2018届高三数学文一轮复习课件：2-6 指数与指数函数 精品

微知识❷ 有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：a n ＝
n am
(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)；
1
1
②负分数指数幂：a－
m n
＝
m
an
＝
n am
(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)。
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 。
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)；
A．{x|x＜－2 或 x＞4}
B．{x|x＜0 或 x＞4}
C．{x|x＜0 或 x＞6}
D．{x|x＜－2 或 x＞2}
解析：f(x)为偶函数，当 x＜0 时， f(x)＝f(－x)＝2－x－4。
2x－4，x≥0， 所以 f(x)＝2－x－4，x＜0， 当 f(x－2)＞0 时，
x－2≥0，
x－2＜0，
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)。
微知识❸ 指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
(1)过定点 (0,1)
(2)当 x＞0 时， y＞1 ；x (2)当 x＞0 时，0＜y＜1 ；
＜0 时， 0＜y＜1
x＜0 时， y＞1
(3)在 R 上是 增函数 (3)在 R 上是 减函数
(3)∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3， ∴0＜23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x＜8， ∴函数 y＝8－23－x 的值域为[0,8)。
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1．(2016·成都诊断)若函数 f(x)＝ 1＋3x＋a·9x，其定义域为(－∞，1]，则 a
的取值范围是( )
A．a＝－49
【微练 3】(1)设 a＝log37，b＝23.3，c＝0.81.1，则( B )
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝1－2－x，则不等
式 f(x)＜－12的解集是( A )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44， y3＝21－1.5＝21.5。 因为 1.8＞1.5＞1.44，且 y＝2x 在 R 上单调递增， 所以 y1＞y3＞y2。 答案：D
角度二：解简单的指数不等式
【典例 4】设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
解析：(3)由指数函数的性质知，要使 y＝31g(x)的值域为(0，＋∞)。应 使 g(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R，
因此只能 a＝0。(因为若 a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)。故 a 的值为 0。
[规律方法] 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题。常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)。 (2)简单的指数不等式的求解问题。解决此类问题应利用指数函数的单调性， 要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论。 (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、 值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、 最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为 内层函数相关的问题加以解决。 [提醒] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时， 要分类讨论。
B．a≥－49
C．a≤－49
D．－49≤a＜0
解析：由题意得 1＋3x＋a·9x≥0 的解集为(－∞，1]，即13x2＋31x＋a≥0 的解集为(－∞，1]。令 t＝31x，则 t≥13，即方程 t2＋t＋a≥0 的解集为31，＋∞， ∴312＋13＋a＝0，所以 a＝－49。
答案：A
2．(2015·山东卷)设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系 是( )
第二章 函数、导数及其应用
第六节 指数与指数函数
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一、知识清单
微知识❶ 根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示 备注
如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n
n＞1 且 n
次方根
∈N*
当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是
【微练 2】设 f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a，且 f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中
一定成立的是( )
A．3c＞3a
B．3c＞3b
C．3c＋3a＞2
D．3c＋3a＜2
解析：画出 f(x)＝|3x－1|的图象如下图：
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立，则有 c<0 且 a>0。由 y＝3x 的图象可得 0<3c<1<3a，
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
(3)函数 y＝8－23－x(x≥0)的值域是___[0__,8_)__。
解析：(1)如图所示，由图象可知选项 B 正确。
(2)当 x＞0 时，f(x)＝1－2－x＞0， 又 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x)＜－12的解集和 f(x)＞12(x＞0)的解集关于原点对称， 由 1－2－x＞12得 2－x＜12＝2－1，即 x＞1， 则 f(x)＜－12的解集是(－∞，－1)。
方法二：当 0＜a＜1 时，函数 y＝ax－1a是减函数，且其图象可视为是 由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选 D。
方法三：因为函数 y＝ax－1a(a＞0，且 a≠1)的图象必过点(－1,0)，所 以选 D。
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，
1
2．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
1
解析：原式＝(26) 2 －1＝7。
答案：B
3．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析：∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0。 答案：A
