)
在区间 [ － 2， 1] 上单调递增，求实数 b 的取值范围
解：（ 1）由
f (x)
x
3
ax
2
bx c,求导数得 f ( x) 3x
2
2ax b.
过
y f ( x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为：
y
f (1) f (1)(x 1),即 y ( a b c 1) ( 3 2a b)(x 1).
而过
y
f (x)上 P[1, f (1)]的切线方程为 y
3x 1.
3 2a b 3
即 2a b
0 ①
故 a
c 3
a c 3
②
∵
y
f ( x)在 x 2时有极值 ,故 f ( 2)
0, 4a b
12 ③ 由①②③得 a=2 ， b=－ 4， c=5
∴ f ( x)
x
3
2x
2
4x 5.
（ 2） f ( x)
3x
2
4x 4 ( 3x 2)( x 2).
3 x
2时, f (x)
0;当 2 x
2
时, f (x) 0;
当
3
当
2
x 时
, f (x) 0. f ( x) 极大
f ( 2)
13
3 1 又
f
(1) 4,
f (x)
在 [ － 3， 1] 上最大值是 13。

（ 3） y=f(x) 在 [ － 2，1] 上单调递增，又 f ( x) 3x
2
2ax
b,
由①知 2a+b=0。

依题意
f
( x)
在 [ －2， 1] 上恒有
f
( x)
≥ 0，即 3x
2
bx b
0.
x
b 1时 , f ( x)
min
f (1) 3 b
b
0, b 6
6
①当
；
x
b 2时 , f ( x) min
f ( 2)
12
2b b
0, b
②当
6
；
2
6
1时, f
12b b 2
0, 则0 b
6.
③当
b ( x) min
12
综上所述，参数 b 的取值范围是
[ 0,
)
2．已知三次函数
f (x) 3
2
c 在 x 1 和 x
1 时取极值，且
f ( 2)4
．
x ax bx
(1)求函数
y f ( x) 的表达式；
(2)求函数
y f ( x) 的单调区间和极值；
(3)若函数 g (x) f ( x m)4m (m0) 在区间 [ m 3, n] 上的值域为 [4,16]
，试求 m 、 n 应满足
的条件．
2
b ，解： (1)f( x)3x2ax
由题意得，1, 1 是3x22ax b 0 的两个根，解得，
a 0,
b 3 ．
再由 f ( 2)4
可得 c 2 ．∴ f (x)x3 3 x 2 ．
(2)f(x)3x233( x1)(x1) ，
当x
1 时，
f ( x)0
；当 x 1 时，
f ( x)
0 ；
当1x 1 时，f
(x)
；当 x 1 时，
f
( x)0 ；
当x
1 时，
f ( x)0
．∴函数f( x) 在区间 (,1] 上是增函数；
在区间[ 1,１]
上是减函数；在区间[1,
) 上是增函数．
函数f ( x)
的极大值是f (1)
0 ，极小值是
f (1) 4 ．
(3)函数g (x)
的图象是由
f (x) 的图象向右平移m 个单位，向上平移 4 m个单位得到的，
所以，函数 f ( x) 在区间 [3, n m] 上的值域为[
4 4m,16
4m]
（ m0 ）．
而 f ( 3)20 ，∴44m20 ，即 m 4 ．
于是，函数 f ( x) 在区间 [3, n 4] 上的值域为[
20, 0] ．
令 f ( x)0
得 x 1 或 x 2 ．由
f ( x)
的单调性知，1剟n4 2 ，即 3 剟 n 6 ．
综上所述，m
、
n
应满足的条件是：m 4 ，且 3 剟n 6 ．
3．设函数 f ( x) x( x a)( x b) ．
（ 1）若f ( x)
的图象与直线
5x y 8 0
相切，切点横坐标为２，且 f ( x) 在 x
1
处取极值，
求实数a, b
的值；
（ 2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数
f (x)
总有两个不同的极值点．
解：（ 1）
f
( x) 3x
2
2(a b)x ab.
由题意 f (2)
5, f (1) 0
，代入上式，解之得：
a=1，b=1．
（ 2）当 b=1 时， 令f
( x) 0得方程 3x
2
2(a 1) x a 0.
因4( a
2
a 1) 0,
故方程有两个不同实根
x 1
,x
2 ．
不妨设
x
1
x 2 ，由
f
'
( x) 3( x x 1 )(x
x 2 )
可判断 f '
( x)
的符号如下：
当 x x 1时，f '
( x) ＞０；当 x 1 x x 2时，f '
(x) ＜０；当 x x 2时，f '
(x) ＞０
因此
x 1
是极大值点，
x 2
是极小值点． ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数
f ( x)
总有两个不同的
极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是 f （ x ）的导函数，
f / ( x )
的图象如右图所示，则
f （x ）的图象只可能是（ D ）
（ A ）
（ B ）
（ C ）
（ D ）
1 x 3
4x
1的图像为
y
( A )
2．函数
3
y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4
2
2
2
2
-4 -2
-4 -2
o 2 4 x
o 2 4 x
-4 -2
y 2 4 x
o 2 4 x
-2 -2 -2
-2
-4
-4
-4
-4
3．方程 2x 3
6
x 2 7
0在 (0,2)内根的个数为
( B
) A 、0
B 、1 C
、 2
D
、 3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
f ( x)
1 x 3 2ax
2 3a 2
x b,0 a 1.
1．设函数
3
（ 1）求函数
f ( x)
的单调区间、极值
.
（ 2）若当
x
[ a
1, a
2]
时，恒有
| f ( x) | a
，试确定 a 的取值范围 .
解：（ 1） f ( x)
x
2
4ax 3a 2
= (x 3a)( x a) ，令 f ( x) 0 得 x 1 a, x 2 3a
列表如下：
x
（ - ∞，a ） a （ a ，3a ） 3a （ 3a ，+∞） f ( x) -
0 +
0 -
f ( x)
极小
极大
∴
f ( x)
在（ a ， 3a ）上单调递增，在（ - ∞， a ）和（ 3a ， +∞）上单调递减
f 极小 (x) b
4 a 3
3a 时，
f
极小
(x)
b
x a 时，
3
，
x
（ 2） f ( x)x 2
4ax 3a
2
∵
a
1
，∴对称轴 x 2a a 1，
∴
f ( x)
在 [a+1 ， a+2] 上单调递减
∴ f Max
(a 1)2 4a( a 1) 3a
2
2a 1 ， f min
( a 2) 2 4a(a 2) 3a
2
4a 4
依题 | f ( x) |
a
| f Max |
a ，
| f min |
a
即 | 2a
1| a,| 4a
4 | a
4 a 1
，又
0 a
1
[ 4
,1) 解得
5
∴ a 的取值范围是
5
2
2．已知函数 f （x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ 3
与 x ＝ 1 时都取得极值（ 1）求 a 、 b 的值与函数 f （ x ）的单调区间
（ 2）若对 x 〔－ 1， 2〕，不等式 f （ x ） c2 恒成立，求 c 的取值范围。

