材料力学第四章

Pl
0
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解得：
RA
ql 2
P
mR
Pl
3ql 2 8
例题：计算图所示多跨静定梁的支反力
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m
K
B
1m
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
Q ql 2
Q ql 2
x
l
ql 2
+
(2)
RB
B
ql 2
Q(
x)
RA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
(1)
M ( x)
RA x
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
(0 x l)
(2)
弯矩图为一条二次抛物线。
P1 P
RA
C A
b
a c
RB
P2 P
D
B
计算 C 横截面上的剪力 QC 和弯矩 MC 。
看左侧
QC P1 60kN
M C P1b 6.0KN.m
P1 P
RA
C A
b
a c
RB
P2 P
D
B
计算 D 横截面上的剪力 QD 和弯矩 MD 。
看左侧
QD RA P1 60 60 0
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE RA
RA q 3KN m m=3KN.m RB
C
A
B D
2m
4m
2m
解： RA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN
RA q 3KN m m=3KN.m RB
C
A
B D
2m
4m
2m
看左侧 看右侧
QA左 2q 6KN QA右 RA 2q 8.5KN
QD QD左 QD右 RB 3.5KN
( 3 ) 可动铰支座
2， 工程中常用到的静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁
(3) 几种超静定梁
例题: 计算悬臂梁的支反力。
q
P
A
C
B
l2
l2
l
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解: 求梁的支反力 RA 和 mR 。
由平衡方程得：
y 0,
R
A
ql 2
P0
M A 0,
mR
ql 2
3l 4
q0 l
2 l 3 RB
q0
B
C
a l
解得：
RA
q0l 6
,
RB
q0l 3
在 C 点处梁上的荷载集度为
q0 a l
该梁段上分布荷载的合力为
2
a q0a q0a
2l
2l
此合力距 C 点的距离为 a/3
RA
2l 3
q0 l
2 l 3 RB
q0
A
B
C
a l
a3
RA
q0 a2
2l
QC
A
aC
MC
列出平衡方程
例题 ： 轴的计算简图如图所示，已知 P1 = P2 = P = 60kN ，
a = 230mm ，b = 100 mm 和c = 1000 mm 。求 C 、D 点处
横截面上的剪力和弯矩
P1 P
P2 P
C
A
D
B
b
a c
P1 P
RA
C A
b
a c
RB
P2 P
D
B
解：
RA RB P 60kN
RA q 3KN m m=3KN.m RB
C
A
B D
2m
4m
2m
看右侧 看左侧 看右侧 看左侧
M D左 2RB m 4KN.m
M D左 4RA 6q 3 4KN.m
M D右 2RB 7KN.m
M D右 4RA 6q 3 m 7KN.m
RA q 3KN m m=3KN.m RB
Q(x)
x o
Q 图的坐标系
x
o
例题：图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 P 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。
P
A
B
l
P
解：将坐标原点取在梁的左端，
写出梁的剪力方程和弯矩 A
B
x
方程 ：
l
Q(x) P (0 x l) M (x) Px (0 x l)
QA左 0 QA右 P
M=5KN.m KB
RB
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
RB
解：（1）研究CB梁，由平衡方程
X 0, XC 0
mB 0, yC 5 20 3 2.5 5 0
y 0, RB 20 3 yC 0 X C 0, yC 31kN, RB 29kN
（2）研究 AC 梁，由平衡方程 X 0, X A 0
转动趋势的剪力为负。
-m
m
dx
弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时，
横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
当dx 微段的弯曲上凸
_
（即该段的下半部受拉压）时，
横截面m-m 上的弯矩为为负。
m
m （受压）
例题： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ，尺寸 a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点处横截面处的 剪力和弯矩。
-
解得：
M F RB d +
例题： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的 剪力和弯矩
q0
A
B
C
a l
RA 解：求梁的支反力 RA 和 RB
由平衡方程得 ：
A
mA 0,
RBl
q0l 2
2l 3
0
mB 0,
q0l 2
l 3
RAl
0
2l 3
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
1 。支座的简化
II . 梁的计算简图
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
（1） 固定端
R Hm
（2）固定铰支座
R
R
H
（有时还包括力偶）。
变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。 梁： 以弯曲变形为主的杆件。
纵向对称面 ： 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线 的平面称为 纵向对称面
平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的 平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为 对称弯曲。
解得：
QE RA +
M E RAc +
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
l
B
F
d
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF 。
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
l
