人教A版高中数学选修1-1：2.3.2-1抛物线的简单几何性质 同步课时练习

2.3.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质
填一填
1.抛物线的标准方程与几何性质
焦点在x
正半轴上
焦点在x
负半轴上
焦点在y
正半轴上
焦点在y
负半轴上标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0) 图形
性
质
顶点(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点⎝⎛⎭⎫
p
2，0⎝
⎛
⎭
⎫
－
p
2，0⎝
⎛
⎭
⎫
0，
p
2⎝
⎛
⎭
⎫
0，－
p
2准线x＝－
p
2x＝
p
2y＝－
p
2y＝
p
2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
离心率e＝1
P(x0，y0)是抛物
线上一点
|PF|＝
p
2＋x0 |PF|＝
p
2－x0|PF|＝
p
2＋y0|PF|＝
p
2－y0
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝
2p
sin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；
(2)x1x2＝
p2
4；
(3)y 1y 2＝－p 2.
(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
(5)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2
p
.
3．过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p .
判一判
1.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)
解析：抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．不是中心对称图形，故错误．
2．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(√)
解析：由抛物线通径的定义知正确． 3．任何抛物线的离心率e ＝1.(√)
解析：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是离心率，由抛物线定义可知e ＝1，故正确．
4．抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是8.(×) 解析：抛物线y 2＝8x 的准线是x ＝－2，由条件知P 到y 轴距离为4，所以点P 的横坐标x P ＝4.根据焦半径公式可得|PF |＝4＋2＝6.故错误．
5．抛物线y 2＝2ax 的开口向右．(×)
解析：a >0时开口向右，a <0时开口向左，故错误．
6．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)则准线方程为x ＝－1.(√)
解析：p
2
＝1，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1，故正确.
想一想
1.提示：抛物线有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线． 2．影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？
提示：参数p 影响抛物线的开口大小，p 值越大，抛物线开口越阔，p 值越小，开口越扁狭．
思考感悟：
练一练
1．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )
A ．2 3
B ．2 C. 3 D ．1
解析：抛物线y 2＝8x 的焦点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－0|2＝1，故选D.
答案：D
2．下列双曲线中，有一个焦点在抛物线x 2＝2y 准线上的是( ) A ．8x 2－8y 2＝1 B ．20x 2－5y 2＝1 C ．2x 2－2y 2＝1 D ．5y 2－20x 2＝1
解析：因为抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－1
2
，所以双曲线的焦点在y 轴上，双曲线5y 2－20x 2＝1的焦点在y 轴且为⎝⎛⎭
⎫0，1
2满足条件．故选D. 答案：D
3．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________． 解析：2p ＝4所以p ＝2，所以焦点到准线的距离是2. 答案：2
4．如果P 1，P 2，P 3，…是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标x 1，x 2，x 3，…，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝20，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 018F |＝________.
解析：∵P 1，P 2，…是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，
它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，F 是抛物线C 的焦点， x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝20，
∴|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 018F |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋…＋(x 2 018＋1) ＝x 1＋x 2＋…＋x 2018＋2 018＝2 018＋20＝2 038. 答案：2 038
知识点一 由抛物线的标准方程研究几何性质
在坐标原点，则其方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x
D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 解析：依题意设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2
＝－8x .故选C.
答案：C
2．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________． 解析：由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . 答案：x 2＝4y
3．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax 中，解得：a ＝1，∴y 2
＝4x ，由抛物线方程可得：2p ＝4，p ＝2，p
2
＝1，∴ 焦点坐标为(1,0)．
知识点二 由抛物线的几何性质求标准方程
4.( )
A ．x 2＝2y
B ．x 2＝2y 或x 2＝－2y
C ．x 2＝4y
D ．x 2＝4y 或x 2＝－4y
解析：由题设知抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝－4y .故选D.
答案：D
5．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )
A ．y 2＝36x
B ．y 2＝－3
6x
C ．y 2＝±36x
D ．y 2＝±3
3
x
解析：设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭
⎫±32，1
2(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，
解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±3
6x .故选C.
