【四川省成都外国语学年校】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题答案

四川省成都外国语学校2017届高三上学期期末数学（理科）试卷
第Ⅰ卷
1．已知()1i i z +∙=-，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合0x a A x
x a ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩⎭
，若1A ∉，则实数a 取值范围为（ ） A ．()
[),11,-∞-+∞ B .[]1,1-
C .(][),11,-∞-+∞
D .(]1,1-
3．抛物线22y x =的准线方程是（ ） A .1
2
x =-
B .1
2
y =-
C .18
y =-
D .18
x =-
4．若1
,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
,使得2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A .(
,-∞
B .(
3⎤⎦
C .92
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
D .{}3
5．已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则πsin 22α⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
（ ）
A ．1
2
-
B ．12
C ．
D ．1
6．执行如图的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意
思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（ ） A ．55
B ．52
C ．39
D ．26
8．ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 1B =，向量(),p a b =，()1,2q =，若//p q ，则角A 的大小为（ ） A ．
π6
B ．
π3
C ．
π2
D ．
2π3
9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A .
19π
3
B C .6π D
21π
3
10．等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=，1AC BC ==，点M ，N 分别是AB ，BC 中点，点P 是
ABC △（含边界）内任意一点，则AN MP ∙的取值范围是（ ）
A ．33,44
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．13,44
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．31,44
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面
11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）
A ．2⎡⎢⎣⎦
B ．42⎡⎢⎣⎦
C ．2⎢⎣
D ．
12．设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，()01f =，且()()33f x f x ='-，则()()4f x f x >'的解集为（ ）
A ．ln4,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．ln2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
第Ⅱ卷
13．已知()2
2120x y -++=,则()
2016
xy =_______
14．已知直线L 经过点()4,3P --，且被圆()()2
2
1225x y +++=截得的弦长为8，则直线L 的方程是_________．
15．若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin π02y x x =+<<的对称中心，则12
a b
+的最小值为_________．
16．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足
()()()0f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．如2
y x
=是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()3
f x x mx =+是区间[]1,1-上的平均值函数，则
实数m 的取值范围是________．
17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，8AB AC ∙=，BAC θ∠=，
4a =．
（Ⅰ）求b c ∙的最大值及θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数()2
2π2cos 4f θθθ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
18．（12分）如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=
，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB △以 直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正弦值.
19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D
为不合格等级.
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数
在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
（1）求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及均值.
20．（12分）如图，椭圆2
2
14
y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距
为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；
（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数()ln 1
a
f x x x =+
+．
（1）当2a =时，证明对任意的()1,x ∈+∞，()1f x >； （2）求证：()()1111
ln 1357
21
n n N n *+>
++++
∈+； （3）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．
四、选做题（10分）请考生从给出的道题中任选一题做答，并用铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos sin2x y α
α
⎧=⎨=⎩（α是参数），以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1
sin cos ρθθ
=
-．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标． 23．（10分）已知函数()2f x x a a =-+．
（1）若不等式()6f x ≤的解集为[]2,3-，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．。