第六章 多自由度体系的微振动

（1）拉格朗日方程
设体系的两个广义坐标为 x 1、x 2 ，则体系的拉格朗日方程为
d
dt
d
dt
T x1
T x 2
T x1 T x1
V x1 V x2
0 0
（6.1）
对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即
T 1 2 i,j 2 1 A ix jix j 1 2 (A 1x 1 1 2 2 A 1x 2 1 x 2 A 2x 2 2 2 )
解：自由度为2，取 1 和 2 为广义坐标，则
T
1m 2
l2(212
22
212)
V
1m 2
g(l212
22)
（1）
将（1）代入拉格朗日方程得
21
2
2
g l
1
0
1
2
g l
2
0
令（2）式的特解为
（2）
12
A1sin(t) A2sin(t)
（3）
将（3）代入（2）得
2(
g l
2 )A1
2
A2
0
（6.10）
或
2
Aj(bijai j 2)0, i1,2
j1
（6.11）
由（6.10）知：A1A20，由此得 x1x20，对应于体系的平衡状态，
不是 所需要的解。要使（6.10）中的 A1, A2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a21 a1,2b21 b1，2 得，
b11a112 b12a122 b12a122 b22a222 (b11a1 1 2)b (22a2 2 2)(b12a1 2 2)20
引进两个新的坐标 q 1 x 1 x 2 ,q 2 x 1 x 2 ,分别将（2）和（3）相加减，得 q1 mk q1 0
q2
3k mq2
0
由此得 q 1 和 q 2 振动模式的频率分别为
1 k/m 和 2 3k/m
6.3 n个自由度保守体系的自由振动 （1）拉格朗日方程
将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得
q1 A1 sin(1t 1 ) q2 A2 sin( 2t 2 ) qn An sin( nt n )
2 1
b11 a11
2 2
b22 a22
2 n
bnn a nn
（6.30）
选取这种能使T和V同时表示为 q i 和 q i 的平方和形式的广义坐标称为
简正坐标。
简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激 发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态， 则是各种简正振动的线性叠加。
T
1 2
i,
n
a
j1
ij
x
i
x
j
V
1 2
n
b ij
i, j1
x i
x
j
（6.15）
代入拉格朗方程，得
n
aijx jbijxj 0,
j 1
i1,2, n
（6.16）
（2）振动规律（拉格朗方程的通解）
令（6.16）的特解为
x i A i st i n ),( i 1 , 2 , n
（6.17）
6.5 解题指导
（1）习题类型基本解法
本章习题的基本类型是已知体系所受的力及运动的某些条件，求体系 振动频率、周期和振动方程（规律）。
基本解法：先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解 方程。
（2）范例 弦的等分点上三个相同质点m的振动（P.181[例]）
解：弦的伸长量 l 为
l[ y12a2 (y2y1)2a2
6.1 振动概述
（1）振动的分类
按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振 动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类， 其运动微分方程是同一种类型的。
按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由 度振动三类。
按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。
（6.13）
式中四个常数 A1'(1),A1'(2),1,2由初始条件 x 1 ( 0 )x 2 , ( 0 )x 1 , ( 0 )x 2 , ( 0 ) 决定。 若两个正根相等（正等根）：1 2 ，则通解为
x1 A1 sin(t1)
x2 A2sin(t2)
（6.14）
[例1] 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。
（6.2）
其中 A ij 是广义坐标的函数，且 A i( jx 1 ,x 2) A ij(x i1 ,x 2)
势能仅是广义坐标的函数
VV(x1,x2)
为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将 V(x1,x2)和T中的 Aij(x1,x2) 在平衡位置用泰勒级数展开
V (x 1 ,x 2 ) V (0 ,0 ) i 2 1 ( x V i)0x i i ,j2 1 1 2 ( x i2 V x j)0x ix j (**（)6.3）
2 A1
(g l
2 )A2
0
要使上式的 A1, A2有不恒为零的解，必须
2(g2)
l
2
2 g2
l
2(g2)240
l
由（5）得
1 2g l(22) ,2 2g l(22)
（4） （5） （6）
将（6）代入（4）中的任一式得振幅比值
A2(1)
2(g l
12)
A1(1)
12
2
A2(2) 2(gl 22) 2
A i(jx 1,x2)A 0(0 ,0 ) i 2 1( A x iij)0xi...
