代数式的恒等变形

教学·信息 课程教育研究 Course Education Ressearch 2015年9月 下旬刊
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· ·著名教育家裴斯泰洛奇说过：“教学最大的挑战是她的不可预知性。

”语文课堂教学是师生、生生、生本之间相互对话、相互碰撞的动态过程，课堂随时会出现一些非预设性的新情况、新动态。

这就是所谓的“不可预知性”，通常也叫做节外生枝。

教师该如何运用教学的节外生枝，使其也能绽放出春天的光彩，我谈两个看法。

一、节外生枝，巧在引导
有位教师教学苏教版五年级下册的《埃及的金字塔》第二自然段，形成下面的对话：
师：读了这段话，谁来说说金字塔有什么作用？
生：金字塔是拿来看的！（全班同学哄堂大笑，该同学满脸通红）
师：这位同学已经跳出课文，融入了自己的理解，他把今天金字塔的作用用一个“看”字进行了高度的概括。

这个“看”字可不一般呀，同学们请想一想，你能给“看”换个词吗？
生（纷纷举手）：欣赏、研究、考察、勘探、瞻仰。

师：说得好！下面请同学们认真的默读第3、4、5、自然段，想一想，不同身份的人站在金字塔前，他们是怎么“看”的？
《课标》指出：“阅读是学生的个性化行为。

”学生对文本的阅读感悟，是依据自己的阅读经验和情感而产生自然而真实的反应，有时会出现教师不可预料的阅读感悟。

上述教学，由于学生的生活经验和对文本的感悟不同，其认识确实偏离了课文内容。

但执教老师却没有简单地否定，而是充分尊重学生的个性化理解，顺学而导，由“看”引出“欣赏、研究、考察、勘探、瞻仰”等意思，让学生带着问题与文本进行一番深层次的对话，再次交流自己的体会和感悟。

看似离谱的回答，在老师巧妙地引导下，竟化腐朽为神奇。

学生的思维火花被点燃了，“欣赏金字塔、研究金字塔、勘探金字塔……”，对金字塔的崇敬之情、热爱之情油然而生，课堂呈现百花齐放、百家争鸣的局面，也加深了学生对文本的理解和感悟。

这样的引导，既呵护了学生，化解课堂教学的尴尬，又引发学生深入阅读探究，发表见解，从而获得真知求知。

课堂也因为教师的巧妙引导，使“节外生枝”闪现出最真实的活力，流淌出最精彩的生命激情。

二、节外生枝， 妙在拓展
教学苏教版五年级下册《郑和远航》，快结束的时候，教师问学生还有什么疑问。

学生提出疑问：课文中写，每艘宝船长约148米，宽约60米，有十多层楼那么高。

郑和下西洋的宝船真有课文中写得那么高大吗？教师马上竖起大拇指赞叹：这位同学真是了不起呀！能大胆的提出疑问，并结合课文内容阐述自己的见解，这才是会思考、会读书的孩子！对于“宝船”到底有多大，我想单凭书上的内容来解决这个问题显然是不够的，请同学
们回家后认真查找、收集资料，我们专门开展一次交流会，好吗？学生兴奋地接受了任务。

语文学习的综合性与开放性要求教师将语文学习的内容向课外拓展，在延伸过程中引导学生去探索，使得学生在比较、对照、引申、拓展过程中拓宽思维的空间，提高阅读质量，培养学生探究性阅读和创造性阅读能力。

本片断教学中，当学生在理解课文内容的基础上，经过自己的思考，提出有价值的问题，而教师一时无法解惑时，是不理不睬，还是维护“师道尊严”，或是信口雌黄？体现一个教师的教学机智和教学素养。

该教师在学生提出自己无法解答的问后，不是简单处理，而是把让学生的视野由课内拓展到课外。

学生通过查找、整理资料，写文章，制作手抄报等活动，既巩固、加深、活用、扩大课内所学的语文知识，又提高学生的语文能力，拓宽了学生的知识视野。

三、节外生枝，智在唤醒
春末夏初的早晨，教室里正在进行单元测验。

忽然，一个不速之客——蜜蜂不请自来，嗡嗡地飞行着。

此时，所有同学的目光都追随着蜜蜂。

教师在黑板上快速地写下一行字“请安静，春的使者到了!我们该怎么做呢？”接着，教师轻轻地把门打开，靠窗户的同学迅速地把窗户推到最大。

过了几秒钟，蜜蜂终于找到了出口，飞走了。

周五的“本周最佳镜头”——周记指导活动中，很多同学都把蜜蜂飞入教室评为本周最佳镜头。

当学生把周记本交上来时，教师惊异地发现，许多充满灵性、流露着诗意的题目拨动着教师的心扉：《欢迎你，春的使者！》《春天的“礼物”》《当春天来到教室》《春的序曲》《使者，您好！》《小蜜蜂历险记》《蜜蜂巡视员》……　
教育家第斯多惠说：“教学艺术的本质不在于传授，而在于激励、唤醒、鼓舞。