答案：C
知识点三 焦点弦问题
6.已知F |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.3
4 B ．1 C.54 D.74
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1
2
(|AF |＋|BF |)
－14＝32－14＝5
4.故选C. 答案：C 7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )
A ．4
B ．2
C ．1 D. 3
解析：设A ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，根据抛物线的定义知|AF |＝d ＝x ＋p 2＝y 22p ＋p 2＝4，又k ＝y x －p 2＝y y 22p －p
2
＝
3，联立解得p ＝2，故选B. 答案：B
8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离．
解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52
，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2
.
基础达标
一、选择题
1．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到y 轴的距离 B ．F 到准线l 的距离 C ．F 的横坐标
D ．F 到抛物线上一点的距离
解析：∵焦点到准线的距离为2p ，∴p 表示点F 到y 轴的距离．故选A. 答案：A
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
答案：B
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B.
答案：B
4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点A (1，a )(a >0)在C 上，|AF |＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB |的值是( )
A ．12
B ．10
C ．9
D ．4.5
解析：∵直线AB 过焦点F ，∴x 1x 2＝1
4
p 2＝4，又x 1＝1，∴x 2＝4，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1
＋x 2＋4＝9，故选C.
答案：C
5．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，a >0.S △AOB
＝12×2a ×a 2
4＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.故选D. 答案：D
6．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 为C 上的动点．则|FM |的最小值为( ) A ．1 B ．2
C ．4
D ．不存在
解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以|FM |的最小值为点M 到准线x ＝－1距离的最小值，即为1.
答案：A
7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )
A ．±3
B ．±1
C ．±34
D ．±33
解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2
， ∵点M 到焦点F 的距离等于M 到准线x ＝－p
2
的距离，
∴x M ＋p
2＝2p ，
∴x M ＝3
2
p ，将其代入抛物线方程解得y M ＝±3p ，
∴k MF ＝y M －0
x M －
p 2
＝±3，故选A.
答案：A 二、填空题
8．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为________．
解析：∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上， ∴p
2
＝2，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．
又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2
＝－3
4.
答案：－3
4
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．
解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.设P (x 0，y 0)，又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，则PF ＝x 0＋1＝3，所以x 0＝2.
答案：2
10．若双曲线x 2m
－y 2
＝1(m >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m 的值是________．
解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，双曲线的右焦点坐标为(m ＋1，0)，故m ＋1＝2，解得m ＝3.
答案：3
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2
＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 2
9
＝
1的渐近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F (2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，不妨取y ＝3
4
x ，即3x －4y
＝0，所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32＋(－4)2＝6
5
.
答案：65
12．已知抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点，若P ，Q 是
椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．
解析：由抛物线方程可得，焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c )．故p
2
＝c ，将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a .又抛物线通径为2p ，所以2p ＝2b
2a
＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝
2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.
答案：2－1 三、解答题
13．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程； (2)m 的值．
解析：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p
2
.
因为|AF |＝3，即2＋p
2
＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .
(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.
14．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解析：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2
， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，
∴|AB |＝2|p |.
∵△OAB 的面积为4， ∴12·⎪⎪⎪
⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x
能力提升
15.已知直线l A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解析：(1)方法一：因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.
又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛
⎭⎫x －32，
消去y 得x 2－5x ＋9
4
＝0.
若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p ＝5＋3＝8.
方法二：由2p ＝6，α＝60 °，|AB |＝2p
sin 2α
＝8
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p ＝
x 1＋x 2＋3＝9，
所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－3
2
，
所以M 到准线的距离等于3＋32＝9
2
.
16．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．若|AF |＝4，
(1)求点A 的坐标； (2)求|AB |的长．
解析：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.
(1)由抛物线的定义可知，
|AF |＝x 1＋p
2
，
从而x 1＝4－1＝3. 代入y 2＝4x ，解得 y 1＝±2 3.
∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．
(2)方法一：由第一问知x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋1
3
＋
2＝163
.
方法二：因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝16
3
.。