人教版高考数学复习《正态分布》优质教案

§7.5 《正态分布》的教学设计
【教学内容】人教版第三册7.5《正态分布》；
【设计依据】学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，
既是对前面内容的补充、拓展。

又为学生初步应用正态分布知识解
决实际问题提供了理论依据；
【教学目标】
了解正态分布在实际生活中的意义和作用；
掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质；
【教学重点】
正态分布函数和正态曲线的性质。

【教学难点】
正态曲线的性质。

【教学准备】
【教学过程】
一、问题情境
１．情境引入：
从某中学男生中随机抽取84名，测量身高，数据如下（单位：cm）
164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182
２．提出问题：上述数据的分布有怎样的特点？
二、学生活动
通过频率分布直方图来分析数据：首先确定组数，组距．
频率分布直方图：
密度曲线：若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
三、情境引入——高尔顿板试验
学生没有接触过正态曲线，对正态曲线的来源也没有认识，因此，教师向学生出示高尔顿板模型,并介绍高尔顿板模型，引入本节课，提出问题，并进行实验操作。

活动1：高尔顿板试验
猜想：让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的
过程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的哪一个球槽
内？
观察：演示多次，观察各次得到的小球的分布规律的共性.
学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中，小球经过每
一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种可能，从左
落下或从右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪个球槽是随机的；
随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，呈现左右对称的特点.
四、建构数学
１．上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线，叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是 222)(21
)(σμσπ--=x e x f ，),(+∞-∞∈x
（１）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交．
（２）曲线关于直线μ=x 对称．
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
（３）在μ=x 时位于最高点．
（４）当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
（５）当μ一定时， 曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中． 思考：)(x f 的值域是什么？单调区间如何？
２．正态分布
若X 是一个随机变量，对任给区间],(b a ，)(b X a P ≤<恰好是正态密度曲线下方和X 轴上],(b a 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数μ和
2σ的正态分布，简记为),(~2σμN X ．
３．当0=μ，1=σ时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是
其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中占有重要地位．任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题． ４．正态分布的意义 （１）在生产中，各种产品的质量指标一般都服从正态分布；
（２）在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布； （３）在生物学中，同一群体的某种特征都服从正态分布；
（４）在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布。

五、数学运用
例题1：把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是( )
A ．曲线C2仍然是正态曲线 221(),R 2x
f x e x π-=∈
B ．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C ．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲
线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
D ．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
3σ原则：
P(μ－σ<X ≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．
当3a σ=时正态总体的取值几乎总取值于区间
(3,3)μσμσ-+之内,其他区间取值几乎不可能.在实
际运用中就只考虑这个区间,称为3σ原则.
六、【板书设计】
正态分布 一、正态密度函数：222)(21)(σμσπ--=x e x f ；
二、正态分布：若随机变量X 满足dx x b X a P b a
)(,⎰=≤<σμϕ）（， 则称），（2~σμN X 。

三、正态曲线特征：两头低，中间高，左右对称。

性质：1.图像在x 轴上方，且与x 轴不相交；
2. 单峰，关于μ=x 对称；
3. 当且仅当μ=x 时，取得峰值σ
π21； 4. 曲线与x 轴围成的图形总面积是1；
5. μ：位置参数，
σ：形状参数。