解：（ 1） f （x ）＝ x3 ＋ax2＋ bx ＋ c ， f （x ）＝ 3x2＋ 2ax ＋ b
－
2
12 － 4
a ＋
b ＝0
－
1
由 f （ 3 ）＝ 9 3 ， f （1）＝ 3＋2a ＋ b ＝0 得 a ＝
2
， b ＝－
2 f （x ）＝ 3x2－ x － 2＝（ 3x ＋ 2）（ x － 1），函数 f （x ）的单调区间如下表：
x
222
1（1，＋）
（－，－ 3 ）－ 3（－ 3 ，1）
f （x）＋0－0＋
f （x）极大值极小值
22
所以函数 f （x）的递增区间是（－，－ 3 ）与（1，＋），递减区间是（－ 3 ，1）1222
（ 2） f （ x）＝ x3－2 x2－ 2x ＋ c，x 〔－ 1， 2〕，当 x＝－3时， f （ x）＝27＋c
为极大值，而 f （ 2）＝ 2＋ c，则 f （ 2）＝ 2＋ c 为最大值。

要使 f （ x） c2（ x 〔－ 1， 2〕）恒成立，只需c2 f （ 2）＝ 2＋ c，解得 c－1 或 c 2题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a
=(
3
, － 1).
b
=(
2
,2).
（ 1）若存在不同时为零的实数k 和 t ，使x
=
a
+(t2－ 3)
b
，
y
=-k a +t b ， x ⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2) 据 (1) 的结论，讨论关于t的方程 f(t) － k=0 的解的情况 .
解： (1) ∵x
⊥
y
，∴
x y
=0即 [
a
+(t2-3)
b
] ·(-k
a
+t
b
)=0.
22
整理后得 -k a
+[t-k(t2-3)]
a b
+ (t2- 3) ·
b
=0
22
1
，即 k=
4
t(t2-3)
∵ a b =0，a=4，b =1，∴上式化为 -4k+t(t2-3)=0
11
(2) 讨论方程4
t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=
4
t(t2-3)与直线 y=k的交点个
数 .
33
于是 f ′ (t)=4
(t2-1)=
4
(t+1)(t-1).
令 f ′ (t)=0, 解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f ′ (t)、 f(t)的变化情况如下表：
t(- ∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞) f ′ (t)+0-0+
F(t)↗极大值↘极小值↗
1
当 t= － 1 时， f(t) 有极大值， f(t)极大值 = 2 .
1当 t=1 时， f(t)有极小值，f(t)极小值=－
2
1
函数 f(t)=4
t(t2-3)的图象如图13－ 2－ 1 所示，
可观察出：
11
(1)当 k＞2
或 k＜－
2
时 , 方程 f(t) － k=0 有且只有一解；11
(2)当 k= 2
或 k=－
2
时 , 方程 f(t)－ k=0 有两解；11
(3)当－2
＜ k＜
2
时 , 方程 f(t)－ k=0 有三解 .
题型七：导数与不等式的综合
1．设a
0,函数 f (x)x3ax 在[1,
)
上是单调函数 .
（ 1）求实数a
的取值范围；
（ 2）设x
≥1， f (x) ≥1，且
f ( f ( x
))x
0 ，求证：
f ( x
)x
0 .
解：（ 1）y
f(x)3x 2a,若f ( x)在 1,上是单调递减函数，则须
y
0,即a3x 2 , 这
样的实数 a 不存在 . 故f ( x)
在
1,
上不可能是单调递减函数 .
若 f ( x) 在1,上是单调递增函数，则 a ≤3x 2
，
由于x
1,
,故3x
2
3
. 从而 0<a≤ 3.
（ 2 ）方法 1 、可知f ( x)
在
1,
上只能为单调增函数 .若1≤
x
f (x
)
，则
f ( x0 ) f ( f ( x0 )) x0矛盾 ,若 1≤f ( x0 )x0 ,则 f ( f (x0 )) f (x0 ),即 x0 f ( x0 )矛盾，故
只有f (x
)x
0 成立.
方法 2 ：设
f ( x0 )u,则f (u)x0，x03ax0u, u3au x0 ,两式相减得
( x03u3 )a( x0u)u x0( x0u)( x02x0 u u21a)0,x
≥ 1,u ≥1，
x2x u u 23, 又0 a 3 x2x u u 2 1 a 0
f ( x)( x23
)( x a)
2．已知a为实数，函数2
（ 1）若函数f (x)
的图象上有与x 轴平行的切线，求 a 的取值范围
（2）若 f '( 1)0
，（Ⅰ）求函数
f ( x)
的单调区间
x1、 x2 (1,0)
| f ( x1 ) f (x2 ) |
5
16
恒成立
（Ⅱ）证明对任意的，不等式
f (x) x3ax2 3 x 3 a f '( x) 3x22ax3解：2 2 ，2
函数f ( x)
的图象有与x 轴平行的切线，f'( x)
有实数解
4a2 4 3
3
0 a29（，
3
2][
3
2，）2，
2
，所以
a
的取值范围是22
f '( 1) 0 ，32a30 a9 f '(x)3x29 x33( x
1
)( x1) 2， 4 ，222
由 f '(x) 0, x1
x
1
f '( x)0, 1x
1 22或；由
f ( x)
的单调递增区间是(, 1),( 1 ,)(1, 1 )
2；单调减区间为2
f (1)25
f (
14927
8 ，
f (x)
的极小值为
)
16 ，又
f (0)
易知f (x)
的最大值为28
27
m
49
f ( x) 在 [ 1，0]
M
16上的最大值8，最小值
对任意x
1
, x
2(1,0) ，恒有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | M m
27495
81616
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六
棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心o
1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设 OO1为x m，则1x4
由题设可得正六棱锥底面边长为：
32
(x
1)
2
8 2x x 2
，（单位： m
）
3
3 3 2
)
，（单位： m
2
故底面正六边形的面积为：
6
4 ( 8 2x x 2 )
2
= 2 (8 2x
x ）
V
（ ） 3 3
(8 2x
2
) [ 1 ( x 1) 1]
3
(16 12 x x 3 )
帐篷的体积为： x 2
x 3
2
（单位： m
3
）
V'（ x ）
3
(12 3x 2 )
求导得
2。

