初中数学开放题教学

长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。
比较1、2、所得两个长方形面积的大小。你能围出面积更大的长方形吗？
讨论：每小题中如何设求知数？在第2小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？
如不能，怎么办？
探索：求题2中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长宽相
4）无限连续型。这类问题的答案分布在一些实数区间内，或者 是一些可以连续变化的几何图形。描述这种变化的数学手法 通常是引进参数表示。
例7：两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，下面各图 已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的 三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画的三角 形可与原三角形有重叠部分）。
2、从答案的结构上可分为四类。 1) 有限穷举型。 如例2“百鸡问题”，它的答案共有四组解，（4，18，78）；
（8，11，33）；（12，4，84）；（0，25，75）。 2）有限混沌型。 给出四个数，用加、减、乘、除算24的游戏，有些问题的解答
甚至要借助于电脑。
3) 无限离散型。这类问题的答案是无穷的，我们常用两种方式 来处理这类问题：一种是将答案作适当的分类，给出每类答 案的典型解法，还有一种是提供一种构造答案的方法。
日本的数学开放题研究经历了从“未完结问题”到“课 题学习”的发展过程。日本队的新大纲设置了“课题学习” 的教学形式。课题学习中教师列举日常生活中熟悉的事例， 形成如“田径场上的数学”、“交通安全中的数学”、 “高层建筑中的数学”等问题，在课堂上和学生在讨论中 学习。
一是作为综合的“课题学习” 例1：探索线段的黄金分割的比。 方法一：在一条线段上用尺规作出黄金分割的作图法； 方法二：从特定的等腰三角形中得到黄金分割的比； 方法三：从特定的长方形的两边之间的比得出黄金分割； 方法四：从正五边形中得到黄金分割比。 二是作为问题解决的“课题学习” 例2：求2人同生日的概率是多少？20人、30人、40人同生日的概率 的结果又会怎么样呢？用计算器计算各种情况下的结果，并调查其 他班级的实际情况，检验计算结果。
例如：两圆外切于点T，为PT为其内公切线，AB为其外公 切线，且T|A|B为切点，PT与AB相交于点P。根据图中所给 出的条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。
A P B
O1
T
O2
第三章、国内外数学开放题发展现状
一、数学开放题在日本的发展
数学开放题起源于日本
在1971年日本文部省岛田茂小组首次提出数学开放题” 的概念，他们设计了许多著名的经典题型如：“水槽问 题”、“九九乘法表问题”、“花圃设计问题”等。
题解决的能力。
例1：尽量用多种方法在纸上画出一个直角。 解：按照一定的分类方法：
1)叠纸法； 2)工具画图：如三角板、量角器 ； 3)尺规作图：画一条线段的垂线； 4)利用三角形的性质：如等腰三角形三线合一； 5)利用四边形的性质：如菱形的两对角线互相垂直； 6)利用圆的性质：如直径所对的角为直角，相交两圆公 共弦垂直平分两圆连心线等。
⑦三角形面积：
A
B
C
D
例4
例3、北京市出租车现行收费标准为：3公里以下（含3公里） 收起步费10元，3公里以上至10公里（含10公里）部分每公里收 费2元，10公里以上部分每公里收费3元。
1）如果把张强所乘的公里数为设为x公里，那么他所需付出的 出租车费用是多少？
2）如果张强从家到公司有18公里，而他有两种乘车方案，方 案一：从家乘一辆出租车到公司；方案二：先从家上一辆出租 车，行驶到10公里处下车，再换乘另一辆出租车到达公司，分 两次付费，请问，张强选择哪一种乘车方案更省钱？
国外的学习理论流派主要有： 行为派、认知派、社会文化历史学派、人本主义学派 和建构主义学习理论。
