北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(含答案解析)(2)

一、选择题
1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30 2．在（1－x 3）（1＋x ）10的展开式中x 5的系数是（ ）
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
3．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150
B ．240
C ．360
D ．540
4．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ） A ．2640种
B ．4800种
C ．1560种
D ．7200种
5．二项式5
1(2)x x
-的展开式中含3x 项的系数是
A ．80
B ．48
C ．−40
D ．−80
6．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）
A ．72种
B ．84种
C ．180种
D ．390种
7．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．3
6C
B ．12
25C C
C ．1221
2424C C C C +
D ．3
6A
8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80 B ．120
C ．150
D ．360
9．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原来的位置上的概率为
（ ） A ．
34
B ．
14
C ．
18
D ．38
10．包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ） A ．240种
B ．252种
C ．264种
D ．288种
11．由1，2，3，4，5组成没有重复数字，含2和5且2与5不相邻的四位数的个数是( ) A ．120
B ．84
C ．60
D ．36
12．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（ ） A ．495种
B ．288种
C ．252种
D ．126种
二、填空题
13．已知正整数n ，二项式322n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________. 14．若0
2sin c (s )o a x x dx π
=
-⎰
，则6
a x ⎛ ⎝-的展开式中常数项为_________．
15．
若6
2ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中常数项为150，则22a b +的最小值为______． 16．在某市举行的数学竞赛中，A ，B ，C 三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有____种不同的排法．（用数字作答）
17．求()
5
221x x --的展开式中3x 的系数为___.
18．已知()()()()5
2
012213211x x a a x a x --=+-+-()()5
6
5611a x a x +⋅⋅⋅+-+-，则5a =______.
19．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.
20．
已知2⎛+ ⎝
n
x 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.
三、解答题
21．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结．果用数字作答．．．．．．
） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
22．
若()*
n
n N ∈展开式中各项的二项式系数和为256. （1）求n ；
（2）求展开式中含x 的项.
23．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多
少种不同的建组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）
24．某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书.
（1）求每个学生只取1本书的不同取法种数；
（2）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数； （3）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数.
25．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个? 26．已知. （1）若，求及
的值；
（2）若，求最大的系数；
（3）定义
，若
化简
.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】
先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为
322
66
222
()50C C A A +⨯=．
故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,
,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组
数为312
112
k
k
m
m m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为
312
112k
k
m m m m n n m n m m m
i i
C C C C A
---．
2．D
解析：D 【解析】
试题分析：因为31010310(1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+
所以310(1)(1)x x -+展开式中的5x 的系数是10(1)x +的展开式的中5x 的系数减去10(1)x +的2x 的系数
由二项式定理，10(1)x +的展开式的通项为110
r r r T C x += 令=5r ，则10(1)x +的展开式的中5x 的系数为5
10C 令2r
，则10(1)x +的展开式的中2x 的系数为2
10C
所以5x 的系数是5
10C -2
10C 25245207=-= 故答案选D 考点：二项式定理．
【易错点晴】()n a b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指
k
n C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是
指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别．[学_科_
3．A
解析：A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有113
543
2210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122
5422
2
15C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
4．C
解析：C 【分析】
本题首先可以将6名医护人员分为4组，共有65种分组方法，然后将分好的四组全排列，有24种情况，最后两者相乘，即可得出结果. 【详解】
先将6名医护人员分为4组，有两种分组方法：
若分为3、1、1、1的四组，则有3
620C =种分组方法；
若分为2、2、1、1的四组，则有222642
2
2
45C C C A 种分组方法，
则一共有204565种分组方法，
再将分好的四组全排列，对应四个社区，有4
424A =种情况， 则有65241560种不同的安排方式， 故选：C. 【点睛】
本题考查通过排列组合求出所有的安排方案的数目，可分两步进行，先求出有多少种分组，再求出有多少种排列，考查计算能力，是中档题.
5．D
解析：D 【解析】
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r
r r r r r r
r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令523r -=，1r =，所求系数为1
4
5C 280-=-，故选D .
6．A
解析：A 【分析】
可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色；若4种颜色全用，只能
2,4同色或1,5同色，其它不相同，从而可得结果.
