第8章保单现金价值与保单红利
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设（40）购买了保险金额为10000元的全 离散10年定期寿险保单，均衡纯保费于 投保后的每年初缴纳。如果年实质利率 为6%，试确定在第5个保单年度末退保 时的最高现金价值。
比较例1和2发现，定期寿险保单的现金 价值较小。
8.1.2 保单现金价值计算--调整保 费法
调整保费法：对均衡纯保费进行一定程度的调整 （类似于修正准备金），在调整后纯保费的基础 上重新计算的准备金作为现金价值。
但是投保本身是为了降低风险，所以不宜 过多扣除
注意：《保险法》规定保险公司对未交纳 的保费没有请求权
关于退保金的一个理论结果
在完全连续的情况下，如果退还给退保 保单的现金价值等于退保时的责任准备 金，则退保行为不会对继续缴费的有效 保单产生不利影响。
这个结果说明：参照责任准备金来确定 退保金的水平是比较合理的
A1 x k :n k
若原保单保额为b，则所购纯生存保险的保额为
b
k CV A
A1 x k :n k 1
x k :n k
展期定期（4）
如果保额为 b 的保单在退保时还欠有余额为 L
的未偿保单贷款，则计算公式修改为
b k
CV
L
(b
L) A1 x k :s
例8.2.1（P159）
减额交清（2）
A(k)表示单位保险在时间k的趸缴纯保费，bk表示 购买缴清保费的保险金额，则有：
k CV bk A(k )
bk
k CV A(k )
在一定年限后，保险人为了鼓励解约的被保人由 领取退保金改为转换成减额缴清保险，可能会免 除解约时的扣除费用，此时记为kW，即：
kW=kV/A(k)
设（30）购买了保险金额为10000元的全离散终 身寿险，年度预定利率为6%。试求：
（1）采用1980年法则计算在第10个保单年度末要 求退保时的最低不丧失保单利益的现金价值。
（2）假设第10年末的现金价值为448元，则展期保 险的期限是多少（求整数近似解）？
（3）如果原保单有300元的贷款，求展期保险的期 限（采用线性插值）。
现金支付 减额交清：视为一次交清的保费，变更过
去保单的内容 展期定期 自动垫交保费
8.2.1 减额缴清（1）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费， 用来购买一份和原保单其他条件相同，但保额 会有减少的保单。
趸交保费，以后不用再交，这是缴清 保额会有下降，这是减额
具体操作：只要修改保单数据库中的保单属性 和保额即可
多元风险模型
如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就 意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了 。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面几 章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时， 各种保险要素的确定。
在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还 会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如， 寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞 职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素 时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损 失模型就是在这种背景下产生的。
保费
上年末基金
本年度可运用资金
投亡保险金
本年末基金
资产份额假设
影响资产份额的因素包括
死亡率 退保率 费用 投资收益率
资产份额的数据来源
死亡率——生命表 退保率——行业数据或公司经验数据 费用——公司的营业预算或经验数据 投资收益率——投资部门的研究结果
第一节 保单现金价值
现金价值 保单抵押贷款 退保金 保险选择权
减额交清 展期定期 自动垫交保费
递推公式
由kV
k
bk 1vqxk
k 1V
vpx