令 V'（ x ） 0 ，解得 x 2
（不合题意，舍去） ，
x
2 ，
当 1
x 2 时， V'（ x ） 当
2
x
4 时， V'（ x ）
V （ x ） ，
为增函数；
V （ x ）
，
为减函数。

∴当
x 2
时，
V （ x ）
最大。

答：当 OO1为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为
16 3 m 3。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y
（升）关于行驶速度
x
（千米 /
y
1
x
3
3 x 8(0 x 120). 小时）的函数解析式可以表示为：
128000
80
已知甲、乙两地相距
100 千米。

（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100 2.5
解：（ I ）当
x
40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
40
小时，
( 1
40
3
3 40 8) 2.5
17.5
要耗没 128000
80
（升）。

100
h( x) 升，
（ II ）当速度为 x
千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x 小时，设耗油量为
h( x)
( 1 x
3
3 x 8). 100
1
x
2
800 15
(0 x 120),
依题意得
128000 80
x
1280
x
4
h'( x)
x
800
x
3
80
3
x
120).
2
2
(0
令 h '(x) 0, 得 x 80.
当 x
(0,80) 时， h'( x) 0, h( x) 是减函数；
当
x
(80,120) 时， h '(x)
0, h(x) 是增函数。

当 x
80 时， h(x) 取到极小值 h(80) 11.25.
因为
h(x) 在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
17.5 升。

当汽车以 80
千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为
11.25 升。

题型九：导数与向量的结合
a ( 3 ， 1
), b
( 1 ， 3
).
1．设平面向量
2
2
2 2
若存在不同时为零的两个实数
s 、 t 及实数
k ，使
x a (t
2
k)b, y sa t b,且 x y ，
（ 1）求函数关系式 S
f (t) ；
（ 2）若函数
S
f (t ) 在 1，
上是单调函数，求 k 的取值范围。

a ( 3 1 1
,
3
, ), b (
).
a
，
解：（ 1）
2 2 2
2
b 1 a b 0
又
x y, x y ，得
a （ t 2 ）（ sa ） ， k
b tb 0
即 2 （ 2 2 2
） 。

） - （ t st
sa t t k b sk a b 0
s （ t 2 ） ，故 s （ ） t 3 。

k t 0 f t kt
（ 2）
f （t ） 3t
2
k 且 f （t ）在 1， 上是单调函数，
则在
1,
上有 f (t )
0或f （ t ） 0
由
由
f (t ) 0 3t 2
k 0 k 3t
2
k (3t 2
) min
k 3 ；
f (t ) 0
3t
2
k
0 k 3t 2。