（二）数学开放题教学的心理学理论基础。 1、教育与学生心理的发展的密切关系。 2、数学学习的内部与外部动力因素。
五、数学开放题教学的研究意义
1、有利于培养学生的发散思维、创造能力和创新 意识，养成良好的思维品质，提高数学能力和问
例7
四、数学开放题教学的教育学和心理学理论基础
（一）数学开放题教学的教育学理论基础
数学教育有三个领域：课程论、教学论和学习论。
1、数学开放题教学的课程论理论基础： 学科中心课程论、儿童中心课程论和学问中心课程论
2、数学开放题教学的课程论理论基础 教学的七条基本原则：
（1）阶段渐进原则 （2）启发引导原则 （3）过程教学原则 （4）归纳演绎原则 （5)面向全体原则 （6)启动学习原则、 （7)动机激发原则
第二章 数学开放题的界定、分类、 及研究意义
一、数学开放题的界定
条件多余需选择，条件不足需补充，结 论不唯一的习题，称为数学开放题。
二、数学开放题的特征。
从数学开放题的结构和形式上，它具有以下的特征。
1、非完备性 2、不确定性 3、层次性 4、发散性 5、探究性 6、发展性 7、创新性
三、数学开放题的分类。
1、按命题的要素来分类。 1）条件开放型。 例1：如果两个三角形有两条边分别对应相等，请你补充一个条
件，使这两个三角形全等。
2) 结论开放型。 例2：“百鸡问题”：已知每只公鸡值五元钱，每只母鸡值三元
钱，每只小鸡值一元钱，现在用一百元钱买一百只小鸡。问： 这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
3) 策略开放型。 例3：用尽可能多的方法，四等分圆的面积。 4) 综合开放型。 例4：怎样测量一个建筑物的高度？ 针对以上情况有几种不同的结论。
在日本1993年出版的6套初中数学教材中，设置了225个课题， 包括数与式的课题29个；图形的课题107个；函数和概率的课题44 个；数学史和计算机的课题25个。
1998年第一届东亚国际数学教育大会认为： “数学开放教学方 法”是迄今为止亚洲人提出的唯一让世界普遍接受并关注的一个口 号、观点、和思想。
数学开放题的教学开放式教学模式
由师生关系结构、教学内容结构、教学过程结构构成了教学模 式的三个“子结构”。 数学开放题的教学主要分为下面几步： 教师提出问题。 学生动脑动手解答问题。 讨论研究，师生合作交流。 师生提出来变式问题，深化研究。 教师总结，或提出更一般化的问题。
3、数学开放题教学的学习论基础。
3）张强，陈红，杨梅三个人合乘一辆出租车，并并商定车费 要合理分担。如果张强在全程三分之一处下车，陈红在全程三 分之二处下车，杨梅一人坐到终点，全程共计车费48元，你认 为他们如何分摊车费比较合理呢？
例4、从北京和上海同时向大庆运计算机，不同的运法就会有 不同的运输成本，请尽量按自己的想法去计算，从许多计算结 果中找出最低的运输成本和分配方案。
2、加深学生对数学实质的理解，有利于培养学生数学思想方 法、数学应用意识，加强数学交流。
例2：已知△PAD中，∠APD=120度，B、C为AD上的点，
△PBC为等边三角形，试尽可能多地找出图形中各几何量之间
的关系。
结论：
①线段相等：
②角相等：
③角的互补关系：
④角的和差倍关系：
P
⑤三角形相似：
⑥线段乘积关系：
3、鼓励学生参与，充分发挥学生Fra Baidu bibliotek体意识，学生体验自我决定感、 有能感和成功感，增强了自信心和对数学的浓厚兴趣。
例5，一个圆形花坛种分割成面积相等的四部分，种上四种不 同的花，请你试可能多的给出分割方案。
4、培养学生合作意识、探索精神，训练和养成良好的心理素质。
例6：用尽可能多的方法对勾股定理进行证明。 5、数学开放题引起学生学习方式和教师教学方式的改变。
三、新课程标准下的初中数学教学。
2）教材在例题的编排上以数学开放题的形式呈现问题
七年级下册“数与代数”部分，6.3实践与探索一节，共有4道例题，全部是以
数学开放题的形式呈现的
试解下列问题，与你的同伴讨论与交流。
问题3：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
长方形的宽是长的
2 3
，求这个长方形的长和宽。
