函数的性质

§函数的性质

函数的基本性质

1，函数的奇偶性

（1）函数的奇偶性的定义。

（2）函数的奇偶性的判断与证明。

（3）奇、偶函数图象的特征。

2，函数的单调性

（1）函数的单调性的定义。

（2）函数的单调性的判断与证明。

复合函数的单调性

（3）求函数的单调区间。

3.函数的周期性

(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有

x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周

期.(n为非零整数.)

命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠ c， b≠d 时，f(x)不是周期函数

4.函数图象的对称性

一·中心对称：

(1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地，

如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称

（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)

(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x)或 f(a+x)=- f(a-x)

(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.

二·轴对称：

（1）偶函数的图象关于Y轴对称；

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称

（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

（３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.

一般地，如果方程f(x,y)=0满足

f(x,y)= f(2a-x,y)，

则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称

(3)反函数的图象

函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；

函数y=f(x)的图象与－y=f-1 (－x)的图象关于直线y=-x对称；

设函数y=f(x)存在反函数，则其图象关于直线y=x对称的充要条件

为

f(x) =f -1(x).

函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：

命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。

命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。

命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。

小结:

关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎, X可念司)

f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;

f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.

方程坐标和折半, 符号一定要小心.

双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.

高考题例

1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减

函数，则a的取值范围是（）

(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(D)[2,+∞)

2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=

-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f等于（）

(A) (B)-0,.5(C)(D)

3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④ f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)

其中成立的是（）

(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④

练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,且存在反函数f-1(x),若f(4)=0,则f-1(4)= -2

(2005湖南)

解:函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,则其反函数f-1(x)的图象关于点(2,1)对称,

即f-1(4-x)=2-f -1(x).

又f(4)=0,则f-1(0)= 4.

在式f-1(4-x)=2-f -1(x)中令X=0得:

f-1(4-0)=2-f -1(0)=2-4=-2.

竞赛试题

4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（）

(A)可能是Φ(B)元素的个数是偶数

(C)元素的个数是奇数

(D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数

5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为

（）

(A)-a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a