第一章 质点运动学

4）t=1s时质点的速度和加速度；
习题2、有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐
标为x = 4.5 t2 - 2 t3 (SI) ．试求：
(1)第2秒内的平均速度；
(2)第2秒末的瞬时速度；
(3)第2秒内的路程．
习题3 （P29-1-5）已知质点的加速度与
位移的关系式为 a 3 x 2 ，当 t 0
坐标系的选择以研究方便为原则。
1 质点运动的描述 二、位置矢量 运动方程 位移
第一章 质点运动学
1、位置矢量 质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置 矢量, 简称位矢 。
r r xi yj zk
yj
j、 式中 i 、 k 分别为x、 y、z 方向的单位矢量.
cos x r cos y r cos z r
zk
yj

o


r
P
xi
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
●位矢的建立及注意事项
（1）、选择合适的坐标系； （2）、标出质点在坐标系中的位置； （3）、由坐标原点向质点所在处引一条有向线段； （4）、该有向线段在坐标轴上的投影值分别为
1 、切向加速度
at（由速度大小变化引起）
方向：
d d v at r r dt dt ，切线方向，与 v 同向 e
t
2、 圆周运动
第一章 质点运动学
2、法向加速度（由速度方向变化引起）
det det an = v 1 en v o dt dt r et v lim en v lim t 0 t t 0 t e t d v en v en et1 dt e
1、矢量=矢量 2、微量=微量 3、物理关系相等
8）
dx t dv
10）
9）
dv dv dt dt
习题1（P30-1-11）
2 已知质点的运动方程： r 4t i (3 2t ) j (m)
求：1）质点的轨迹方程；
2）t=1s时质点的坐标和位矢方向；
3）第一秒内的位移和平均速度；
若在三维坐标中，则有：
1 质点运动的描述 位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间位 置的 变化, 与路径无关，只决定 于质点的始末位置.
第一章 质点运动学
y
r (t1 )
O
P 1 r
r (t2 )
s
P2
B）反映了运动的矢量性和叠
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
v2 et 2 v1 e t1
1） r r2 r 1 2） r v dt
4） dr r r 2 1
t1
3）dr v dt
1、矢量=矢量 2、微量=微量 3、物理关系相等
t2 5） dr v dt
6） 7）
x vx dt
x vx dt
dr dr dt dt
2 dv x dv y dv d r i j 加速度 a 2 dt dt dt dt
a axi ay j az k
加速度大小:
2 x 2 y
a a a a
2 z
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
O
v a t
y
A
vA
B
vB
2）（瞬时）加速度
v dv a lim t 0 t dt
x
vA
v
vB
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
v 2 2 ax a y 加速度大小 a lim t 0 t
若质点作三维运动时，加速度为
ds r d r = dt dt
圆周运动的速度： v ve r e t t
2、 圆周运动 第一章 质点运动学 三 圆周运动的加速度 —— 切向加速度和法向加速度
dv a dt
v vet
大小：
det d (vet ) dv a et v dt dt dt
（5）、写出位矢 r xi yj zk
x、 y、 z；
；
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
2、运动方程：位置矢量 r
x x(t ) y y (t )
随时间的变化情况;
yj
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
1、参考系
描述一个物体的运动时，被选为参考的一个或一群相对静 止的物体，称作参考系。如我们说“车在走”（以地面为参考 系）， 又如当两个人在运动的车上时一人说“别动”（以车 为参考系）。 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这 就是运动描述的相对性. 又如：对于站在地面上的人而言，看到是竖直下落的雨滴， 而在一列匀速直线运动的火车上的人观察到的结果是雨滴 是斜向下的。
第一章 质点运动学
运动学-----对物体的位置随时间而改变的研究 称为运动学。
运动的形式-----机械运动、分子热运动、电磁运动、 原子和原子核运动以及其他微观粒子的运 动等。 机械运动-----最简单、最常见的一种运动形式，包 括平动和转动。
1 质点运动的描述 一 参考系 质点 坐标系
第一章 质点运动学
注意
加性.
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化（径向增量）
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
2 2
2
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
4 、路程（ s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
分量式
y (t )
z z (t )
r (t )
P
轨迹方程：从中消去参数
t得
f ( x, y, z) 0
zk
z (t )
o
x(t )
xi
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
3、位移 ：位移是指质点在一段时间内位置矢量的变化
y
A rA (t )
r
y
B
rA (t )
A
角坐标:
(t )
单位：rad
d 角速度: dt
单位：rad s 1
2
d 角加速度: dt
单位：rad s
2、 圆周运动 2、 质点作圆周运动时的速率
推导一：
第一章 质点运动学
dr 推导二： v v dt
r s lim v lim t0 t t0 t d r r lim r t0 t dt
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
练习：判断下列等式的正误，并更正。
s
p1
'
r
r (t 2 )
s
p2
C）什么情况 r s ？
z
O
x
1）不改变方向的直线运动;
2）当 t 0 时 dr ds .
D）位移是矢量, 路程是标量.
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
三 速度 (反映物体运动快慢和方向变化) 1、平均速度
r xi yj 或 v vxi v y j
第一章 质点运动学
y
yB yA
( xB xA )i ( yB yA ) j xi yj
rA
A
r
rB
B y y B A
o
xA xB xB x A
x
r xi yj zk
2 2 2 位移的大小为： r x y z
极坐标：r (r , ) 直角坐标：r xi yj
其中：
y
x r cos y r sin
o
x r cos

