线性代数课件-11引言

x1
5x2 0 3x2 0
2×3 线性方程组 2元线性方程组 2×3齐次线性方程组 2元齐次线性方程组
• 线性方程组的解：
对线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1

a21x1 a22x2 a2nxn b2

b2 a 11
a 22 a 12
a 21 a 22
若 a11a22 a12 a21 0
a 11 b1
,x2
b2a11b1a21 a11a22a12a21

a 21 a 11
b2 a 12
a 21 a 22
二阶 行列式
a －c
b d
adbc 如 3
2
1 3
11
＋
a11 a 21
再将jk依次与ji、 ji+m… ji+1做相邻对换 得排列j1 j2 …ji–1 jk ji+1…ji+m ji jk+1 …jn 共做了m+（m+1）=2m+1次相邻对换 由于一次相邻对换改变排列的奇偶性，而 2m+1相邻对换为奇数次，故改变了排列的奇偶性 故 一次对换改变排列的奇偶性
定理1·1 一次对换改变排列的奇偶性
因此
j1 j2 ji 1 jijkjk 1 jn 与
j1j2 ji 1jkjijk 1 jn 奇偶性不同
即当ji、 jk为相邻两个数时
j1j2 ji1jijkjk1 jn ji,jk j1j2 ji1jkjijk1 jn
排列 j1j2 ji1jijkjk1 jn与排列 j1j2 ji1jkjijk1 jn 奇偶性不同
其中
x1,x2,xn
未知量
n
未知量的个数
m
方程的个数
a ij
第i个方程第j个未知量的系数
bi
第i个方程的常数项
• 例如：a23代表第二个方程第三个未知量的系数
b4代表第四个方程的常数项
• 对线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1

a21x1 a22x2 a2nxn b2
解 (nn1n232)1
(n1)(n2) 21
n(n 1) 2
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 排列
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列
【例3(补）】判断排列135…（2k-1）246…（2k）的奇偶性
解 1 3 ( 2 k 5 1 ) 2 4 ( 2 k ) 6
（3，5）
• 例如 23154
25134
231543 奇排列
251344 偶排列
【定理1·2】在所有的n 级排列中（n>1）,
奇排列与偶排列的个数相等，各为
n 2
!
个.
证明: 设在n!个n级排列中（n>1）, 奇排列共有p个,偶排列共有q个，
则p+q= n ! 现对每一个奇排列施行一次对换，即
a12 a 22
a1a122a12a21,
b1 b2
a12 a 22
b1a22a1b22 ,
（5，1，-3）为一个
解（5c, c, -3c)为一个解（c为任意常数）
解
零解

(k1,k2, kn)(0 ,0 , 0 )
非零解 (k1,k2, kn)(0 ,0 , 0)
解的结构 有解
唯一解 无穷多解
无解
第一章 行列式
§1·1 排列与逆序 §1·2 n阶行列式的定义 §1·3 行列式的性质 §1·4 行列式按行（列）展开 §1·5 Cramer法则
5x 0 10 2x 4 21 0x 6 30 6x4 0438
400x1 180x2 100x3 100x4 3400 1x 0 1 1 0x 2 2 1 0x 8 3 0 4x 4 0 24
µÚ ËÄ Åú Éú ²ú 100 120 180 40 2420
对二元线性方程组

a a
11 21
x1 x1

a 12 a 22
x2 x2

b1 b2
aa1211aa121212xx1111
a1122a2212xx22 a2222a1112xx22
bb11aa2212 bb22aa1112
( (a 1 aa 12 2a1 2 12 a 1 aa 22 2a2 ) 1x 1)1 x 2 b 1 a 2 b1a 22 b 12 a 1 b2a12 1
解：设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为 x1、x2、 x3、 x4,则
• 线性方程组的一般表达式：
a11x1 a12x2 a1nxn b1

a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
若 a11a22 a12 a21 0
x1
b1a2 a1 1a2
2b2a1 2 2a1 2a2 1
,x2
b2a11b1a21 a11a22a12a21
对aa2111xx11 aa1222xx22
b1 b2
b1 a 12
x1
b1a22b2a12 a11a22a12a21
（2）52341 逆序：52、53、54、512、1、31、41
523 471 （3）1234567 逆序：无 12345607
逆序数的计算方法:
j1j2 jn = j1 后面比j1小的数的个数
+ j2后面比j2小的数的个数 +…
+ jn-1后面比jn-1小的数的个数
【例2（补）】 求排列 nn1n232的1逆序数
（3，5）
• 例如 23154
25134
23154 （3，1） 21354
相邻对换
定理1·1 一次对换改变排列的奇偶性
即：
若 j1j2jijkjn ji, jkj1j2jkjijn
则 j1j2 ji jk jn与
j1j2 jk ji jn奇偶性不同
定理12在所有的n级排列中n1奇排列与偶排列的个数相等各为电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义二n阶行列式定义14个数ijj123n组成的符号nn22211211称为n阶行列式ij位于行列式中第i行第j列的元素例如32位于行列式中第3行第2列的元素第一行第二行电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义二阶行列式211222112112两项的代数和每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积22211211三阶行列式333231232221131211322311332112312213322113312312332211六项的代数和每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义333231232221131211两项的代数和每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积六项的代数和每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积22211211电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义nn22211211行列式中n个不同行不同列的元素的乘积n
引言
线性方程组：由一次方程构成的方程组称为 线性方程组。
例如