可得：
k
( kV k )(1 i)lxk bk1d xk k1V lxk1
第k+1年的为每个生存者提供的年初责任
准备金总额，积累一年的积累值恰能提供
自动垫交保费（3）
保费贷款期的最长时间由以下方程决定：
Gs t
i
k t
CV
G 为毛保费
i 为贷款利率
s t
i
为连续年金终值函数
在实务中，往往取同时满足以下两个条件的整数
Gs t
i
k t
CV
Gs t 1
i
k t 1
CV
剩余的现金价值 k
t
CV
Gs t
则用来购买展期保险。
i
练习
设（40）以年缴保费方式购买了保险金额为 100000元的20年期半连续型两全保险，保单现金 价值采用1980年法则确定。若被保人第11个保单 年度初停止缴纳保费，试确定被保人在以下三种 情况下所能获得的保险给付：
如此周而复始，直至所有保单失效
为什么叫资产份额？
保费中有很大一部分会以各种给付的形 式还给保单，这是保费的返还性
积累起来的基金是属于保单组的，但由 保险公司负责管理和投资；保单组的资 产是保险公司的负债
而每份有效保单的平均资产数额就是所 谓的资产份额，它是同责任准备金相对 的一组概念。
资产份额原理（图示）
简单情形下的计算公式
k CV
A1 xk:s
s 在实务中由线性插值方法决定
展期定期（3）
如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高，可 能会出现展期保险的保险期间大于原有保单剩余到 期时间的情况
规定保险期限到原有保险满期日为止
剩余的现金价值用来购买保额为 k CV
A 1 x k :n k
的纯生存保险
计算公式：kCV=kV-kSC
例1：终身寿险最高保单现金价值
设（40）购买了保险金额为10000元的全 离散终身寿险，每年初缴纳的均衡纯保 费根据精算等价原则确定。如果年实质 利率为6%，试确定在第5个保单年度末 退保时的最高现金价值。
分析：最高退保现金价值即为退保费为0 时的现金价值。
例2：定期寿险最高保单现金价值
两全寿险保单 终身寿险保单
定期寿险保单一般不计算现金价值
责任准备金与保单现金价值
保险公司不会将所有责任准备金全数退 还给被保人的原因：
财务风险 死亡率风险 效益风险 退保成本
保单现金价值的计算和责任准备金的计 算有密切关系
退保金的计算原理
中途退保者应受到某种惩罚
退保是一种单方面解约行为 很高的第一年费用可能不及回收
（1）转换成减额缴清保险； （2）转换成展期保险； （3）选择自动垫缴保费。设保险费率为0.03，保单
贷款利率为8%。
8.3 资产份额（供参考）
期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的 保险基金的变化过程
年初
交纳保费、扣除费用
年中
保险人投资保险基金以获利
年末
退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期 则支付满期给付
初年度： 后续年度：
毛保费 G G
纯保费
P-E1 P
费用
E+E1 E
其中，
Ga (P E)a A E1 Ea
P
P
E1 a
E1表示初年度的额外费用。
比较：修正责任准备金与调整保费法
原始等额净保费 修正后阶梯保费 调整阶梯保费
P
P
P
P
P-E1
修正前等额保费：P 修正后阶梯纯保费： ，，<P,>P
其中， Ga (P E)a A E1 Ea
P
P
E1 a
E1表示初年度的额外费用。
E1含义
E1表示初年度的额外费用。 美国保险监督官协会1941年法则规定：
E1 0.4 min(P , 0.04) 0.25min(P , Px , 0.04) 0.02
美国保险监督官协会1980法则规定：
W 10 30:30| 0.45， W 5 40:20| 0.2
8.2.2 展期定期（1）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交纯 保费，用来购买一份新的保单，新保单 是定期保险，保额和原有保单相同，但 保险期限需要重新计算。
从退保时刻往前延伸，这是展期 展期得到的是定期保险，这是定期
展期定期（2）
练习
设（40）购买了保险金额为50000元的 30年期全离散两全保险，保费每年初缴 纳一次，限期20年缴清。试采用1980年 法则计算在第8个保单年度末要求停止缴 纳保费时展期保险期限。