例7：从小明家到学校有两条路，其中一条比另一条长63米， 已知其中一条道路长129米，现在小明和小红同时从家出发，经过 3小时后同时到达学校，那么你能求出几种数量关系？
例8：由于大庆市正在搞城市建设，某工地需要一些形状相同， 大小相等的三角形，焊接起来做支架，现在请你下料，你会怎么 办？
6、数学开放题的评价功能
3、数学开放题在英国的发展
英国是近现代数学教育的发源地。1988年，英国成立了国 家课程委员会，对中小学校主要科目提出了改革方案，在英国 国家课程中，数学是三大核心课程之一。 在英国的课堂教学中，大量选用数学开放题。 例1：中学的数学课上，学生们会离开教室，走上街头，通过 观察得出结论，这个学校所在地区的自行车牌号的编制规则是 什么？
例5：规定等腰三角形与等边三角形接近的程度为等腰三角形 的正度，请你给出一个合理、合情的计算等腰三角形正度 的公式。
等边三角形的特征是三个角相等，都是60，边相等但边长 未知，那么正度就只能用等腰三角形的底与腰的关系或者 顶角与底角的关系来表示。设等腰三角形的底长为a，腰长 为b，顶角度数为α，底角度数为β，下面就是一个计算正度 的公式：|a-b|，它的值越小，等腰三角形就越接近等边三角 形，当取值为0时，就是等边三角形。 例6：某校初一年级有两个班，期末数学成绩优秀者共有42人， 全年级的优秀率为40%，其中一班的优秀率为36%，二班 的优秀率为42%，求一、二班的人数。 请参照此题不改变列二元一次方程组的形式和解法，再编一道 类似的应用题。
初中数学开放题的教学
大庆市祥阁学校 张琳琳
第一章 问题的提出：我国数学教育现状
我国数学教育存在的问题：
我国的数学教学与国际上其他国家相比，重视基本知识的教 学和基本技能的训练，学生的数学基本功扎实，学习刻苦勤奋， 整体数学水平高。 但学生 在应用数学的意识上和创造能力的 发展上却严重滞后，对所学知识的数学背景了解也不多。多年 来我们所注重培养的还只是“复制型”的人才，而只有创新才 是一个民族发展的灵魂。
2、数学开放题在美国的发展
美国在经历了“新数运动”的失败后，总结经验教训，70 年代提出了“回到基础”，80年代提出了“问题解决”。 1989 年，美国国家研究委员会（NRC）发表了《休戚与共——关于 数学教育失败向全国所作的报告》，文件提出了数学课程必须 作出重大的改革。
目前，美国近六分之一的中小学都采用的数学教材—— 《芝加哥大学学校数学设计》中已经编排了一部分数学开放题。 在美国6年级的数学课上，学生会在老师的带领下，观看奥运 会上100米短跑录像，然后由学生得出决定一个运动员成绩的 主要因素的各种结论，美国的中小学数学竞赛中也常常出现数 学开放题。
三、《新课程标准》下数学开放题 教学
1、数学开放题的教学案例： 要求学生统计自己家庭一周内丢弃的塑料袋个数，并依据所收集的 数据展开讨论。 它的程序是： 1) 把这个问题作为家庭作业。 2) 学生自主进行统计活动。 3) 在课堂上让几位同学发表统计结果，可以列出统计表，也可以采 取其它的形式。 4) 利用小组讨论和班级讨论的方式进行统计分析，老师引导学生根 据数据对全班一周丢弃塑料袋情况用不同的算法进行描述和评价。 5) 结合问题情景深入领会有关概念。例如：平均数、中位数、众数 等概念的含义，通过问题的层层深入让学生进一步感受不同统计量 的差异，用不同统计量来表示同一问题的必要性。 6) 问题自然延伸：计算这些塑料袋对土地造成的污染、先估算一个 袋的污染，然后通过多种方式计算推及到一周、一年、全班同学的 家庭、全校同学的家庭……照这样的速度要多久就会污染整个学校 呢？
英国的高中毕业考试有这样一个数学测试内容：给学生
指定一个路段，观察两边的建筑和周围环境，自己发现一个可 用数学解决的问题，并把它转化成为数学模式加以解决。可见 问题的条件、结论、以至于解题的策略是全面开放的。
二、数学开放题在我国的发展
1997年2月，“开放题——数学教学的新模式”被立 为国家教育科学“九五”规划重点课题；2000年出台的 《新课程标准》提出编写数学开放题进入教材的建议， 2000年教育部发布的《2000年初中毕业升学考试改革指导 意见》中明确指出：数学考试应该设计一定数量的开放性 问题。现在，全国各地中、高考的选拔考试和竞赛中已经 出现了一些格调清新的开放性试题，并且比重越来越大。