因为在 t ∈
1,
上
3t 2
是增函数，所以不存在 k ，使
k
3t 2
在
1,
上恒成立。

故 k 的取值范
k 3
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． f (x)x33x22
在区间
1,1
上的最大值是2
2．已知函数y
f ( x)x(x c)
2
在 x
2
处有极大值，则常数c＝6；
3．函数y
1 3x x
3
有极小值－ 1, 极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线y
4x x3在点1,
3
处的切线方程是y x 2
2．若曲线f ( x)
x
4
x
在 P 点处的切线平行于直线 3 x y
，则 P 点的坐标为（ 1，0）
3．若曲线 y x4的一条切线l
与直线
x
4 y8
垂直，则
l
的方程为4x y 3 0
4．求下列直线的方程：
（1）曲线y
x
3
x21
在 P(-1,1)处的切线；（ 2）曲线
y
x
2
过点 P(3,5)的切线；
解：（ 1）点
P(1,1)
在曲线
y x
3
x
2
1
上，y/3x2 2 x k y/ |
－
1
3
－
2 1
x
所以切线方程为y1x 1 ，即 x y20
（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A( x0 , y0) ，则 y0x02①又函数的导数为y/ 2 x
，
A( x , y )k y /
|
x x
2 x A( x , y )
所以过点的切线的斜率为0，又切线过、 P(3,5) 点，所以有
0 0000
y05x1x
05
2x00或3
②，由①②联立方程组得，y01y025
，即切点为（1， 1）时，切线斜率为
x0
k1 2x02;
；当切点为（5， 25）时，切线斜率为k22x0
10
；所以所求的切线有两条，方程分
别为y
12(x1)或 y2510( x
5)，即y
2x 1 或 y10x25
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
（Ⅰ）若函数
f ( x)在 x
2
处有极值，求
f ( x)
的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y f ( x)
在[ － 3， 1] 上的最大值；
（Ⅲ）若函数 y
f ( x)
在区间 [ － 2， 1] 上单调递增，求实数 b 的取值范围
解：（ 1）由
f (x)
x
3
ax
2
bx c,求导数得 f ( x) 3x
2
2ax b.
过
y f ( x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为：
y
f (1) f (1)(x 1),即 y ( a b c 1) ( 3 2a b)(x 1).
而过
y
f (x)上 P[1, f (1)]的切线方程为 y
3x 1.
3 2a b 3
即 2a b
0 ①
故 a
c 3
a c 3
②
∵
y
f ( x)在 x 2时有极值 ,故 f ( 2)
0, 4a b
12 ③ 由①②③得 a=2 ， b=－ 4， c=5
∴ f ( x)
x
3
2x
2
4x 5.
（ 2） f ( x)
3x
2
4x 4 ( 3x 2)( x 2).
3 x
2时, f (x)
0;当 2 x
2
时, f (x) 0;
当
3
当
2
x 时
, f (x) 0. f ( x) 极大
f ( 2)
13
3 1 又
f
(1) 4,
f (x)
在 [ － 3， 1] 上最大值是 13。

（ 3） y=f(x) 在 [ － 2，1] 上单调递增，又 f ( x) 3x
2
2ax
b,
由①知 2a+b=0。

依题意
f
( x)
在 [ －2， 1] 上恒有
f
( x)
≥ 0，即 3x
2
bx b
0.
x
b 1时 , f ( x)
min
f (1) 3 b
b
0, b 6
6
①当
；
x
b 2时 , f ( x) min
f ( 2)
12
2b b
0, b
②当
6
；
2
6
1时, f
12b b 2
0, 则0 b
6.
③当
b ( x) min
12
综上所述，参数 b 的取值范围是
[ 0,
)
2．已知三次函数
f (x) 3
2
c 在 x 1 和 x
1 时取极值，且
f ( 2)4
．
x ax bx
(1)求函数
y f ( x) 的表达式；
(2)求函数
y f ( x) 的单调区间和极值；
(3)若函数 g (x) f ( x m)4m (m0) 在区间 [ m 3, n] 上的值域为 [4,16]
，试求 m 、 n 应满足
的条件．
2
b ，解： (1)f( x)3x2ax
由题意得，1, 1 是3x22ax b 0 的两个根，解得，
a 0,
b 3 ．
再由 f ( 2)4
可得 c 2 ．∴ f (x)x3 3 x 2 ．
(2)f(x)3x233( x1)(x1) ，
当x
1 时，
f ( x)0