8.2.3 自动垫交保费（1）
自动保费贷款条款：某些保险合同规定，当投保人停止缴纳 保费，且没有提出退保申请时，保险合同并不会立即失效， 此时保险人可以用被保人的保单现金价值为保证自动为担保 人办理保单贷款以垫缴保费，使保单合同继续有效。当贷款 金额达到保单现金价值后，若担保人仍不缴纳保费，则保险 合同失效。
年度责任准备金是由保费构成的，是被保险 人所享有的一项权利。若被保人在合同到期 前退保时，有权获得这一积累的基金。
不丧失保单价值条款：保障被保人退保时的 合法权利
8.1.1 保单现金价值
保单现金价值：当投保人要求退保时， 保险人所退还给被保人的一定金额。
现金价值来源：带有储蓄成分的保单随 着生效时间的推移，会形成现金价值
a Pa
x: j1|
x: j
调整后阶梯纯保费：
P-E1，P P
P P E1 a
现金价值的计算－－调整保费法
调整保费法：对均衡纯保费进行一定程度的调整 （类似于修正准备金），在调整后纯保费的基础上 重新计算的准备金作为现金价值。
计算公式：k CV A(k ) P a(k) kV (P P)a(k)
保单持有人数
资产份额公式推导
二元风险模型
死亡或生存：经验生命表或生存函数 退保：根据经验计算保单各年度的退保
率，并构造退保分布模型
现金价值的计算－－传统法
传统现金价值决定法：
一般从责任准备金中扣除一笔退保费用，随着保 单生效时间的增加，这个退保费用的数额会逐渐 减少
也可以是责任准备金的一个百分比，百分比随着 生效年份的增加而增加，最后等于100％
l( ) xk 1
k 1
AS
l ( ) xk
k AS G(1 ck ) ek
(1
i)
d (d) xk
d (w) xk
k 1
CV
，
k 0,1, 2,
d
(d x
) k
表示第k个保单年度内死亡的人数
d
(w) xk
表示第k个保单年度内退保的人数
l
( ) xk
表示(
x)岁的人在投保后在x
k岁时仍生存且合同继续有效的
保费到期日，即预定应交保费的日期
保费宽限期
从保费到期日起算，一般为3个月，即如果在这三个月之内交纳保费， 其效果和在保费到期日交费是一样的
如果过了保费宽限期仍然没有交保费，就发生了保费拖欠
自动垫交保费（2）
自动垫交保费条款可以动用保单的现金价值 来垫交保费，从而维持保单的效力。
动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余额 是逐年上升，而现金价值金额的增长跟不上 保费贷款余额的增长，到所有现金价值都消 耗完之后，该保单失效。
当年死亡者的死亡赔付总额 bk1d xk ，以
及为在所有该年末存活的被保险人准备的 责任准备金总额 lxk1 k1V 。
保费分解与保单现金价值
k vqxk (bk 1 k 1V ) (v k 1V kV )
缴纳保费 风险纯保费 储蓄纯保费
保费构成：
风险保费：用于风险保额的给付 储蓄保费：增加各年度的准备金
基本险种kW的公式
由kW=kV/A(k)，可得基本险种kW的公式（参 见书P158）。
终身寿险: 全期缴费 h年缴费
n年两全保险：
练习
设（30）购买了保险金额为1000元的30年期全 离散两全保险，保费每年初缴纳缴费期限为30 年。调整保费为均衡纯保费的120%。求第15 年年末时最低的现金价值可购买的减额缴清保 费的保额。已知：
E1 1.25 min(P,0.04) 0.01
例8.1.1（P155）
设（30）购买了保险金额为1的20年期全离散 两全保险，保费每年初缴纳一次，限期20年 缴清。若年缴均衡纯保费大于等于0.04，试 采用1941年和1980年法则计算调整保费的公 式。
第二节 保单选择权
退保金可以提供多种支付方式
ek 表示在第k 1年度初每一有效保单发生的固定费用（保单费用）
q
(d ) xk
表示( x
k
)在x
k
1前死亡的概率
q
(w) xk
表示( x
k
)在x
k
1前退保的概率
p ( ) xk
表示(
x
k
)在x
k
1岁时仍生存且合同继续有效的概率
资产份额公式（团体型）
团体型公式更易于理解(P175：公式7.3.10)
资产份额公式（个体型）
P175：公式7.3.9
k1 ASpx()k
k AS G(1 ck ) ek
(1 i)
q(d) xk
q(w) xk
k