4．已知函数 f(x)＝4＋ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( ) A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)
解析：当 x＝1 时，f(x)＝5。 答案：A
5．若函数 y＝(a2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a 的取值范围是 __________。
有2x－2－4＞0， 或2－x＋2－4＞0，
解得 x＞4 或 x＜0。 答案：B
角度三：与指数函数有关的复合函数问题 【典例 5】已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3。 (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
解析：(1)当 a＝－1 时， f(x)＝13－x2－4x＋3， 令 g(x)＝－x2－4x＋3， 由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y ＝31g(x)在 R 上单调递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函 数 f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)。
＝－54·
1 ab3
＝－54aba2b。
a (3)
2 3
·b－1－
1 2
－
·a
1 2
·b
1 3
。
6 a·b5
解析：(3)原式＝a－13
b
1 2
－
·a
15
1 2
b
1 3
＝a－13－12－16
·b12＋13－56
a6 b6
＝1a。
[规律方法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的， 先化成假分数。 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的 运算性质来解答。 [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负 指数。
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是_[_－__1_,_1_]_。
解析：(1)方法一：当 a＞1 时，y＝ax－1a为增函数，且在 y 轴上的截 距为 0＜1－1a＜1，排除 A，B。
当 0＜a＜1 时，y＝ax－1a为减函数，且在 y 轴上的截距为 1－1a＜0， 故选 D。
∵f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)， ∴1－3c>3a－1，即 3c＋3a<2。 答案：D
微考点
指数函数的性质及应用
角度一：比较指数幂的大小
【典例 3】设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝21－1.5，则(
)
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
1 2
－1010
1 2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1156。
5 (2)6a
1 3
·b－2·(－3a－
1 2
b－1)÷(4a
2 3
·b－3)
1
2；
解析：(2)原式＝－52a－
1 6
b－3÷(4a
2 3
·b－3)
1 2
＝－54a－
1 6
b－3÷(a
1 3
b－32
)
＝－54a－
1 2
·b－32
解析：正确，两个函数均不符合指数函数的定义。
(4)若 am＜an(a＞0 且 a≠1)，则 m＜n。( × )
解析：错误，当 a＞1 时，m＜n，而当 0＜a＜1 时，m＞n。
(5)函数 y＝2－x 在 R 上为单调减函数。( √ ) 解析：正确，y＝2－x＝12x，根据指数函数的性质可知函数在 R 上为减 函数。
解析：由题意知 0<a2－1<1，即 1<a2<2， 得－ 2<a<－1 或 1<a< 2。 答案：(－ 2，－1)∪(1， 2)
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考点例析 对点微练
微考点
指数幂的化简与求值
【典例 1】求值与化简：
(1)2350＋2－2·214－
1 2
－(0.01)0.5；
解析：(1)原式＝1＋14×94
由图象可得：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的 条件是 b∈[－1,1]。
[规律方法] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a。 (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象， 通过平移、对称变换得到其图象。 (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数 形结合求解。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)
n (1)
an与(n
a)n 都等于
a(n∈N*)。( ×
)
解析：错误，当 n 为偶数，a＜0 时n a不成立。
(2)2a·2b＝2ab。( × )
解析：错误，2a·2b＝2a＋b≠2ab。
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数。( √ )
【微练
1】化简：14－
1 2
4ab－13 · 0.1－1·a3·b－3
1 2
＝________。
3
解析：原式＝2·4
2
a
3
10a 2
3 2
b－32
b－32
＝85。
答案：85
微考点
指数函数的图象及应用
【典例 2】(1)函数 y＝ax－1a(a＞0，且 a≠1)的图象可能是( D )
A.
B.
C.
D.
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； 解析：(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g(x)，
a>0， 由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值－1，因此必有3a－ a 4＝－1，
解得 a＝1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1。
(3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值。
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：由指数函数 y＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知 0.61.5＜0.60.6，由 幂函数 y＝x0.6 在(0，＋∞)上单调递增，可知 0.60.6＜1.50.6，所以 b＜a＜c，故选 C。
答案：C
3．(2015·福建卷)若函数 f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在[m， ＋∞)上单调递增，则实数 m 的最小值等于________。
一个 正数
，负数的 n 次方根是一
n a
个 负数
零的 n 次 方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方程 有 两个 ，这两个数互为 相反数

n ±
a(a＞0)
负数没有 偶次方根
(2)两个重要公式
①n
an为奇数 an＝|a|＝a－aa≥a0＜ 0
n为偶数
②(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a)有意义。