高中数学选修1-2精品课件2：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

的统计资料：
使用年限 x
2
3
4
5
6
维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y 与 x 呈线性相关关系． 试求：(1)线性回归方程^y ＝b^ x＋^a 的回归系数^a 、b^ ；
(2)求残差平方和；
(3)求相关指数 R2；
(4)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
解：(1)由已知条件制成下表：
i
12
3
4
5 合计
xi
23
4
5
6
20
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3
x2i
4
9 16 25 36 90
n
n
x ＝4； y ＝5；x2i ＝90； xiyi＝112.3
i＝1
i＝1
于是有b^＝1129.03－ －55× ×44× 2 5＝1120.3＝1.23，
所以回归模型的的拟合效果较好．
^a＝
y
^
－b
x
＝5－1.23×4＝0.08.
∴^y ＝1.23x＋0.08.
(2)由公式^y 1＝1.23×2＋0.08＝2.54，得： ^y 2＝1.23×3＋0.08＝3.77， ^y 3＝1.23×4＋0.08＝5， ^y 4＝1.23×5＋0.08＝6.23， ^y 5＝1.23×6＋0.08＝7.46，
练习
2.为研究重量 x(单位：克)对弹簧长度 y(单位：厘米)的影 响，对不同重量的 6 个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图，并求线性回归方程： (2)求相关指数 R2，并判断模型的拟合效果； (3)进行残差分析．
第一章 统计案例
§1.1回归分析的思想及其初步应 用（2）
自主检测
^
1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，当变量 x 增加一个单位时( C ) A．y 平均增加 2.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位 C．y 平均减少 2.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立 地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别 为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s， 对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( A )
4．已知线性回归方程^y＝0.75x＋0.7，则 x＝11 时，y 的估
计值是___8_.9_5___．
例 1.炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的 长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时， 钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下 表.
∴^e 1＝2.2－2.54＝－0.34， ^e 2＝3.8－3.77＝0.03， ^e 3＝5.5－5＝0.5， ^e 4＝6.5－6.23＝0.27， ^e 5＝7.0－7.46＝－0.46. ∴ 残 差 平 方 和 为 ( － 0.34)2 ＋ 0.032 ＋ 0.52 ＋ 0.272 ＋ ( － 0.46)2 ＝0.651.
解：(1)散点图如下图所示：
－x ＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， －y ＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8) ≈9.487， ∑6 i＝1x2i ＝2275，∑6 i＝1xiyi＝1076.2. 计算，得^b≈0.183，^a≈6285＋0.183x.
解：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图．从图中 可以看出，各点散布在一条直线附近，即含碳量与冶炼时间线性相关．
(2)根据表中数据及^a，b^的计算公式得： b^≈1.267，^a≈－30.51. 所以所求的回归直线方程为^y ＝1.267x－30.51. (3)当 x＝160 时，^y＝1.267×160－30.51≈172(min)，即大约冶炼 172min.
(3)R2＝1－ 0.651
5
yi－ y 2
i＝1
＝1－－2.82＋－1.02.625＋1 0.52＋1.52＋22 ＝1－01.56.5718≈0.9587. (4)回归直线方程为^y ＝1.23x＋0.08， 当 x＝10 年时，^y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)． 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元．
(2)列表如下：
yi－^yi 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－－y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
6
∑i＝1
(yi－^yi)2≈0.01318，∑6 i＝1
(yi－－y )2≈14.6781.
所以 R2≈1－01.40.16371884≈0.9991，
x (0.01%) y(min)
104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的关系吗？ (2)求回归直线方程； (3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多长时间？
练习
1.观察两个相关变量得到如下数据：
x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1
y －0.9 －2 －3.1 －3.9 －5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
则两个变量间的回归直线方程为( B )
A．^y ＝0.5x－1
B．^y ＝x
C．^y ＝2x＋0.3
D．^y ＝x＋1
例 2.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)，有如下表
A．l1和l2有交点(s，t) B．l1与l2相关，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合
3．下图是根据变量x、y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图， 由这些散点图可以判断变量x、y具有相关关系的图是( D )
A．①② C．②③
B．①④ D．③④