1CV
k 0,1,2,
其中 k
AS表示第k个保单年度末每一有效保单的预期资产份额
G表示毛保费
ck 表示第k 1年度初与保费有关的费用占毛保费的比例
比较例1和2发现，定期寿险保单的现金 价值较小。
8.1.2 保单现金价值计算--调整保 费法
调整保费法：对均衡纯保费进行一定程度的调整 （类似于修正准备金），在调整后纯保费的基础 上重新计算的准备金作为现金价值。
但是投保本身是为了降低风险，所以不宜 过多扣除
注意：《保险法》规定保险公司对未交纳 的保费没有请求权
关于退保金的一个理论结果
在完全连续的情况下，如果退还给退保 保单的现金价值等于退保时的责任准备 金，则退保行为不会对继续缴费的有效 保单产生不利影响。
这个结果说明：参照责任准备金来确定 退保金的水平是比较合理的
A1 x k :n k
若原保单保额为b，则所购纯生存保险的保额为
b
k CV A
A1 x k :n k 1
x k :n k
展期定期（4）
如果保额为 b 的保单在退保时还欠有余额为 L
的未偿保单贷款，则计算公式修改为
b k
CV
L
(b
L) A1 x k :s
例8.2.1（P159）
减额交清（2）
A(k)表示单位保险在时间k的趸缴纯保费，bk表示 购买缴清保费的保险金额，则有：
k CV bk A(k )
bk
k CV A(k )
在一定年限后，保险人为了鼓励解约的被保人由 领取退保金改为转换成减额缴清保险，可能会免 除解约时的扣除费用，此时记为kW，即：
kW=kV/A(k)
设（30）购买了保险金额为10000元的全离散终 身寿险，年度预定利率为6%。试求：
（1）采用1980年法则计算在第10个保单年度末要 求退保时的最低不丧失保单利益的现金价值。
（2）假设第10年末的现金价值为448元，则展期保 险的期限是多少（求整数近似解）？
（3）如果原保单有300元的贷款，求展期保险的期 限（采用线性插值）。
现金支付 减额交清：视为一次交清的保费，变更过
去保单的内容 展期定期 自动垫交保费
8.2.1 减额缴清（1）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费， 用来购买一份和原保单其他条件相同，但保额 会有减少的保单。
趸交保费，以后不用再交，这是缴清 保额会有下降，这是减额
具体操作：只要修改保单数据库中的保单属性 和保额即可
多元风险模型
如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就 意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了 。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面几 章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时， 各种保险要素的确定。
在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还 会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如， 寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞 职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素 时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损 失模型就是在这种背景下产生的。
保费
上年末基金
本年度可运用资金
投亡保险金
本年末基金
资产份额假设
影响资产份额的因素包括
死亡率 退保率 费用 投资收益率
资产份额的数据来源
死亡率——生命表 退保率——行业数据或公司经验数据 费用——公司的营业预算或经验数据 投资收益率——投资部门的研究结果
第一节 保单现金价值
现金价值 保单抵押贷款 退保金 保险选择权
减额交清 展期定期 自动垫交保费
递推公式
由kV
k
bk 1vqxk
k 1V
vpx
可得：
k
( kV k )(1 i)lxk bk1d xk k1V lxk1
第k+1年的为每个生存者提供的年初责任
准备金总额，积累一年的积累值恰能提供