r
A
y r sin
x
2、 圆周运动
第一章 质点运动学
二 、圆周运动
运动特点：质点的位置只需一个参数 即可确定。
1、圆周运动的描述（极坐标）
时， v0 0, x0 0 ，则求下列关系式： 1） v(t ) 当t=3s时，质点的速度 2） v( x ) 3） x(t )
当x=5m时，质点的速度 当t=3s时，质点的位置
2、 圆周运动
第一章 质点运动学
一、平面极坐标
平面极坐标系：以 ( r , ) 为坐标的参考系
例、质点A在坐标中的描述为：
r ( x, y )
的端点
dr （A） dt dr （C） dt
dr （B） dt
（D）
dx 2 dy 2 ( ) ( ) dt dt
1 质点运动的描述 四
第一章 质点运动学
加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度：单位时间内的速度增量即平均加速度。
a
与 v 同方向 .
r
rB (t t )
B
rB (t t )
o
x
o
x
r rB rA 在 t 时间内，质点的位移为：
方向：由A指向 B
1 质点运动的描述
Fra Baidu bibliotek
rA x Ai y A j rB xB i yB j r rB rA
y
p1
r (t1 )
s
r
p2
r (t2 )
z
O
x
注意： 路程（s ）为标量、而位移为矢量，二 者在数值上也不一定相等。
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
讨论 位移与路程
A）路程是不唯一的，位移 是唯一的. B） 一般情况, 位移大小不等于 路程. r s
y
r (t1 )
第一章 质点运动学
s 平均速率： v t
瞬时速率：v 方法一： v
lim
t 0
s ds t dt
dr dr 方法二： v v dt dt
dr ds v dt dt
dr ds
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 处，其速度大小为
y
z
zk
*P r
o
x
xi
i j k 1
1 质点运动的描述
r xi yj zk
第一章 质点运动学
●位矢为矢量，也就是说其既有大小，又有方向。 2 2 2 位矢 r 的值（大小）为： r r x y z
位矢 r 的方向余弦:
平均速度方向： 与 r
r x y v i j t t t
y
B
r (t t)
s r
A
r (t)
o
x
x y 2 2 平均速度大小： v ( ) ( ) t t
同方向.
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
2、瞬时速度 ：平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
2、质点
1）定义：一个只有质量而没有形状和大小的几何点。 是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型。 2）条件：当物体的形状和大小对运动没有影响或其 影响可以忽略的情况下，该物体就可以当成 质点。
比如：地球绕太阳公转，地球可视为质点； 研究地球的自转，地球则不能当作质点。
r dr v lim t 0 t dt
dx dy dz v i j k dt dt dt
v vxi vy j vz k
2 2 2 大小： v v vx v y vz
方向： 运动轨迹的切线方向
1 质点运动的描述
3）实际问题的处理方法： （微积分的应用） 实际物体可视为多个或无限多个质点的组合。
1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
3、坐标系
• 为了描述物体的运动，而选定的带有标度的坐标组成坐标 系，常见的坐标系有：一维（直线）坐标系、二维（平面 直角）坐标系、三维（空间直角）坐标系、极坐标系、球 坐标系、自然坐标系等等。