x1 2 x1

x2 x2

x3 x3

1 0

x1 5 x 2 3x2 2
4
• 方程组 x1 x 32x31
2 x1 x 2 x3 0
为非线性方程组
【实例】 设在一次投料生产中能获得四种产品， 通过四次测试，每次测试的总成本如下表所示， 试求每种产品的单位成本。
• 逆序：
在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的 大小顺序相反（即排在前面的数大于排在后 面 的数），则称这两个数构成排列的一个逆序。
即 对n级排列 j1 j2 … ji… jk… jn,， 若ji＞ jk， 则称ji与 jk构成一个逆序， 记为 ji jk 。
• 例如：在三级排列312中 逆序：31 、32 在四级排列4231中 逆序：42、21、31…
再证 ji、 jk为任两个数时结论成立 设
j1j2 ji1jiji1 jimjkjk1 jn ji, jkj1j2 ji 1jkji 1 jimjijk 1 jn
先将ji依次与ji+1、 ji+2、… ji+m做相邻对换， 得排列j1j2…ji–1 ji+1…ji+m ji jk jk+1…jn
am1x1 am2x2 amnxn bm
（*）
若 x1,x2,xn 分别用 k1,k2,kn 代替时，
（*）中的每一个方程都成为恒等式，则称 (k1,k2,kn) 为方程组（*）的一个解。
• 例如

x1

x2 2 x3 3x2 x3

0 0
（0，0，0）为一个解
54321 3142 214 1324
5级
4级
排
排
列
列
不是 3
排列
不是 排列
n 级排列的三要素
• 由n 个自然数组成
• n个数中不能有重复数
• 不能有大于n的数
131 4
不是 排列
n级排列的总数＝ n!个
• 例如 由1、2、3、4这四个数可构成四级排列
4级排列的总数＝4!个=24 个
213 214 421
【证】 先证ji、 jk为相邻两个数时结论成立
设 j1j2 ji1jijkjk1 jn ji,jk j1j2 ji1jkjijk1 jn
且
j 1 j2 j i 1 j ijk jk 1 jn l
则 若 ji ＜ jk ji ＞ jk
j 1 j 2 j i 1 j k j ij k 1 j n l 1 j 1 j 2 j i 1 j k j ij k 1 j n l 1
产品
产量（kg)
Åú ´Î
A B C D × Ü ³É ± ¾
µÚ Ò» Åú Éú ²ú 300 40 20 20 1160
µÚ ¶þ Åú Éú ²ú 500 240 160 60 4380
µÚ Èý Åú Éú ²ú 400 180 100 100 3400
由题意可列出方程组：
300x1 40x2 20x3 20x4 1160
am1x1 am2x2 amnxn bm
（*）
若m=n,则（*）称为n元线性方程组 若m≠n,则（*）称为m×n线性方程组
• 在线性方程组（*）中，若bi=0 即
i=1、2…m
a11x1 a12x2 a1nxn 0

a21x1 a22x2 a2nxn 0
奇排列 j1j2jijkjnji, jkj1j2jkjijn 偶排列
由此可得p个偶排列，
由于偶排列的个数共有q个，所以
pq
同理，对q个偶排列各做一次对换，可得q 个 奇排列，而奇排列共有p个，故有
因此，
pq
p=q.
又
p+q=n!
故
p=q= n !
2
（一） 二、三阶行列式
am1x1 am2x2 amnxn 0
（**）
则称（**）为齐次线性方程组
• 例如

x1 2 x1

x2 x2

x3 x3

1 0

x1
5x2 4 3x2 2

x1 2x
1
x2 x
2

x3 x3

0 0

• 【例1】求下列排列的逆序 （1）3241 逆序：32、31、21、 41 （2）52341 逆序：52、53、54、512、1、31、41 （3）1234567 逆序：无
逆序数:
一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆
序数 。 记为 j1j2 jn
• 例如
（1）3241 逆序：32、31、21、41 32414
§1·1 排列与逆序
引例 解
用1、2、3三个数字，可以组成多 少个没有重复数字的三位数？
三级排列
123
132
213
231
312
321
总数=6 （个） ＝3！（个）
•排列：由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序 数组称为一个n级排列，简称为排列。
自然排列： n级排列123…n 称为自然排列。
123 (k 1) k(k 1)
• 当k=4n时， t = 2n(4n-1)为偶2 数
=t
• 当k=4n+1时， t =2n(4n+1)为偶数 (2•k)当的k前=4一n+个2数时是，（t 2=k(-22n),+因1)此(4，n+（1)为2k奇-1)数与 24•6…当k（=42nk+-23)时这，些数t =构(2成n+逆1)序(4n，+共3)为（奇k-1数)个
因此:当k=4n或k=4n+1时，该排列为偶排 列
• 对换：
在一个n级排列j1 j2 … ji … jk…jn 中，若仅将其 中两个数ji、 jk对调,其余不动，可得一个新的排列 j1 j2 … jk … ji…jn ,对排列所施行的这样一次对
调称为一个对换。 记为（ ji， jk ）
• 相邻两个数码的对换称为相邻对换
4
3
3
• 排列的记号： j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列
• ｛ j1 j2 j3…jn ｝——— 所有n级排列 • 例如：｛ j1 j2 j3 ｝表示所有3级排列 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312