【详解】
选用3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色，与3进行全排列， 涂色方法有3
3
4324C A ⋅=种；
4色全用时涂色方法：2,4同色或1,5同色，有2种情况， 涂色方法有1
42448C A ⋅=种，
∴不同的着色方法共有482472+=种，故选A.
【点睛】
本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
7．C
解析：C 【分析】
分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计
数原理，即可得出答案. 【详解】
当只有一名女生入选时，先选1名女生，有1
2C 种，再选2名男生，有2
4C 种，则根据分步
乘法计数原理可知，有12
24C C 种
当有二名女生入选时，选选2名女生，有2
2C 种，再选1名男生，有1
4C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有21
24C C 种
所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为
12212424C C C C +
故选：C 【点睛】
本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】
根据题意，可知有两种情况，
一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，
所以不同的参加方法种数为223
33535
3
32
2103
10661502
C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.
9．D
解析：D 【分析】
分两步分析：①先从5个人中选1人，其位置不变，有1
55C =种，②对于剩下的四个人，因为每个人都不能站在自己原来的位置上，有9种，恰有一人站在自己原来的位置上包含的基本事件数为45，再求出事件总数，按照古典概型概率公式即可求解. 【详解】
5个人站成一排的基本事件的总数为5
5A ， 5个人按原来站的位置重新站成一排， 恰有一人站在自己原来的位置， 先从5个人中选1人，其位置不变，
有1
55C =种，对于剩下的四个人， 因为每个人都不能站在自己原来的位置上， 因此第一个人有3种站法， 被站位置的那个人也有3种站法， 最后两人只有1种站法，
故不同的调换方法有53345⨯⨯=， 所以所求事件的概率为453
1208
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查古典概型的概率，利用分步乘法原理和排列是解题的关键，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
先排甲、乙、丙外的4人，再对甲、乙、丙三人分类讨论即可得解. 【详解】
先排甲、乙、丙外的4人，有4
4A 种排法，再排甲、乙2人，有两类方法： 一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间， 故有4
2
45240A C =种不同的站法；
另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有4
4A 种不同的站法， 所以共有264种不同的站法. 故选：C 【点睛】
此题考查计数原理的应用，利用排列组合相关知识解决排位问题，需要熟练掌握计数原理相关知识.
11．D
解析：D 【分析】
由题可知四位数中含2和5，且2与5不相邻，所以1，3，4选2个并全排列有2
3A 种，再在两个元素中形成的三个空中插入2与5有2
3A 种，即可得出结果. 【详解】
由题可得四位数中含2和5，所以2与5都选，又2与5不相邻，所以1，3，4选2个并全排列有23A 种，再在两个元素中形成的三个空中插入2与5有2
3A 种，所以共有
223336⨯=A A 种.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查插空法排列问题.
12．B
解析：B 【分析】
题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得； 【详解】
解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有23
39252C C =（种）； ②选派3名医生，2名护士，则有32
3936C C =（种）；
按照分类加法计算原理可知，一共有2
3
3
2
393936252288C C C C +=+=（种）. 故选：B 【点睛】
本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题 解析：4
【分析】
确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论． 【详解】
二项式322n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222k
n k k k k
n k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
. 令357n k -=，可得57
3
k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.
