2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第10课 几种常见的平面变换含解析

1 0
作用下变换所得的图形对应的曲线方程．
范例导航
考向
[ ][ ] 例
1 计算：
1 0
0 －1
5 2
.
计算，并从变换的角度说明其几何意义
[ ][ ] [ ][ ] 计算：(1)
01 10
5 2
；(2)
1 －1 01
5 2
.
考向
已知变换后的曲线方程求变换矩阵中的参数 值
[ ] 例 2 已知 a，b∈R，若 M＝
1. 理解六种变换的含义，特别值得一提的问题：投影变换是一一映射吗？ 2. 在某个确定矩阵变换下求变换后的曲线一般方法是什么？已知变换前的曲线和变换 后的曲线如何确定变换的矩阵？ 3. 你还有哪些体悟，写下来：
第 10 课 几种常见的平面变换
基础诊断
1. ⑧ ②⑥ ③⑦⑨ ① ⑤⑩ ④
评注：掌握恒等、伸压、反射、旋律、投影、切变变换的矩阵，不必死记，要从几何变 换的角度去理解记忆．
[ ][ ] [ ] { ) { ) 2.
－2 解析：
m 0
0 1
－1 k
＝
－2 －4
，则
－m＝－2， k＝－4，
解得
m＝2， k＝－4，
－13 －20
x y
＝
－2x－7y －13x－20y
＝
x′ y′
，
{ ) 即
x′＝－2x－7y， y′＝－13x－20y，
代入 11x′－3y′－68＝0，得 x－y－4＝0，
即直线 l 的方程为 x－y－4＝0.
自测反馈
[ ] [ ] 1.
解析：由题意得旋转变换矩阵 M＝
cos90° sin90°
因为点 P′在直线 l 上，
所以 3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，
即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1.
又因为方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1 即为直线 l 的方程 3x－2y＝1，
{ ) { )4
所以
－3－2b＝3， 3a－6＝－2，
解得
a＝ ， 3
b＝－3.
解析：设点 P(x，y)是直线 l 上的任意一点，P′(x′，y′)是点 P 在矩阵对应变换下所得曲
坐标的一倍减少，这是沿 x 轴负方向的切变变换．
例 2 解析：在直线 l 上的任取一点 P(x，y)，设点 P 在 TM 的变换下变为点 P′(x′，y′)，
[ ][ ] [ ] { ) 则
－1 b
a 3
x y
＝
x′ y′
，
x′＝－x＋ay， y′＝bx＋3y，
所以点
P′(－x＋ay，bx＋3y)．
，
－
22
[ ] [ ] [ ] [ ] ⑦
－1 0
0 1
，⑧
1 0
0 1
，⑨
1 0
0 －1
，⑩
1 0
1 0
.
恒 等 变 换 有 ________； 伸 压 变 换 有 ________； 反 射 变 换 有 ________； 旋 转 变 换 有 ________；投影变换有________；切变变换有________．
3. 践习：在教材空白处：完成第 34 页习题第 3、4、5、6、7 题.
基础诊断
1. 指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换．
13
[ ]－
[ ] [ ] ① 2 3
2 1
，②
0.5 0
0 1
，③
－1 0
0 －1
，
22
13
[ ]－
[ ] [ ] ④
1 1
0 1
，⑤
2 1
2 3
，⑥
1 0
0 3
2. 解析：设曲线 C：x2＋y2＝1 上的任意一点 P(x，y)，在矩阵 M 对应的变换作用下得 到点 P1(x1，y1)，则
[ ][ ] [ ] { ) a 0
0b
x y
＝
x1 y1
，即
ax＝x1， by＝y1.
x2 又点 P1(x1，y1)在曲线 C′： 4 ＋y2＝1 上，
x
a2x2
所以 ＋y21＝1，则 ＋b2y2＝1.
－1 b
a 3
所对应的变换 TM 把直线 l：3x－2y＝1 变换
为自身，试求 a，b 的值．
[ ] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线
l：x＋y＋2＝0 在矩阵 M＝
a b
0 4
对应的变换作用下得
到直线 l′：3x＋y＋8＝0，求 3a＋b 的值．
考向
先用待定系数法求变换矩阵，再由该矩阵确 定对应变换下的曲线方程
[ ][ ] [ ] { ) { ) 则
0 1
1 0
x y
＝
x′ y′
，所以
x′＝y， y′＝x，
即
x＝y′， y＝x′.
因为点(x，y)在曲线 y＝ x上，
所以 x′＝ y′，即 x＝ y，所以 y＝x2，x≥0.