B
F
d
y 0, QF RB 0 mF 0, M F RBd 0
QF RB
RA
10KN.m
2 A
1C
1m 2.5m
RB
B
1
2
C
求 2 截面的内力：
右侧
Q2 QC右 RB (4) 4KN M 2 M C右 RB (2.5 1) (4) 1.5 6KN.m
左侧
M 2 M C右 RA 110 6KN.m
例题：求指定截面上的内力 QA左 ， QA右， QD左 ， QD右 ， MD左， MD右 ， QB左 ， QB右 。
C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
§4-3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
x
A
xm
M
的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。
m
M
P
RB
Qm
B
2, Ｑ和 M 的正负号的规定 剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为正 。或使dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的支反力。
再将副梁 CB 的两个支反力 XC ，YC 反向， 并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
xC
C yC
q 20KN m D
Q(x)
RA
qx
ql 2
qx
( 0 x l)
(1)
M
(
x)
RA
x
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
(0 x l)
(2)
Q(x)
RA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
(1)
M
(x)
RAx
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
(0 x l)
剪力图为一倾斜直线。
RA
q
A
X=0 处 ， X= l 处 ，
m x
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程得
a
P
m
A
B
y 0 RAQ 0
m
x
可得 Q = RA
Q 称为 剪力
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程
a
P
m
mC 0
A
B
m x
M RAx 0
可得 M=RAx
此内力偶称为 弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩
y
RA
m
Q
C
§4-1(2) 平面弯曲的概念及计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩 §4-3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4-4 弯矩，剪力与分布荷载集度之间的关系及应用 §4-5 平面桁架和曲杆的内力图
§4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念 弯曲变形 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
M D RA(c a) P1c Pa 13.8KN.m
例题：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩
RA
10KN.m
2 A
1C
1m 2.5m
RB
B
解：
RA 4KN
RB 4KN
RA
10KN.m
2 A
1C
1m 2.5m
RB
B
1
2
C
求 1截面的内力：
左侧
Q1 QC左 RA 4KN M1 M C左 RA 1 4KN.m
y 0, RA 50 31 81kN
P=50KN
mA
XA
AE
RA
yC ' yC
C
xc' xc
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§4—2 梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
用截面法假想地在
a
P
m
横截面mm处把梁分
A
B
为两段，先分析梁左段。
P
A x
Q(x) P (0 x l)
l
M (x) Px (0 x l) Q
P M
B
x x
例题 ： 图示的简支梁在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的的剪力图和弯矩图。
RA
q
RB
A
B
l
解：求两个支反力
RA
RB
ql 2
RA
q
RB
A
B
x
l
取距左端为 x 的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。
y0
RA
q0 a2 2l
Qc
0
mc 0
M
C
RA
a
q0 a2 2l
a 3
0
RA
2l 3
q0 l
2 l 3 RB
q0
A
B
C
a l
a3
RA
q0 a2
2l
QC
A
aC
MC
解得
RA
2l 3
q0 l
2 l 3 RB
QC
RA
q0 a2 2l
q0
(l2 6l
3a2)
A
q0
B
C
M
C
R
A
a
q0 a2 2l
a 3
a l
+
M E RAc +
QE
RA
ME
A
E
C
取右段为研究对象
QE
RA
ME
A
E
C
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
QE
RA
ME
A
E
C
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
y0
QE RB P1 P2 0
M E 0 RB (l c) P1(a c) P2 (b c) M E 0
b
P1 P2 a
A
CD
B
E
F
c
d
l
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
解:
mA 0
RBl P1a P2b 0
mB 0 RAl P1(l a) P2 (l b) 0
b
RA
a
A
E
c
P1 P2
RB
C
D
B
F
d
l
解得：
RA
P1 (l
a)
l
P2 (l
b)
RB
P1a l
P2b
q0 a(l2 a2) 6l
当
a l 3
时 QC 为正
MC 恒为正
a3
Leabharlann Baidu
RA
q0 a2
2l
QC
A
aC
MC
求剪力和弯矩的简便方法
横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右
侧 梁段上 外力的代数和 。
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力
右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧
梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