(全国通用)近年高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数

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课时分层训练(二十七）数系的扩充与复数的引入
A组基础达标
(建议用时：30分钟）
一、选择题
1．（2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i对应的点位于（)
【导学号：31222158】A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
B ［复数（1＋错误!i）i＝－错误!＋i在复平面内对应的点为（－错误!,1），位于第二象限,故选B.]
2．(2016·全国卷Ⅰ）设(1＋2i)(a＋i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（) A．－3 B．－2
C．2 D．3
A ［(1＋2i）（a＋i）＝a－2＋(1＋2a）i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A。

]
3．（2016·山东高考）若复数z＝错误!,其中i为虚数单位，则错误!＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
B [∵z＝错误!＝错误!＝错误!＝1＋i，∴错误!＝1－i。

]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设（1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i｜＝（) A．1 B。

错误!
C。

错误!D．2
B [∵（1＋i）x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴｜x＋y i｜＝｜1＋i|＝2,故选B.]
5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（)
A．若|z1－z2｜＝0，则z1＝z2
B．若z1＝z2,则z1＝z2
C．若｜z1|＝|z2|，则z1·错误!＝z2·错误!
D．若｜z1|＝|z2|，则z错误!＝z错误!
D [对于A，｜z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝错误!，是真命题；对于B，C易判断是真命题;对于D,若z1＝2，z2＝1＋错误!i，则｜z1|＝|z2|，但z错误!＝4，z错误!＝－2＋2错误!i，是假命题．]
6．若i为虚数单位,图4.4。

3中复平面内点Z表示复数z,则表示复数错误!的点是（）【导学号：31222159】
图4.4­3
A．E B．F
C．G D．H
D [由题图知复数z＝3＋i,
∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2－i.
∴表示复数错误!的点为H。

]
7．已知复数z＝1＋错误!，则1＋z＋z2＋…＋z2019＝（)
【导学号：31222160】A．1＋i B．1－i
C．i D．0
D ［z＝1＋错误!＝1＋错误!＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝错误!＝错误!＝错误!＝0.］
二、填空题
8．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i）（3－i）,其中i为虚数单位，则z的实部是________．
5 [因为z＝（1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]
9．已知a∈R，若错误!为实数，则a＝________。

－错误!［错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i.
∵错误!为实数，∴错误!＝0，∴a＝－错误!。

]
10．已知复数z＝x＋y i，且｜z－2｜＝错误!，则错误!的最大值为________。

【导学号:31222161】
3 [∵|z－2｜＝x－22＋y2＝错误!，
∴(x－2)2＋y2＝3。

由图可知错误!max＝错误!＝错误!.]
B组能力提升
（建议用时：15分钟）
1．已知复数z1＝－错误!＋错误!i,z2＝－错误!－错误!i，则下列命题中错误的是 ( ）
【导学号：31222162】A．z错误!＝z2
B．｜z1｜＝|z2｜
C．z错误!－z错误!＝1
D．z1，z2互为共轭复数
C ［依题意,注意到z错误!＝错误!2＝错误!－错误!i＝－错误!－错误!i＝z2，因此选项A正确；注意到｜z1|＝1＝｜z2|，因此选项B正确；注意到错误!＝－错误!－错误!i＝z2，因此选项D正确；注意到z错误!＝z错误!·z1＝错误!2·错误!＝错误!错误!＝1，同理z错误!＝1，因此z错误!－z错误!＝0,选项C错误．综上所述，选C.]
2．设f（n)＝错误!n＋错误!n（n∈N＊）,则集合{f(n)}中元素的个数为（）
A．1 B．2
C．3 D．无数个
C ［f（n)＝错误!n＋错误!n＝i n＋(－i)n，
f（1)＝0，f（2）＝－2，f(3）＝0,f（4)＝2，f（5）＝0，…，
∴集合中共有3个元素．］
3．已知集合M＝｛1，m,3＋(m2－5m－6)i｝，N＝{－1，3}，若M∩N＝{3｝，则实数m的值为________．
3或6 ［∵M∩N＝｛3},∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1，3＋(m2－5m－6）i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3.]
4．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________。

错误!＋错误!i ［z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i）＝（cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°）＋（sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°）i＝cos 60°＋sin 60°i ＝错误!＋错误!i。

]。