自动垫交保费（3）
保费贷款期的最长时间由以下方程决定：
Gs t
i
k t
CV
G 为毛保费
i 为贷款利率
s t
i
为连续年金终值函数
在实务中，往往取同时满足以下两个条件的整数
Gs t
i
k t
CV
Gs t 1
i
k t 1
CV
剩余的现金价值 k
t
CV
Gs t
则用来购买展期保险。
i
练习
设（40）以年缴保费方式购买了保险金额为 100000元的20年期半连续型两全保险，保单现金 价值采用1980年法则确定。若被保人第11个保单 年度初停止缴纳保费，试确定被保人在以下三种 情况下所能获得的保险给付：
如此周而复始，直至所有保单失效
为什么叫资产份额？
保费中有很大一部分会以各种给付的形 式还给保单，这是保费的返还性
积累起来的基金是属于保单组的，但由 保险公司负责管理和投资；保单组的资 产是保险公司的负债
而每份有效保单的平均资产数额就是所 谓的资产份额，它是同责任准备金相对 的一组概念。
资产份额原理（图示）
简单情形下的计算公式
k CV
A1 xk:s
s 在实务中由线性插值方法决定
展期定期（3）
如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高，可 能会出现展期保险的保险期间大于原有保单剩余到 期时间的情况
规定保险期限到原有保险满期日为止
剩余的现金价值用来购买保额为 k CV
A 1 x k :n k
的纯生存保险
计算公式：kCV=kV-kSC
例1：终身寿险最高保单现金价值
设（40）购买了保险金额为10000元的全 离散终身寿险，每年初缴纳的均衡纯保 费根据精算等价原则确定。如果年实质 利率为6%，试确定在第5个保单年度末 退保时的最高现金价值。
分析：最高退保现金价值即为退保费为0 时的现金价值。
例2：定期寿险最高保单现金价值
两全寿险保单 终身寿险保单
定期寿险保单一般不计算现金价值
责任准备金与保单现金价值
保险公司不会将所有责任准备金全数退 还给被保人的原因：
财务风险 死亡率风险 效益风险 退保成本
保单现金价值的计算和责任准备金的计 算有密切关系
退保金的计算原理
中途退保者应受到某种惩罚
退保是一种单方面解约行为 很高的第一年费用可能不及回收
（1）转换成减额缴清保险； （2）转换成展期保险； （3）选择自动垫缴保费。设保险费率为0.03，保单
贷款利率为8%。
8.3 资产份额（供参考）
期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的 保险基金的变化过程
年初
交纳保费、扣除费用
年中
保险人投资保险基金以获利
年末
退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期 则支付满期给付
初年度： 后续年度：
毛保费 G G
纯保费
P-E1 P
费用
E+E1 E
其中，
Ga (P E)a A E1 Ea
P
P
E1 a
E1表示初年度的额外费用。
比较：修正责任准备金与调整保费法
原始等额净保费 修正后阶梯保费 调整阶梯保费
P
P
P
P
P-E1
修正前等额保费：P 修正后阶梯纯保费： ，，<P,>P
其中， Ga (P E)a A E1 Ea
P
P
E1 a
E1表示初年度的额外费用。
E1含义
E1表示初年度的额外费用。 美国保险监督官协会1941年法则规定：
E1 0.4 min(P , 0.04) 0.25min(P , Px , 0.04) 0.02
美国保险监督官协会1980法则规定：
W 10 30:30| 0.45， W 5 40:20| 0.2
8.2.2 展期定期（1）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交纯 保费，用来购买一份新的保单，新保单 是定期保险，保额和原有保单相同，但 保险期限需要重新计算。
从退保时刻往前延伸，这是展期 展期得到的是定期保险，这是定期
展期定期（2）
练习
设（40）购买了保险金额为50000元的 30年期全离散两全保险，保费每年初缴 纳一次，限期20年缴清。试采用1980年 法则计算在第8个保单年度末要求停止缴 纳保费时展期保险期限。
8.2.3 自动垫交保费（1）