14．240【分析】求定积分得值在二项展开式的通项公式中令的幂指数为0求出r 的值即可得到常数项【详解】展开式的通项公式为令即的展开式中常数项是故答案为：240【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用
解析：240 【分析】
求定积分得a 值，在二项展开式的通项公式中令x 的幂指数为0，求出r 的值，即可得到常数项. 【详解】
00
2sin cos (2cos sin )(|()20)(20)4a x x dx x x π
π
=-=--=----=⎰，
∴64x ⎛ ⎝展开式的通项公式为(()
63662166
14C 4
C r
r r
r
r r
r r T x
x ---+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
令3602
r
-=，即4r =．
∴6
4x ⎛ ⎝的展开式中，常数项是()4644641C =240--， 故答案为：240． 【点睛】
本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键．
15．【分析】由题意在二项式定理的通项公式中令x 的幂指数等于零求得r 的值可得展开式的常数项再根据展开式的常数项为150求得ab 的值再利用基本不等式求得a2+b2的最小值【详解】的展开式中通项公式为Tr+1
解析：
【分析】
由题意在二项式定理的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为150，求得ab 的值，再利用基本不等式求得a 2+b 2的最小值． 【详解】
6
2ax x ⎛+ ⎝⎭
的展开式中通项公式为 T r +1=()62612366r
r
r r r r r
r C ax x C a
x ----=
令12﹣3r ＝0，求得r ＝4，
则展开式的常数项为T 5=422
22
6=15C a b a b
根据展开式中的常数项为150，得15a 2b 2＝150，∴a 2b 2＝10，ab ∴=
∴a 2+b 2 ≥2ab =当且仅当|a|＝b ＝1
410 时，取等号．
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式、基本不等式的应用，确定常数项是关键，属于基础题．
16．【分析】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体计算得到答案【详解】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体则共有种排法故答案为：【点睛】本题考查了排列的应用意在考查学生的理解能力和应用能力 解析：72
【分析】
利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，计算得到答案. 【详解】
利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，则共有3
2
3
32372A A A ⋅⋅=种排法. 故答案为：72. 【点睛】
本题考查了排列的应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.
17．【分析】转化条件可得则的展开式的通项公式为进而可得给赋值即可得解【详解】由题意则的展开式的通项公式为又的展开式的通项公式为所以由题意可得令即当时当时所以的展开式中的系数为故答案为：【点睛】本题考查了 解析：40-
【分析】
转化条件可得()
()5
5
2221
21x x x x ⎡⎤--+⎣-⎦
=，则()5
2
21x x --的展开式的通项公式为()
()521521k
k
k
k T C x x -+=⋅-+⎡⎤⎣⎦
，进而可得()101512k
k r k r k r k k T C C x ---+=-⋅⋅⋅⋅，给k 、r 赋值即可得解.
【详解】
由题意()
()5
5
22
21
21x x x x ⎡⎤--+⎣-⎦=，
则(
)
5
2
21x x --的展开式的通项公式为()
()5215
21k
k
k
k T C
x x -+=⋅-+⎡⎤⎣⎦，
又()21k
x +的展开式的通项公式为()
121k r
r
r r k T C x -+'=⋅，
所以()()
()
()52
101551212k
k
k r
k
k
r k r k r k r k k k T C C x x C C x -----+=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅，
由题意可得05r k ≤≤≤， 令103k r --=即7k r +=， 当5k =，2r
时，()3512211080k
k r k r k C C --⋅⋅⋅=-⨯⨯=-，
当4k =，3r =时，()51225440k
k r k r
k C C --⋅⋅⋅=⨯⨯=，
所以(
)
5
2
21x x --的展开式中3x 的系数为804040-+=-. 故答案为：40-. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
18．【分析】将已知等式等价变形为结合二项展开式的通项即可求得【详解】展开后含有的项为：故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用注意根据题意分析所给代数式的特点考查理解辨析能力与运算求解能力 解析：272
【分析】
将已知等式等价变形为5[2(1)1][3(1)1]x x -+-+，结合二项展开式的通项即可求得5a . 【详解】
55(21)(32)[2(1)1][3(1)1]x x x x --=-+-+，
展开后含有5(1)x -的项为：0
5
5
1
4
4
5
552(1)2(1)3(1)272(1)C x C x x x ⋅⋅-+⋅⋅-⋅-=-，
5272a ∴=.
故答案为：272 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，考查理解辨析能力与运算求解能力.
19．【分析】依次计算出从后排抽取个不相邻的同学两名同学相邻插入前排的方法种数根据分步乘法计数原理可求得结果【详解】第一步：从后排人中抽取个不相邻的同学共有：种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑共有种方 解析：210
【分析】
依次计算出从后排抽取2个不相邻的同学、两名同学相邻、插入前排的方法种数，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】
第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121+++++=种选法； 第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有2
22A =种方法；
第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有1
55C =种方法， 由分步乘法计数原理可知，共有2125210⨯⨯=种调整方法. 故答案为：210. 【点睛】
本题考查排列组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理、捆绑法和插空法等知识的应用.