；当 x 1 时，
f ( x)
0 ；
当1x 1 时，f
(x)
；当 x 1 时，
f
( x)0 ；
当x
1 时，
f ( x)0
．∴函数f( x) 在区间 (,1] 上是增函数；
在区间[ 1,１]
上是减函数；在区间[1,
) 上是增函数．
函数f ( x)
的极大值是f (1)
0 ，极小值是
f (1) 4 ．
(3)函数g (x)
的图象是由
f (x) 的图象向右平移m 个单位，向上平移 4 m个单位得到的，
所以，函数 f ( x) 在区间 [3, n m] 上的值域为[
4 4m,16
4m]
（ m0 ）．
而 f ( 3)20 ，∴44m20 ，即 m 4 ．
于是，函数 f ( x) 在区间 [3, n 4] 上的值域为[
20, 0] ．
令 f ( x)0
得 x 1 或 x 2 ．由
f ( x)
的单调性知，1剟n4 2 ，即 3 剟 n 6 ．
综上所述，m
、
n
应满足的条件是：m 4 ，且 3 剟n 6 ．
3．设函数 f ( x) x( x a)( x b) ．
（ 1）若f ( x)
的图象与直线
5x y 8 0
相切，切点横坐标为２，且 f ( x) 在 x
1
处取极值，
求实数a, b
的值；
（ 2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数
f (x)
总有两个不同的极值点．
解：（ 1）
f
( x) 3x
2
2(a b)x ab.
由题意 f (2)
5, f (1) 0
，代入上式，解之得：
a=1，b=1．
（ 2）当 b=1 时， 令f
( x) 0得方程 3x
2
2(a 1) x a 0.
因4( a
2
a 1) 0,
故方程有两个不同实根
x 1
,x
2 ．
不妨设
x
1
x 2 ，由
f
'
( x) 3( x x 1 )(x
x 2 )
可判断 f '
( x)
的符号如下：
当 x x 1时，f '
( x) ＞０；当 x 1 x x 2时，f '
(x) ＜０；当 x x 2时，f '
(x) ＞０
因此
x 1
是极大值点，
x 2
是极小值点． ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数
f ( x)
总有两个不同的
极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是 f （ x ）的导函数，
f / ( x )
的图象如右图所示，则
f （x ）的图象只可能是（ D ）
（ A ）
（ B ）
（ C ）
（ D ）
1 x 3
4x
1的图像为
y
( A )
2．函数
3
y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4
2
2
2
2
-4 -2
-4 -2
o 2 4 x
o 2 4 x
-4 -2
y 2 4 x
o 2 4 x
-2 -2 -2
-2
-4
-4
-4
-4
3．方程 2x 3
6
x 2 7
0在 (0,2)内根的个数为
( B
) A 、0
B 、1 C
、 2
D
、 3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
f ( x)
1 x 3 2ax
2 3a 2
x b,0 a 1.
1．设函数
3
（ 1）求函数
f ( x)
的单调区间、极值
.
（ 2）若当
x
[ a
1, a
2]
时，恒有
| f ( x) | a
，试确定 a 的取值范围 .
解：（ 1） f ( x)
x
2
4ax 3a 2
= (x 3a)( x a) ，令 f ( x) 0 得 x 1 a, x 2 3a
列表如下：
x
（ - ∞，a ） a （ a ，3a ） 3a （ 3a ，+∞） f ( x) -
0 +
0 -
f ( x)
极小
极大
∴
f ( x)
在（ a ， 3a ）上单调递增，在（ - ∞， a ）和（ 3a ， +∞）上单调递减
f 极小 (x) b
4 a 3
3a 时，
f
极小
(x)
b
x a 时，
3
，
x
（ 2） f ( x)x 2
4ax 3a
2
∵
a
1
，∴对称轴 x 2a a 1，
∴
f ( x)
在 [a+1 ， a+2] 上单调递减
∴ f Max
(a 1)2 4a( a 1) 3a
2
2a 1 ， f min
( a 2) 2 4a(a 2) 3a
2
4a 4
依题 | f ( x) |
a
| f Max |
a ，
| f min |
a
即 | 2a
1| a,| 4a
4 | a
4 a 1
，又
0 a
1
[ 4
,1) 解得
5
∴ a 的取值范围是
5
2
2．已知函数 f （x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ 3
与 x ＝ 1 时都取得极值（ 1）求 a 、 b 的值与函数 f （ x ）的单调区间
（ 2）若对 x 〔－ 1， 2〕，不等式 f （ x ） c2 恒成立，求 c 的取值范围。