自动保费贷款条款：某些保险合同规定，当投保人停止缴纳 保费，且没有提出退保申请时，保险合同并不会立即失效， 此时保险人可以用被保人的保单现金价值为保证自动为担保 人办理保单贷款以垫缴保费，使保单合同继续有效。当贷款 金额达到保单现金价值后，若担保人仍不缴纳保费，则保险 合同失效。
年度责任准备金是由保费构成的，是被保险 人所享有的一项权利。若被保人在合同到期 前退保时，有权获得这一积累的基金。
不丧失保单价值条款：保障被保人退保时的 合法权利
8.1.1 保单现金价值
保单现金价值：当投保人要求退保时， 保险人所退还给被保人的一定金额。
现金价值来源：带有储蓄成分的保单随 着生效时间的推移，会形成现金价值
a Pa
x: j1|
x: j
调整后阶梯纯保费：
P-E1，P P
P P E1 a
现金价值的计算－－调整保费法
调整保费法：对均衡纯保费进行一定程度的调整 （类似于修正准备金），在调整后纯保费的基础上 重新计算的准备金作为现金价值。
计算公式：k CV A(k ) P a(k) kV (P P)a(k)
保单持有人数
资产份额公式推导
二元风险模型
死亡或生存：经验生命表或生存函数 退保：根据经验计算保单各年度的退保
率，并构造退保分布模型
现金价值的计算－－传统法
传统现金价值决定法：
一般从责任准备金中扣除一笔退保费用，随着保 单生效时间的增加，这个退保费用的数额会逐渐 减少
也可以是责任准备金的一个百分比，百分比随着 生效年份的增加而增加，最后等于100％
l( ) xk 1
k 1
AS
l ( ) xk
k AS G(1 ck ) ek
(1
i)
d (d) xk
d (w) xk
k 1
CV
，
k 0,1, 2,
d
(d x
) k
表示第k个保单年度内死亡的人数
d
(w) xk
表示第k个保单年度内退保的人数
l
( ) xk
表示(
x)岁的人在投保后在x
k岁时仍生存且合同继续有效的
保费到期日，即预定应交保费的日期
保费宽限期
从保费到期日起算，一般为3个月，即如果在这三个月之内交纳保费， 其效果和在保费到期日交费是一样的
如果过了保费宽限期仍然没有交保费，就发生了保费拖欠
自动垫交保费（2）
自动垫交保费条款可以动用保单的现金价值 来垫交保费，从而维持保单的效力。
动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余额 是逐年上升，而现金价值金额的增长跟不上 保费贷款余额的增长，到所有现金价值都消 耗完之后，该保单失效。
当年死亡者的死亡赔付总额 bk1d xk ，以
及为在所有该年末存活的被保险人准备的 责任准备金总额 lxk1 k1V 。
保费分解与保单现金价值
k vqxk (bk 1 k 1V ) (v k 1V kV )
缴纳保费 风险纯保费 储蓄纯保费
保费构成：
风险保费：用于风险保额的给付 储蓄保费：增加各年度的准备金
基本险种kW的公式
由kW=kV/A(k)，可得基本险种kW的公式（参 见书P158）。
终身寿险: 全期缴费 h年缴费
n年两全保险：
练习
设（30）购买了保险金额为1000元的30年期全 离散两全保险，保费每年初缴纳缴费期限为30 年。调整保费为均衡纯保费的120%。求第15 年年末时最低的现金价值可购买的减额缴清保 费的保额。已知：
E1 1.25 min(P,0.04) 0.01
例8.1.1（P155）
设（30）购买了保险金额为1的20年期全离散 两全保险，保费每年初缴纳一次，限期20年 缴清。若年缴均衡纯保费大于等于0.04，试 采用1941年和1980年法则计算调整保费的公 式。
第二节 保单选择权
退保金可以提供多种支付方式
ek 表示在第k 1年度初每一有效保单发生的固定费用（保单费用）
q
(d ) xk
表示( x
k
)在x
k
1前死亡的概率
q
(w) xk
表示( x
k
)在x
k
1前退保的概率
p ( ) xk
表示(
x
k
)在x
k
1岁时仍生存且合同继续有效的概率
资产份额公式（团体型）
团体型公式更易于理解(P175：公式7.3.10)
资产份额公式（个体型）
P175：公式7.3.9
k1 ASpx()k
k AS G(1 ck ) ek
(1 i)
q(d) xk
q(w) xk
k
1CV
k 0,1,2,
其中 k
AS表示第k个保单年度末每一有效保单的预期资产份额
G表示毛保费
ck 表示第k 1年度初与保费有关的费用占毛保费的比例