范例导航
[ ][ ] [ ] 例 1 解析：
1 0
0 －1
5 2
＝
5 －2
，几何意义：由计算结果可知变换前后点的横坐标不变，
[ ] 2.
设矩阵 M＝
a 0
0 b
(其中 a>0，b>0)，若曲线 C：x2＋y2＝1 在矩阵 M 对应的变换作用
x2 下得到曲线 C′： ＋yLeabharlann Baidu＝1，求 a＋b 的值．
4
[ ] 3.
已知直线 l：ax－y＝0 在矩阵 A＝
0 1
1 2
对应的变换作用下得到直线 l′，若直线 l′过点(1，
1)，求实数 a 的值．
第 10 课__几种常见的平面变换____
1. 了解矩阵的概念及几种常见的平面变换． 2. 掌握二阶矩阵与平面向量的乘法． 3. 理解线性变换的概念和意义；了解六种常见变换中哪些是线性变换.
1. 阅读：选修 42 第 12～35 页. 2. 解悟：①恒等变换；②伸压变换；③反射变换；④旋转变换；⑤投影变换；⑥切变变换， 理解几种变换的含义并找出它们的联系和区别？
所以
m＋k＝－2.
13
[ ] [ ] 3.
2 3
2 1
π
π
解析：顺时针方向旋转 ，相当于逆时针方向旋转－ ，代入
3
3
cosθ sinθ
－sinθ cosθ
＝
－
22
13
[ ]2 3
2 1
.
－
22
[ ] 4.
解析：设点(x，y)是曲线 y＝
x上的任意一点，在矩阵
0 1
1 0
的作用下点变换成(x′，y′)，
b d
，则由题意得
a c
b d
1 －1
＝
5 7
，
a c
b d
－2 1
＝
－3 6
，
a＝－2，
{ ) [ ] 所以
b＝－7， c＝－13，
故 M＝
－2 －13
－7 －20
.
d＝－20，
(2) 取直线 l 上的任意一点(x，y)，其在 M 作用下变换成对应点(x′，y′)，则
[ ][ ] [ ] [ ] －2 －7
例 3 二阶矩阵 M 对应变换将点(1，－1)与点(－2，1)分别变换成点(5，7)与点(－3，6)．
(1) 求矩阵 M；
(2) 若直线 l 在此变换下所得直线的解析式 l′：11x－3y－68＝0，求直线 l 的方程．
自测反馈 1. 求将曲线 y2＝x 绕原点逆时针旋转 90°后所得的曲线方程．
－sin90° cos90°
＝
0 1
－1 0
，
[ ] [ ][ ] 设 P(x0，y0)为曲线 y2＝x 上的任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则
x y
＝
0 1
－1 0
x0 y0
，
{ ) { ) 即
x＝－y0， y＝x0，
所以
x0＝y， y0＝－x.
又因为点 P(x0，y0)在曲线 y2＝x 上， 所以 y20＝x0，故(－x)2＝y， 即 y＝x2 为所求的曲线方程．
4
4
又曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1，故 a2＝4，b2＝1.
因为 a>0，b>0，所以 a＝2，b＝1，所以 a＋b＝3.
3. 解析：设 P(x，y)为直线 l 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换下变为直线 l′上的点
[ ] [ ][ ] { ) P′(x′，y′)，则
x′ y′
＝
0 1
1 2
[ ] [ ][ ] { ) 线上的点，则由
x′ y′
＝
a b
0 4
x y
，得
x′＝ax， y′＝bx＋4y，
代入
3x′＋y′＋8＝0，得(3a＋b)x＋4y＋8＝0，
因为 x＋y＋2＝0，所以 3a＋b＝4.
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 例 3 解析：(1)
不妨设 M＝
a c
x y
，化简，得
x＝－2x′＋y′， y＝x′，
代入 ax－y＝0，整理，得－(2a＋1)x′＋ay′＝0.
将点(1，1)代入上述方程，解得 a＝－1.
纵坐标相反，这是关于 x 轴对称的反射变换．
[ ][ ] [ ] 解析：(1)
01 10
5 2
＝
2 5
，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线
y＝x
对称的反
射变换．
[ ][ ] [ ] [ ] (2)
1 －1 01
5 2
＝
1
× 5＋（－1） × 0 × 5＋1 × 2
2
＝
3 2
，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵
[ ] 2.
点 (－ 1， k)在 伸 压 变 换 矩 阵
m 0
0 1
之 下 的 对 应 点 的 坐 标 为 (－ 2， － 4)， 则
m＋ k＝
________．
π 3. 旋转中心为坐标原点，且顺时针方向旋转 的旋转变换的矩阵为________________．
3
[ ] 4.
求曲线 y＝
x在矩阵
0 1