解：（ 1） f （x ）＝ x3 ＋ax2＋ bx ＋ c ， f （x ）＝ 3x2＋ 2ax ＋ b
－
2
12 － 4
a ＋
b ＝0
－
1
由 f （ 3 ）＝ 9 3 ， f （1）＝ 3＋2a ＋ b ＝0 得 a ＝
2
， b ＝－
2 f （x ）＝ 3x2－ x － 2＝（ 3x ＋ 2）（ x － 1），函数 f （x ）的单调区间如下表：
x
222
1（1，＋）
（－，－ 3 ）－ 3（－ 3 ，1）
f （x）＋0－0＋
f （x）极大值极小值
22
所以函数 f （x）的递增区间是（－，－ 3 ）与（1，＋），递减区间是（－ 3 ，1）1222
（ 2） f （ x）＝ x3－2 x2－ 2x ＋ c，x 〔－ 1， 2〕，当 x＝－3时， f （ x）＝27＋c
为极大值，而 f （ 2）＝ 2＋ c，则 f （ 2）＝ 2＋ c 为最大值。

要使 f （ x） c2（ x 〔－ 1， 2〕）恒成立，只需c2 f （ 2）＝ 2＋ c，解得 c－1 或 c 2题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a
=(
3
, － 1).
b
=(
2
,2).
（ 1）若存在不同时为零的实数k 和 t ，使x
=
a
+(t2－ 3)
b
，
y
=-k a +t b ， x ⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2) 据 (1) 的结论，讨论关于t的方程 f(t) － k=0 的解的情况 .
解： (1) ∵x
⊥
y
，∴
x y
=0即 [
a
+(t2-3)
b
] ·(-k
a
+t
b
)=0.
22
整理后得 -k a
+[t-k(t2-3)]
a b
+ (t2- 3) ·
b
=0
22
1
，即 k=
4
t(t2-3)
∵ a b =0，a=4，b =1，∴上式化为 -4k+t(t2-3)=0
11
(2) 讨论方程4
t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=
4
t(t2-3)与直线 y=k的交点个
数 .
33
于是 f ′ (t)=4
(t2-1)=
4
(t+1)(t-1).
令 f ′ (t)=0, 解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f ′ (t)、 f(t)的变化情况如下表：
t(- ∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞) f ′ (t)+0-0+
F(t)↗极大值↘极小值↗
1
当 t= － 1 时， f(t) 有极大值， f(t)极大值 = 2 .
1当 t=1 时， f(t)有极小值，f(t)极小值=－
2
1
函数 f(t)=4
t(t2-3)的图象如图13－ 2－ 1 所示，
可观察出：
11
(1)当 k＞2
或 k＜－
2
时 , 方程 f(t) － k=0 有且只有一解；11
(2)当 k= 2
或 k=－
2
时 , 方程 f(t)－ k=0 有两解；11
(3)当－2
＜ k＜
2
时 , 方程 f(t)－ k=0 有三解 .
题型七：导数与不等式的综合
1．设a
0,函数 f (x)x3ax 在[1,
)
上是单调函数 .
（ 1）求实数a
的取值范围；
（ 2）设x
≥1， f (x) ≥1，且
f ( f ( x
))x
0 ，求证：
f ( x
)x
0 .
解：（ 1）y
f(x)3x 2a,若f ( x)在 1,上是单调递减函数，则须
y
0,即a3x 2 , 这
样的实数 a 不存在 . 故f ( x)
在
1,
上不可能是单调递减函数 .
若 f ( x) 在1,上是单调递增函数，则 a ≤3x 2
，
由于x
1,
,故3x
2
3
. 从而 0<a≤ 3.
（ 2 ）方法 1 、可知f ( x)
在
1,
上只能为单调增函数 .若1≤
x
f (x
)
，则
f ( x0 ) f ( f ( x0 )) x0矛盾 ,若 1≤f ( x0 )x0 ,则 f ( f (x0 )) f (x0 ),即 x0 f ( x0 )矛盾，故
只有f (x
)x
0 成立.
方法 2 ：设
f ( x0 )u,则f (u)x0，x03ax0u, u3au x0 ,两式相减得
( x03u3 )a( x0u)u x0( x0u)( x02x0 u u21a)0,x
≥ 1,u ≥1，
x2x u u 23, 又0 a 3 x2x u u 2 1 a 0
f ( x)( x23
)( x a)
2．已知a为实数，函数2
（ 1）若函数f (x)
的图象上有与x 轴平行的切线，求 a 的取值范围
（2）若 f '( 1)0
，（Ⅰ）求函数
f ( x)
的单调区间
x1、 x2 (1,0)
| f ( x1 ) f (x2 ) |
5
16
恒成立
（Ⅱ）证明对任意的，不等式
f (x) x3ax2 3 x 3 a f '( x) 3x22ax3解：2 2 ，2
函数f ( x)
的图象有与x 轴平行的切线，f'( x)
有实数解
4a2 4 3
3
0 a29（，
3
2][
3
2，）2，
2
，所以
a
的取值范围是22
f '( 1) 0 ，32a30 a9 f '(x)3x29 x33( x
1
)( x1) 2， 4 ，222
由 f '(x) 0, x1
x
1
f '( x)0, 1x
1 22或；由
f ( x)
的单调递增区间是(, 1),( 1 ,)(1, 1 )
2；单调减区间为2
f (1)25
f (
14927
8 ，
f (x)
的极小值为
)
16 ，又
f (0)
易知f (x)
的最大值为28
27
m
49
f ( x) 在 [ 1，0]
M
16上的最大值8，最小值
对任意x
1
, x
2(1,0) ，恒有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | M m
27495
81616
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六
棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心o
1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设 OO1为x m，则1x4
由题设可得正六棱锥底面边长为：
32
(x
1)
2
8 2x x 2
，（单位： m
）
3
3 3 2
)
，（单位： m
2
故底面正六边形的面积为：
6
4 ( 8 2x x 2 )
2
= 2 (8 2x
x ）
V
（ ） 3 3
(8 2x
2
) [ 1 ( x 1) 1]
3
(16 12 x x 3 )
帐篷的体积为： x 2
x 3
2
（单位： m
3
）
V'（ x ）
3
(12 3x 2 )
求导得
2。

令 V'（ x ） 0 ，解得 x 2
（不合题意，舍去） ，
x
2 ，
当 1
x 2 时， V'（ x ） 当
2
x
4 时， V'（ x ）
V （ x ） ，
为增函数；
V （ x ）
，
为减函数。

∴当
x 2
时，
V （ x ）
最大。

答：当 OO1为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为
16 3 m 3。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y
（升）关于行驶速度
x
（千米 /
y
1
x
3
3 x 8(0 x 120). 小时）的函数解析式可以表示为：
128000
80
已知甲、乙两地相距
100 千米。

（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100 2.5
解：（ I ）当
x
40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
40
小时，
( 1
40
3
3 40 8) 2.5
17.5
要耗没 128000
80
（升）。

100
h( x) 升，
（ II ）当速度为 x
千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x 小时，设耗油量为
h( x)
( 1 x
3
3 x 8). 100
1
x
2
800 15
(0 x 120),
依题意得
128000 80
x
1280
x
4
h'( x)
x
800
x
3
80
3
x
120).
2
2
(0
令 h '(x) 0, 得 x 80.
当 x
(0,80) 时， h'( x) 0, h( x) 是减函数；
当
x
(80,120) 时， h '(x)
0, h(x) 是增函数。

当 x
80 时， h(x) 取到极小值 h(80) 11.25.
因为
h(x) 在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
17.5 升。

当汽车以 80
千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为
11.25 升。

题型九：导数与向量的结合
a ( 3 ， 1
), b
( 1 ， 3
).
1．设平面向量
2
2
2 2
若存在不同时为零的两个实数
s 、 t 及实数
k ，使
x a (t
2
k)b, y sa t b,且 x y ，
（ 1）求函数关系式 S
f (t) ；
（ 2）若函数
S
f (t ) 在 1，
上是单调函数，求 k 的取值范围。

a ( 3 1 1
,
3
, ), b (
).
a
，
解：（ 1）
2 2 2
2
b 1 a b 0
又
x y, x y ，得
a （ t 2 ）（ sa ） ， k
b tb 0
即 2 （ 2 2 2
） 。

） - （ t st
sa t t k b sk a b 0
s （ t 2 ） ，故 s （ ） t 3 。

k t 0 f t kt
（ 2）
f （t ） 3t
2
k 且 f （t ）在 1， 上是单调函数，
则在
1,
上有 f (t )
0或f （ t ） 0
由
由
f (t ) 0 3t 2
k 0 k 3t
2
k (3t 2
) min
k 3 ；
f (t ) 0
3t
2
k
0 k 3t 2。