”有时学生的生活中会闪现丰富的、感人的作文素材，而学生忙于作业，忙于玩耍却没有注意到，让宝贵的素材悄然流逝。

作文，需要一双智慧的眼睛、一对灵性的耳朵和一颗善感的心灵。

但这一切不是学生自发的、与生俱来的，而是在教师潜移默化训练中产生的。

以上教学片断中，一位不速之客——蜜蜂的到来，干扰了学生的测验，面对此“非预设性”，教师没有恼怒，也没有忙着驱赶，而是灵机一动，顺应学生心理，拨云去雾，让学生想想怎样对待这位春天的使者。

这样的举措，既维持考场的秩序，又唤醒学生对大自然生灵的热爱之情，让学生自己发现这些可遇不可求的作文素材，用个性语言表述出来。

《春天的“礼物”》《当春天来到教室》《春的序曲》《小蜜蜂历险记》这样灵动、美妙、富有诗意的习作就跃然纸上，表达“真情实感”也就不再是一句空话。

代数式的恒等变形
刘书海
（湖北咸宁职业教育（集团）学校 湖北 咸宁 437100）
【摘要】代数式的恒等变形是初中数学竞赛的一项重要内容，它运用灵活，恰当的变形往往带来意想不到的结果，下面列举几个有关的例题，以飨读者。

【关键词】方程 完全平方公式 因式分解
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0174-02将一个代数式变为与它相等的另一个代数式叫做代数式的恒等变形，一般来讲，变形中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法及利用因式分解等诸多方法。

不管是全国数学联赛还是各省市地方竞赛，代数式的变形以它独特的魅力和作用很多时候决定着参赛者的成绩，教师在培训的时候往往也将其作为一个基本知识点和重点，笔者从历届联赛摘取了相关真题，有的方法比较独特，希望对大家有所帮助。

例1.已知a,b,c 为正数，满足：a+b+c=32…①
② 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角。

（2009年全国初中数学联赛试题第二试（C）卷第三题）分析：从已知条件看，由于是等式关系，而且出现了b+c-a,c+a-b,a+b-c 三项，很有可能以，为三边长的三角形是
直角是直角三角形，但由于a,b,c 的地位完全相同，故不能确定哪一边是斜边，哪两边是直角边，故b+c-a,c+a-b,a+b-c 皆有可能为0，于是猜想（b+c-a）(c+a-b)(a+b-c)=0,如果成立，则假
设成立.
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· ·例2.已知三个不同的实数a,b,c 满足a-b+c=3,方程x 2
+ax+1=0和x 2+bx+c=0有一个相同的实根，方程x 2+x+a=0和x 2+cx+b=0也有一个相同的实根，求a,b,c 的值 .（2011年全国初中数学联赛试题第二试（A）卷第一题）
分析：通过相减可有效消去有等根的两方程的二次项，然后观察第一组方程和第二组方程根的关系，逐步抽丝剥茧，可得到最后结果.
例3.已知正整数a,b,c 满足ab+bc+ca+2(a+b+c)=8045…①abc-a-b-c=-2…②，求a+b+c 的值（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题个人赛第1题）
分析：从题目的条件来看，两个方程，三个未知数，直接求解不可能，而且8045这个数值过大.注意到 且条件中出现了ab+bc+ca，a+b+c ，abc,很容易让人联想到(a-1)(b-1)(c-1)和(a+1)(b+1)(c+1)，经试验，只能用(a+1)(b+1)(c+1)。

然后通过因式分解即可得到结果.
（2010年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第二试第1题）
分析：两个方程，三个未知数，要求出a,b,c 的值显然不可能，但由条件我们可以得到a,b,c的关系，然后带入c 2
(a+b)可得到结果.
（2010年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第二试第8题）
分析：如果直接利用已知条件解根式方程，几乎不可能，注意到x+35-x=35利用这个隐含条件，同时利用立方和平方和公式，
再巧妙运用代换即可得到结果.
但是注意到(a+b)2≤2(a 2+b 2),即p 2≤26,经检验，p=-7不满足此条件，故舍去.
∴a=5或2
例6.已知a,b,c 三数满足方程组：a+b=8…①
②
试求方程 的根.（2002年全国初中数学联赛试题第二试（A）第一题）
试求方程bx 2+cx-a=0的根.（2002年全国初中数学联赛试题第二试（A）第一题）
分析：由②式，可得联立①式，可知a,b 是某个一元二次方程的两个根，再根据△≥0，可得到关于c 的一元二次不等式，再根据一元二次不等式的条件可求得c，进而求得a,b,
最后可得到结果.
例7.实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,则a+b=＿＿＿＿＿＿.（2004年全国初中数学联赛试题第一试填空题第3题）
分析：在以前的学习中，我们知道a 3+b 3+c 3
-3abc
代数式的变形形式多种多样，不同的题目有不同的解法，就
是同一道题目也有不同的解法，不能一概而论。

切忌照猫画虎，应当灵活运用，具体情况具体分析。

竞赛试题内容广博，命题新颖，思路开阔，对学生的综合素质和创新精神要求较高，本文也不可能涵盖关于代数式的恒等变形的所有情况，以上例子也属个人见解，如果大家能有更好的方法，还请不吝赐教。