（6.4）
（6.3）式中的（**）是 （6.3）式可简化为
x
i
三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量，
V ( x 1 ,x 2 ) 1 2 i,j 2 1 1 2 ( x 1 2 V x 2 ) 0 x ix j 1 2 ( b 1 x 1 2 1 2 b 1 x 1 2 x 2 b 2 x 2 2 2
A1(2)
22
（7）
这里 A 1 (1),A 1 (2),A 2 (1),A 2 (2)为方程（4）的根，于是两个特解即可确定，两个特 解的 线性叠加即得通解
1A 1 (1 )sin 1 t(1) A 1 (2 )sin 2 t(2) 22 A 1 (1 )sin 1 t(1)2 A 1 (2 )sin 2 t(2)
（6.17）代入（6.16）式：
n
A j(bijaij 2)0,
j 1
i1,2, n
（6.18）
要使上式有不为零的解的条件为
b11a1 1 2 b21a2 1 2
bn1an12
b12a1 2 2 b22a2 2 2
b1na1n2
b2na2n2
0
bn2an22
bnnann 2
（6.19）
上式是关于 2 的n次多项式，有n个根 2 j(j1,2, ,n)且都是正的实根。
dV0, d2V 0
dq
dq2
（自由度为1）
（6.1）
V q1
V q2
0
(q2qV1122Vq20),2
2V 2V q12 q22 2V 0 q22
1
(自由度为2)
（b）不稳定平衡
势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。
（c）随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。
（6.2）
6.2 两个自由度保守系的自由振动
以双单摆为例。
若选取 q 1 和 q 2 为广义坐标：
q
1
1
1 2
2
q
2
1
1 2
2
或
由此可得
1
q1
q2 2
q
2
q1
q2 2
（6.23）
T
1 2
ml2
(212
212
22
)
1 ml2[(1 2
1 2
)q12
mgl(212
22
)
1 2
mg
l(q12
q22
)
（6.24）
（8）
常数 A1(1),A2(2),1,2由初始条件决定。
[例2] 试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。 解：自由度为2，以位移 x1, x2 为广义坐标，则
T12m(x12 x22) V12k[x12 (x2 x1)2 x22] （1） 将（1）代入拉格朗日方程得
m x 1 2 k1 xk2（x2） m x 2k1x 2 k2x （3）
第六章 多自由度体系的微振动
内容： ·振动概述 ·两个自由度保守系的自由振动
难点： ·多自由度的自由振动
·n个自由度保守系的自由振动 ·简正坐标和简正振动 重点： ·两个自由度的自由振动 ·简正坐标 难点： 多自由度的自由振动
振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学 中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般 处理方法和微振动在物理上的应用。
式中 aij aji 也都是常数。
将（6.5）和（6.6）代入（6.1）得 a a1 2x x 1 1 1 1 a a1 2x x 2 2 2 2 b b 1 2x 1 11x 1b b 1 2x 2 x 2 2 2 0 0
（6.7）
或
2(aijx jbijxj)0 i1,2
j1
（6.8）
代入拉格朗日方程，得
q1
g l
q2
g l
2
2
1
q1
0
2 2 1 q2 0
显然通解为
q1A1sin(1t1) q2 A2sin(2t2)
其中
12
g l
2 g (2 2 1 l
2)
22
g l
2 g (2 2 1 l
2)
（6.25） （6.26）
（6.27）
因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使T和V同时成为广义速度
（6.5）
式中
bi
j
( 2V xixj
)0
bji
，是常数。
思考：（6.3）式中为何可略去（**）项和取
V0(0,0)0，
(
V xi
)0
0
？
动能T的表式中也只要保留到二级小量，故Aij(x1,x2)只取零级近似即可。
A i( jx 1 ,x 2 ) A i( j0 ,0 ) a ij
T 1 2 i2 j 0 a ix jix j 1 2 ( a 1x 1 2 2 a 1x 1 2 x 2 a 2x 2 2 )
（2）线性振动概念
凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低 级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。
（3）力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图6.1所示
（a）稳定平衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳 定平衡位置——保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即
(y3y2)2a2 y32a2]4a
a[(y1)2(y2y1)2(y3y2)2(y3)2]
（6.20）
这些
( i
j
)
都是常数，共有n（n-1）个。
方程（6.16）的一个特解为
x i A i ( j ) sijt n j)(,i 1 , 2 , ,n
（6.21）
这些特解的线性叠加即为通解：
n
x i A i(j)sin jt (j)
j 1
i 1 ,2 , ,n
（6.22）
方程（6.22）中共有
振幅比：
将
2 j
代入（6.18）式，把
A1
看作已知的，然后已知对（n-1）个
A 2,A 3, ,A n求解，可得
A 2 ( j ) 2 ( j ) A 1 ( j ) ,A 3 ( j ) 3 ( j ) A 1 ( j ) , , A n ( j ) n ( j ) A 1 ( j )
上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐 次
微分方程组。
（2）微分方程的解.频率方程（久期方程）
用常规方法求解。设（6.7）式的解为
x1 A1sin(t) x2 A2sin(t)
将（6.9）式代入（6.7）得
（6.9）
A 1(b11 a112)A 2(b12 a122)0 A 1(b21 a212)A 2(b22 a222)0
（6.12）
（方程6.12）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。
设
为
2 1
和
2 2
，根据线性方程的原理，经过计算得方程（6.7）的通解为
x x 1 2 A 1 2 '( ( 1 1 ) )A s 1 '(1 )is1 n ti 1 n t( 1 ) ( 1 A )1 ' (2 )s 2 (2 )A i1 '( 2 2 n t) s( 2 i)2 n t( 2 )
n
2
个振幅
A
( i
j
)
,（6.20）式中提供了n（n-1）个已知的比
值，因此， n 2 个振幅中独立的只有 n2n(n1)n个，即 A 1 (1),A 1 (2), ,A 1 (n )
再加上n个相角 1,2, n，共有2n个待定常数，可由初始条件决定。
6.4 简振坐标和简正振动
力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很 容易求解。
和qi 广义坐标 q i 的平方和的形式
T12(a11q12 a22q22 ,annqn2) V12(b11q12 b22q22 ,bnnqn2)
（6.28）
则代入拉格朗方程得
a 11 q1 b11 q1 0
a 22q22 b22 q2
0
a nn qn bnn q n 0
（6.29）
其解即为