高密市第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

高密市第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008）的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．不确定
2． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
3． 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
71 B ．73 C ．74 D ．7
6
4． 已知函数f （x ）=e x +x ，g （x ）=lnx+x ，h （x ）=x ﹣的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
5． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
6． 已知M 是△ABC 内的一点，且=2
，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为
，x ，y ，则+的最小值是（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
7． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13
8． 设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
9． 设集合A={x|x 2+x ﹣6≤0}，集合B 为函数
的定义域，则A ∩B=（ ）
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
10
．平面向量
与的夹角为60°
，=（2，0），
||=1，则
|
+2|=（ ）
A
． B
．
C ．4
D ．12
11．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
二、填空题
13．已知,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2
(2)()f x f x ->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 14．满足tan （
x+）≥
﹣的x 的集合是 ．
15
．已知复数
，则1+z 50+z 100
= ．
16．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合
M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的
取值范围是．
18．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣
2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
三、解答题
19．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．
（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．
20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．
21．（本小题满分12分）
已知函数
21
()
x
f x
x
+
=，数列{}n a满足：12
a=，
1
1
n
n
a f
a
+
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（N
n*
∈）.
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
22．设f （x ）=x 2﹣ax+2．当x ∈，使得关于x 的方程f （x ）﹣tf （2a ）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
23．（本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k P A ·k PB ＝－1
2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
24．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为
极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

高密市第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵f （1988）=asin （1988π+α）+bcos （1998π+β）+4=asin α+bcos β+4=3，
∴asin α+bcos β=﹣1，
故f （2008）=asin （2008π+α）+bcos （2008π+β）+4=asin α+bcos β+4=﹣1+4=3，
故选：B ．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=
﹣
+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a
）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3
）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
3． 【答案】A
【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率2
7317
P C =
=． 4． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）=0得e x
=﹣x ，由g （x ）=0得lnx=﹣x ．由h （x ）=0得x=1，即c=1． 在坐标系中，分别作出函数y=e x
，y=﹣x ，y=lnx 的图象，由图象可知
a ＜0，0＜
b ＜1， 所以a ＜b ＜
c ． 故选：B ．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
5． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
6． 【答案】B
【解析】解：由已知得
=bccos ∠BAC=2⇒bc=4，
故S △ABC =x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，
而+=2（+）×（x+y ）
=2（5++）≥2（5+2
）=18，
故选B ．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．
7． 【答案】D 【解析】
考
点：等差数列．
8．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
9．【答案】D
【解析】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，
要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，
∴函数的定义域B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2]，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础
10．【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
11．【答案】A
【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，
由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
12．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2
+4ai 是实数，
∴4a=0， 解得a=0． 故选：C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】(
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
14．【答案】 [k π， +k π），k ∈Z ．
【解析】解：由tan （x+）≥﹣得+k π≤x+＜+k π，
解得k π
≤x ＜
+k π，
故不等式的解集为[k π， +k π），k ∈Z ，
故答案为：[k π
，
+k π），k ∈Z ，
【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．
15．【答案】 i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50
=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2
=﹣1．
16．【答案】 ①③⑤
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P 1（0，1），P 2（0，0），P 3（1，0），P 4（1，1）．
∵集合M={x|x=
且i ，j ∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），=
=（0，﹣1），
==（1，0），
∴
•
=1；
•=1；
•
=1；
•
=1；
∴当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i ，j ）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i ，j ）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M 中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤， 故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，
﹣1），=
=（0，﹣1），
=
=（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于
难题．
17．【答案】
.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
时，直线y=2mx−1与y=ln x的图象相切，
当m=1
2
时，y=ln x与y=2mx−1的图象有两个交点，
由图可知,当0<m<1
2
），
则实数m的取值范围是（0,1
2
）.
故答案为：（0,1
2
18．【答案】．
【解析】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．
f′（x）=﹣=，
∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．
∴当x ＞λ时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增； 当0＜x ＜λ时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． ∴当x=λ时，函数f （x ）取得极小值，即最小值，
∴f （（λ）=
=0，解得λ=．
（2）证明：函数f （x ）=﹣alnx=
﹣alnx=x ﹣
﹣alnx ＞x ﹣λ﹣alnx ．
令u （x ）=x ﹣λ﹣alnx ．
u ′（x ）=1﹣=
，可知：当x ＞a 时，u ′（x ）＞0，函数u （x ）单调递增，x →+∞，u （x ）→+∞．
一定存在x 0＞0，使得当x ＞x 0时，u （x 0）＞0，
∴存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞u （x ）＞u （x 0）＞0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （1）=1，f （2）=5，f （3）=13，f （4）=25， ∴f （2）﹣f （1）=4=4×1． f （3）﹣f （2）=8=4×2， f （4）﹣f （3）=12=4×3， f （5）﹣f （4）=16=4×4 ∴f （5）=25+4×4=41．…
（Ⅱ）由上式规律得出f （n+1）﹣f （n ）=4n ．… ∴f （2）﹣f （1）=4×1， f （3）﹣f （2）=4×2，
f （4）﹣f （3）=4×3， …
f （n ﹣1）﹣f （n ﹣2）=4•（n ﹣2）， f （n ）﹣f （n ﹣1）=4•（n ﹣1）…
∴f （n ）﹣f （1）=4[1+2+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）]=2（n ﹣1）•n ，
∴f （n ）=2n 2
﹣2n+1．…
21．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +=
=+，∴11
()2n n n
a f a a +==+.
即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++===+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-
++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++
11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+. （
12分） 22．【答案】
【解析】设f （x ）=x 2
﹣ax+2．当x
∈，则t=
，
∴
对称轴m=∈（0，]，且开口向下；
∴
时，t
取得最小值
，此时x=9 ∴税率t 的最小值为
．
【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！ 23．【答案】 【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2
b
2＝1， ∴m ＝±b 2
a ，
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a c －a
＝－12，即b 2＝12a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1， 此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 21＋2k 2
＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2x .
24．【答案】（1）点P 在直线上 （2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P （0，4）。

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P 在直线上，
（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为，
从而点Q 到直线的距离为
，。