因为在 t ∈
1,
上
3t 2
是增函数，所以不存在 k ，使
k
3t 2
在
1,
上恒成立。

故 k 的取值范
k 3
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． f (x)x33x22
在区间
1,1
上的最大值是2
2．已知函数y
f ( x)x(x c)
2
在 x
2
处有极大值，则常数c＝6；
3．函数y
1 3x x
3
有极小值－ 1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线y
4x x3在点1,
3
处的切线方程是y x 2
2．若曲线f ( x)
x
4
x
在 P 点处的切线平行于直线 3 x y
，则 P 点的坐标为（ 1，0）
3．若曲线 y x4的一条切线l
与直线
x
4 y8
垂直，则 l 的方程为
4x
y 3 0
4．求下列直线的方程：
（1）曲线y
x
3
x
2
1
在 P(-1,1)处的切线；（ 2）曲线
y
x
2
过点 P(3,5)的切线；
解：（ 1）点
P(1,1)
在曲线
y x
3
x
2
1
上，y/3x2 2 x k y/ |
－
1
3
－
2 1
x
所以切线方程为y1x 1 ，即 x y20
（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A( x0 , y0) ，则 y0x02①又函数的导数为y/
2 x ，
所以过A( x0, y0)
点的切线的斜率为
k y
/
|
x x0
2 x
，又切线过
A( x0, y0)
、 P(3,5) 点，所以有
y05x01
或x05
2x0 3
②，由①②联立方程组得，y01y025
，即切点为（ 1， 1）时，切线斜率为
x0
k1 2x02;
；当切点为（5， 25）时，切线斜率为k22x0
10
；所以所求的切线有两条，方程分
别为y
12(x1)或 y2510( x5)，即y2x 1 或 y10x25
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数 f ( x)x 3 ax 2
bx c, 过曲线 y f (x)上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为
y=3x+1
（Ⅰ）若函数
f ( x)在 x
2
处有极值，求
f ( x)
的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y f ( x)
在[ － 3， 1] 上的最大值；
（Ⅲ）若函数 y
f ( x)
在区间 [ － 2， 1] 上单调递增，求实数 b 的取值范围
解：（ 1）由
f (x)
x
3
ax
2
bx c,求导数得 f ( x) 3x
2
2ax b.
过
y f ( x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为：
y
f (1) f (1)(x 1),即 y ( a b c 1) ( 3 2a b)(x 1).
而过
y
f (x)上 P[1, f (1)]的切线方程为 y
3x 1.
3 2a b 3
即 2a
b 0
①
故 a
c 3
a c
3
②
∵
y
f ( x)在 x 2时有极值 ,故 f ( 2) 0, 4a b
12 ③ 由①②③得 a=2 ， b=－ 4， c=5
∴ f ( x)
x
3
2x
2
4x 5.
（ 2） f ( x)
3x
2
4x 4 ( 3x 2)( x 2).
3 x
2时, f (x)
0;当 2 x
2
时, f (x) 0;
当
3
当
2
x 时
, f (x)
0. f ( x) 极大
f ( 2)
13
3 1 又 f (1)
4, f (x)
在 [ － 3， 1] 上最大值是 13。

