9-4多元复合函数的求导法则

续偏导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对
应点t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv ． dt u dt v dt
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注：公式记忆方法
z f (u,v) u (t) v (t)
复合关系图：
u
z
t
Q du d(xy) ydx xdy, dv d(x y) dx dy
dz (eu sin v y eu cos v)dx (eu sin v x eu cos v)dy eu (sin v y cos v)dx eu (sin v x cos v)dy exy[ y sin(x y) cos(x y)dx exy[x sin(x y) cos(x y)]dy
f11 xyf12;
u()
x
f
y
f2 z
f2 u f2 v u z v z

f21 xyf22;
v()
z
于是
2w xz

f11

xyf12

yf2
yz(
f21

xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
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特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],
z f u f x u x x
vet usin t cos t
et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
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例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w .
uu()
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例5 设u f ( x, y)是 连 续 可 导 的 二 元 函 数 试将表达式

u x



u y


转 化 成 极 坐 标 下 的 形 式。
解 ： 直 角 坐 标 与 极 坐 标间 的 关 系 为
x r cos , y r sin 作复合 u f ( x, y) f (r cos , r sin ), 则
x
zu y
把 z f [ ( x, y), x, y] 把 z f (u, x, y)
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
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因此，公式写为：
z f u f , z f u f . x u x x y u y y
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u r

u x

x r

u y

y r

u x

cos

u y
sin

u


u x
x


u y
y


u r sin
x

u r cos
y
将 u , u 视作未知量，解此线性方程组得 x y

z
w
.
y u y v y w y
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3、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形
定理： 如果u ( x, y)在点( x, y) 具有对x 和
y 的偏导数，v ( y) 可导，且函数z f (u,v) 在
对应点(u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数

wf u fwvv u x vv xx

f1
yzf2;
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2w xz
( z
f1
yzf2)

f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
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例 4 设z eu sin v ，而u xy，v x y， 利用全微分的形式不变性求 z 和z . x y
解： dz d(eu sin v) eu sin vdu eu cos vdv
注：对上述复合情形也可处理如下：
z f (u, x, y) u ( x, y)
令 v x, w y,
ux
则 z f (u, v, w)
zv
z z u z v x u x v x
wy
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例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ，
第四节 多元复合函数的求导法则
一、问题的提出 二、求导法则（链式法则） 三、全微分形式不变性 四、小结
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一、问题的提出
我们知道，如果函数 x g(t)在点t可导，
函数y f ( x)在对应点x可导，则复合函数 y f ( g(t ))在点t可导，且有 dy dy dx .
z v

v x
dx


z u

u y

z v

v y
dy
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z u dx u x
u dy y

z v dx v x
v dy y
z du z dv. u v
即 z f [( x, y), x, y], z z u z x u x x
x
zu y
把 z f [ ( x, y), x, y] 把 z f (u, x, y)
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
1、链式法则 2、全微分形式不变性
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求 z 和z . x y
z
u v
x y
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cosv 1 eu ( y sinv cos v)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)]
z y
u
zv
t
w
此公式中的导数
dz dt
称为全导数.
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2、中间变量不是一元函数而是多元函数的情形
z f [( x, y), ( x, y)].
定理： 如果u ( x, y) 及v ( x, y) 都在点
( x, y)具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v)
v
“ ”代表前端字母对后端字母的(偏)导数。
dz

z

du
z
dv
dt u dt v dt
记忆口诀： 同一路上相乘；不同路上相加。
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推论：中间变量多于两个定理仍成立.
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z

z
u

z
v
，
x u x v x
z z u z v . y u y v y
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x
x xz w
y
解： 令 u x y z, v xyz;
vv()
z
则 w f (u, v)
记
f1

f
(u, v ) u
,
f

f (u, v) uv

f , v
类似有记号
f

f
(u, v) v
,
及 f11,
f22 .
w x

u x

u r

cos

u


sin
r

u


u

sin

u

cos
y r
r
所以

u 2
x


2
u y



u 2
r

1 r2

u

2
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四、小结
点( x, y)具有对x 和y 的偏导数，复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y) 的两
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z

z
u

z
v

z
w
,
x u x v x w x
z
u v w
x
y
z

z
u

z
v
6
链式法则如图示
z f (u,v)
z
u (x, y)
u
v
v (x, y)
x y
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
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推论：
设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y) 都在
dt dx dt 这一法则称为一元复合函数的链式求导法则。 现在，我们要将这一法则推广到多元复合函数。
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二、求导法则（链式法则 (Chain Rule) ）
1、复合函数的中间变量为一元函数的情形
定理： 如果函数u (t) 及v (t )都在t点
可导，函数z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连
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三、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ； u v
当u ( x, y)、v ( x, y)时，有
dz z dx z dy x y

பைடு நூலகம்
z u

u x

z f [ ( x, y), ( y)]在对应点( x, y) 的两个偏导
数存在，且可用下列公式计算
z z u x u x
zu v
x y
z z u z dv y u y v dy
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特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
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例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
求全导数dz . dt
u
z
t
v
解： dz z du z dv z dt u dt v dt t
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特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],
z z u f x u x x
x
zu y
把 z f [ ( x, y), x, y] 把 z f (u, x, y)