20．【分析】根据二项式系数和可求得根据二项展开式通项公式可求得的值代入可求得结果【详解】展开式二项式系数和为解得：展开式通项公式为：令解得：展开式中常数为故答案为：【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求 解析：80
【分析】
根据二项式系数和可求得n ，根据二项展开式通项公式可求得r 的值，代入可求得结果. 【详解】
22n
x x ⎛+ ⎝
展开式二项式系数和为32，232n ∴=，解得：5n =，
5
22n
x x
⎛⎛∴+= ⎝⎝展开式通项公式为：5
1010221552r
r r r r r r T C x C x
--+=⋅=.
令51002
r -
=，解得：4r =，∴展开式中常数为445216580C =⨯=. 故答案为：80. 【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的求解问题，关键是熟练掌握二项式系数和的性质和二项展开式通项公式的形式.
三、解答题
21．（1）1440；（2）576． 【分析】
（1）采用 “插空法”， 先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得； （2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列． 【详解】
（1）采用 “插空法”，先排4名男生，有4
4A 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有
3
5A 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有43451440A A ⋅=种不同的出场顺序．
（2）3名女生捆绑有33A 种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列4
4A ，所
以共有34
34·
4A A =576． 【点睛】
本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法． 22．（1）8n =；（2）5358
T x = 【分析】
（1）由二项式系数和为2n 可计算出n ；
（2）写出展开式通项公式，整理后令x 的指数为1求得项数，得项． 【详解】
解：（1）由题意，12
02256n n n n n n C C C C ++++==，所以8n =
（2）(443188
8
12
r
r
r
r
r r r T C C x
-+--==⋅⋅， 令3414
r
-
=，得：4r = 展开式中含x 的项为4
58413528
T C x x =⋅
⋅= 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式系数的性质与二项展开式通项公式是解题关键． 23．（1）75；（2）65；（3）
13
18
.
【分析】
(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可.
(2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可. (3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可. 【详解】
(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,
共3223
636375C C C C +=种不同的建组方案.
(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共4
88765
701234
C ⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯种,
其中只有男医生的情况数有4
55C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.
(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为3759355
12618
C C =
=.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818
-=. 【点睛】
本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题. 24．（1）720（2）2520（3）7800 【分析】
（1）直接利用排列公式得到答案.
（2）将情况分为：每个学生只取1本书；一个学生取2本书，其余学生每人取一本书这两种情况，分别计算相加得到答案.
（3）将情况分为：1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书； 2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，计算得到答案. 【详解】
（1）每个学生只取1本书的不同取法种数为5
6720A =种. （2）每个学生最少取1本书，最多取2本书分两种情况： 第一种，每个学生只取1本书，取法为5
6A ；
第二种，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书.确定取2本书的学生有1
5C 种方法，这个学生取哪2本书有26C 种方法，其余4个学生取剩下的4本书且每人一本有4
4A 种方法，故一个学生取2本书，其余学生每人取一本书取法为1
2
4
564C C A . 所以，每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法为
5124656472018002520A C C A +=+=种.
（3）恰有1个学生没取到书分两种情况：
第一种，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为
3565C A .
第二种，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为
225
6452
2
C C A A . 所以恰有1个学生没取到书的不同取法种数为
222235535
64646
5
5652222(2045)1207800C C C C C A A C A A A ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝
⎭种.
【点睛】 本题考查了排列组合公式的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力. 25．（1）36个（2）36个（2）49个 【解析】 【分析】
（1）先排个位数，方法数有1
2C 种，然后排万位数，方法数有1
3C 种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有3
3A 种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.
（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排； （3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】
（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有1
1
3
233=236=36C C A ⨯⨯个； （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有2
1
3
23323636A C A =⨯⨯=个； （3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，
比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即1
4
2422448C A =⨯=，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个. 【点睛】
本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 26．（1）（2）
（3）
【解析】 【分析】
(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为
，由不等式
，可得到
，进而得到
；（3）
按照组合数的展开公
式，分组求和即可.
【详解】
（1）若，，
令,则，
令，则
所以.
（2）若，其通项公式为
，由不等式
解得，且，∴.
所以.
（3）若
,
【点睛】
本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。