（ 3） y=f(x) 在 [ － 2，1] 上单调递增，又 f ( x) 3x
2
2ax
b,
由①知 2a+b=0。

依题意
f
( x)
在 [ －2， 1] 上恒有
f ( x)
≥ 0，即 3x
2
bx
b 0.
x
b 1时 , f ( x)
min
f (1) 3 b b
0, b 6
6
①当
；
x
b 2时 , f ( x) min
f (
2)
12 2b b 0,
b
②当
6
；
2
6
1时, f
12b b
2
0, 则0 b
6.
③当
b ( x) min
12
综上所述，参数 b 的取值范围是
[ 0,
)
32
c 在 x 1 和 x 1 时取极值，且 f ( 2)4 ．
2．已知三次函数 f (x)x ax bx
(1)求函数
y f ( x) 的表达式；
(2)求函数
y f ( x) 的单调区间和极值；
(3)若函数 g (x) f ( x m)4m (m0) 在区间 [ m3, n] 上的值域为 [4,16]
，试求 m 、 n 应满足
的条件．
解： (1)f( x)3x22ax b ，
由题意得，1, 1 是3x22ax b 0 的两个根，解得，
a 0,
b 3 ．
再由 f ( 2)4
可得 c 2 ．∴
f (x)
x3 3 x 2 ．
(2)f(x)
2
33( x1)(x1) ，3x
当x
1 时，
f ( x)0
；当 x 1 时，
f ( x)
0 ；
当1
x 1 时，
f(x) 0
；当 x 1 时，
f ( x)
0 ；
当x
1 时，
f ( x)0
．∴函数f( x) 在区间 (,1] 上是增函数；
在区间[ 1,１]
上是减函数；在区间[1,
) 上是增函数．
函数f ( x)
的极大值是 f (1)0 ，极小值是 f (1) 4 ．
(3) 函数g (x)
的图象是由
f (x) 的图象向右平移m 个单位，向上平移 4 m个单位得到的，
所以，函数 f ( x) 在区间 [3, n m] 上的值域为[
4 4m,16
4m]
（ m0 ）．
而 f (3)20 ，∴ 4 4m20 ，即 m 4 ．
于是，函数 f ( x) 在区间 [3, n 4] 上的值域为[
20, 0] ．
令 f ( x)0
得 x 1 或 x 2 ．由
f ( x)
的单调性知，1剟n4 2 ，即 3 剟 n 6 ．
综上所述，m
、
n
应满足的条件是：m 4 ，且 3 剟n 6 ．
3．设函数 f ( x) x( x a)( x b) ．
（ 1）若f ( x)
的图象与直线
5x y 8 0
相切，切点横坐标为２，且 f ( x) 在x
1
处取极值，
求实数
a, b
的值；
（ 2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数
f (x)
总有两个不同的极值点．
解：（ 1）
f
( x) 3x
2
2(a b)x ab.
由题意 f (2)
5, f (1) 0
，代入上式，解之得：
a=1，b=1．
（ 2）当 b=1 时， 令f
( x) 0得方程 3x
2
2(a 1) x a 0.
因4( a
2
a 1)
0,
故方程有两个不同实根
x 1
,x
2 ．
不妨设
x
1
x
2 ，由 f
'
( x) 3( x x 1 )(x
x 2 )
可判断 f '
( x)
的符号如下：
当 x x 1时，f '
( x)
＞０；当
x 1 x x 2时，f '
(x) ＜０；当 x x 2时，f '
(x) ＞０
因此
x 1
是极大值点，
x 2
是极小值点． ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数
f ( x)
总有两个不同的
极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是 f （ x ）的导函数，
f / ( x )
的图象如右图所示，则
f （x ）的图象只可能是（ D ）
（ A ）
（ B ）
（ C ）
（ D ）
y
1 x 3
4x 1的图像为 ( A )
2．函数
3
y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4
2
2
2
2
-4 -2
o 2 4 x
y 2 4 x
o x
-4
x
o 2 4
-2
-2
-4 -2
2 4
-2 -2 -2
-4
-4
-4
-4
3．方程 2x 3
6
x 2 7
0在 (0,2)内根的个数为
( B
) A 、0
B 、1 C
、 2
D
、 3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
f ( x)
1 x 3 2ax
2 3a 2
x b,0 a 1.
1．设函数
3
（ 1）求函数
f ( x)
的单调区间、极值
.
（ 2）若当
x
[ a
1, a
2]
时，恒有
| f ( x) | a
，试确定 a 的取值范围 .
解：（ 1）
f ( x)
x
2
4ax 3a 2
= (x
3a)( x a) ，令 f ( x)
0 得 x 1 a, x 2 3a
列表如下：
x
（ - ∞，a ） a （ a ，3a ） 3a （ 3a ，+∞） f ( x) -
0 +
0 -
f ( x)
极小
极大
∴
f ( x)
在（ a ， 3a ）上单调递增，在（ - ∞， a ）和（ 3a ， +∞）上单调递减
f 极小 (x)
b 4 a 3
3a 时， f
极小
(x)
b
x a 时，
3 ， x
（ 2） f ( x)x 2
4ax 3a
2
∵
a
1
，∴对称轴 x 2a a 1，
∴ f ( x)
在 [a+1 ， a+2] 上单调递减
∴
f
Max
(a 1)2 4a( a 1) 3a
2
2a 1 ，
f
min
( a 2) 2
4a(a 2) 3a
2
4a 4
依题 | f ( x) |
a
| f Max |
a ，
| f min |
a
即 | 2a
1| a,| 4a
4 | a
4 a 1
，又
0 a
1
[ 4
,1) 解得 5
∴ a 的取值范围是
5
2
2．已知函数 f （x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ 3
与 x ＝ 1 时都取得极值（ 1）求 a 、 b 的值与函
数 f （ x ）的单调区间
（ 2）若对 x 〔－ 1， 2〕，不等式
f （ x ）
c2 恒成立，求 c 的取值范围。

解：（ 1） f （x ）＝ x3 ＋ax2＋ bx ＋ c ， f （x ）＝ 3x2＋ 2ax ＋ b
－ 2
12
－ 4
a ＋
b ＝0
－
1
由 f （ 3 ）＝ 9
3
， f （1）＝ 3＋2a ＋ b ＝0 得 a ＝ 2 ， b ＝－ 2
f （x ）＝ 3x2－ x － 2＝（ 3x ＋ 2）（ x － 1），函数 f （x ）的单调区间如下表：
x
2
2
2
1
（1，＋
）
（－ ，－ 3 ） － 3
（－ 3 ，1） f （x ） ＋ 0 －
0 ＋
f （x ）
极大值
极小值
2
2
所以函数 f （x ）的递增区间是（－
，－ 3 ）与（ 1，＋
），递减区间是（－
3
， 1）
1
2
22
（ 2） f （ x ）＝ x3－ 2
x2－ 2x ＋ c ，x 〔－ 1， 2〕，当 x ＝－ 3
时， f （ x ）＝ 27
＋c
为极大值，而 f （ 2）＝ 2＋ c ，则 f （ 2）＝ 2＋ c 为最大值。

要使 f （ x ） c2（ x 〔－ 1， 2〕）恒成立，只需 c2 f （ 2）＝ 2＋ c ，解得 c －1 或 c 2
题型六：利用导数研究方程的根
3
, － 1).
1
3
1．已知平面向量 a
=(
b
=( 2
,
2 ).
（ 1）若存在不同时为零的实数 k 和 t ，使 x = a +(t2 － 3) b
， y
=-k a +t b ， x ⊥ y ，
试求函数关系式 k=f(t) ；
(2) 据 (1) 的结论，讨论关于
t
的方程 f(t) － k=0 的解的情况 .
解： (1) ∵ x
⊥ y ，∴
x
y
=0
即 [ a +(t2-3)
b
] ·(-k a +t b
)=0.
2
2
整理后得 -k a
+[t-k(t2-3)]
a b
+ (t2- 3) · b
=0
2
2
1
，即 k= 4
t(t2-3)
∵ a b =0， a =4， b
=1，∴上式化为 -4k+t(t2-3)=0
1
1
(2) 讨论方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线
f(t)=
4
t(t2-3)
与直线 y=k 的交点个
数 .
3
3
于是 f ′ (t)= 4 (t2-1)= 4
(t+1)(t-1).
令 f ′ (t)=0, 解得 t1=-1,t2=1. 当 t 变化时， f ′ (t) 、 f(t) 的变化情况如下表：
t (- ∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′ (t) + 0 -
0 + F(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
2。