2018届高三数学(文)二轮复习专题集训：专题三三角函数与平面向量3.1 Word版含解析

A 级
1．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋2α＝( ) A ．－1
2
B ．1 C.12
D ．－
32
解析： 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝3
2，又因
为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－1
2
. 答案： A
2．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )
A.5
18 B ．－518
C.185
D ．－185
解析： 由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－518，则tan θ＋
1
tan θ＝
sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－18
5，故选D. 答案： D
3．(2017·西安市八校联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π
6个单位后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最小值为( ) A.3
2
B ．12
C ．－12
D ．－
32
解析： 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭
⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤
－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－3
2，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32，选D.
答案： D
4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π
6(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.若将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点
的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在下列区间上是减函数的是( )
A.⎣⎡⎦⎤－2π3，2π
3 B ．[0，π] C ．[2π，3π]
D ．⎣⎡⎦⎤
2π3，π
解析： 将f (x )的图象向右平移π
6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫
x 4－π6的图象，
所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭
⎫x 2－π
3. 令2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，可得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π
3(k ∈Z )．
故函数g (x )在⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π
3(k ∈Z )上是减函数，结合选项即得选D. 答案： D
5．(2017·湖南省湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1
2，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π
4
，则函数的单调递增区间为( )
A.⎣⎡⎦⎤－π
2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π
2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤π＋2k π，5π
2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦
⎤π＋3k π，5π
2＋3k π，k ∈Z 解析： 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2π
ω，所以ω
＝23，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12，所以－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π
2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z )，故选B.
答案： B
6．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭
⎫x ∈
⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．
解析： f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －3
4
＝－⎝
⎛⎭
⎫cos x －
322
＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝3
2
时，f (x )取得最大值，最大值为1. 答案： 1
7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝1
5
，则sin α－cos α＝________.
解析： sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝1
25，即2sin α·cos α＝－
2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π
2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75
.
答案： －7
5
8．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π
4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．
解析： 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. 答案： [3，＋∞)
9．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－1
2. 解析： (1)f (x )＝
32cos 2x ＋3
2
sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.
(2)证明：因为－π4≤x ≤π
4，
所以－π6≤2x ＋π3≤5π
6
.
所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12
. 10．(2017·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的单调性． 解析： (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π
8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π
8
(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π
8；同理，其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤
3π8，π2.
B 级
1．(2017·兰州市诊断考试)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，如果x 1＋x 2＝2π
3
，则f (x 1)＋f (x 2)( )
A.32
B ．
22
C ．0
D ．－12
解析： 由图知，T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∵⎝⎛⎭⎫
π3，0在函数f (x )的图象上，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.∵x 1＋x 2＝2π3
，
∴f (x 1)＋f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 1＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 1＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫4π3－2x 1＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 1＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎫－2x 1－π
3＝0. 答案： C
2．(2017·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x 的方程(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2在(0，π)上有实根，则实数t 的最大值是________．
解析： 由题意可得，－1t ＝1－cos x ＋sin x 2－cos x ＝1－1－sin x 2－cos x ，
令P (cos x ，sin x )，A (2,1)，
则k P A ＝1－sin x
2－cos x ，因为x ∈(0，π)，所以－1<cos x <1,0<sin x ≤1，令a ＝cos x ，b ＝sin x ，
则点P 是上半圆a 2＋b 2＝1(0<b ≤1)上任意一点，如图，可知，0≤k P A <1，所以0<1－
1－sin x
2－cos x ≤1，即0<－1
t
≤1，故t ≤－1，实数t 的最大值是－1.
答案： －1
3．已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3，x ∈R . (1)画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，x ∈[0，π]的简图； (2)求函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3，x ∈[－π，0]的单调递增区间； (3)函数g (x )＝2cos 2x 的图象只经过怎样的平移变换就可得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，x ∈R 的图象？
解析： (1)函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3，x ∈[0，π]的简图如图：
(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π
12，0. (3)因为g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2， f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π2， 所以将函数g (x )＝2cos 2x 的图象向右平移5π
12个单位长度就可得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．
4．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
4－5a ＋2. (1)设t ＝sin x ＋cos x ，将函数f (x )表示为关于t 的函数g (t )，求g (t )的解析式； (2)对任意x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2，不等式f (x )≥6－2a 恒成立，求a 的取值范围． 解析： (1)f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2－2(cos x ＋sin x )－5a ＋2＝sin 2x －2(cos x ＋sin x )－5a ＋3，
因为t ＝sin x ＋cos x ，所以sin 2x ＝t 2－1，其中t ∈[－2，2]， 即g (t )＝t 2－2t －5a ＋2，t ∈[－2，2]．
(2)由(1)知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4∈[1，2]， 又g (t )＝t 2－2t －5a ＋2＝(t －1)2－5a ＋1在区间[1，2]上单调递增， 所以g (t )min ＝g (1)＝1－5a ，从而f (x )min ＝1－5a ，
要使不等式f (x )≥6－2a 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立，只要1－5a ≥6－2a ，解得a ≤－5
3. 故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－5
3.。