(精校版讲义)高中数学必修一 第1章第1讲集合的概念(可直接打印)

目录
第一章集合与函数概念 (2)
1.1 集合 (2)
1.1.1集合的含义与表示 (2)
1.1.2集合间的基本关系 (5)
1·1·3 集合的基本运算............................... 错误!未定义书签。

1·2 函数及其表示....................................... 错误!未定义书签。

1·3 函数的基本性质..................................... 错误!未定义书签。

1·3·1 单调性与最大（小）值......................... 错误!未定义书签。

1·3·2 奇偶性....................................... 错误!未定义书签。

第二章基本初等函数（I）.................................... 错误!未定义书签。

2·1 指数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·1·1指数与指数幂的运算........................... 错误!未定义书签。

2·1·2 指数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

2·2 对数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·2·1 对数与对数运算............................... 错误!未定义书签。

2·2·2 对数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

2·3 幂函数............................................. 错误!未定义书签。

第三章函数的应用........................................... 错误!未定义书签。

3·1 函数与方程......................................... 错误!未定义书签。

3·1·1 方程的根与函数的零点......................... 错误!未定义书签。

3·1·2 用二分法求方程的近似解....................... 错误!未定义书签。

3·2 函数模型及其应用................................... 错误!未定义书签。

3·2·1 几类不同增长的函数模型....................... 错误!未定义书签。

3·2·2 函数模型的应用实例........................... 错误!未定义书签。

期中试卷.................................................... 错误!未定义书签。

期末试卷.................................................... 错误!未定义书签。

参考答案.................................................... 错误!未定义书签。

第一章 集合与函数概念
本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1·1 集合
1·1·1集合的含义与表示
1.集合的定义：
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.我们通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，...... ，元素常用小写字母a,b,c,d, ……标记.
集合与元素是属于（）或者不属于（）的从属关系.例如Q N ∉∈2,3.
2.集合中元素的特征：
(1)确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中元素特定的顺序，只要两个集合元素完全相同就称这两个集合相等. 一些常用数集及其记法：
非负整数集(或自然数集)，记作N ；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z;
有理数集，记作Q;
实数集，记作R.
3.集合的表示方法：列举法、描述法和图示法.
(1)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.如：小于10的所有质数组成的集合用列举法可以表示为：A ＝｛2，3，5，7｝.
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：大于1而小于10的所有实数组成的集合用描述法可以表示为：B ＝｛x ｜1<x<10｝.
(3)图示法：用一个封闭的曲线的内部直观地表示一个集合的方法，这个封闭的曲线称为Venn 图.如：小于10的所有质数组成的集合用Venn 图可以表示为
∈∉
注：有限集常用列举法表示，无限集常用描述法，图示法常用于表示集合之间的相互
关系．
4.集合的分类:
（1）有限集：含有有限个元素的集合；
（2）无限集：含有无限个元素的集合；
（3）空集：不含任何元素的集合，用符号φ表示.
例1.下面各条件不能确定一个集合的是（ ）
A. 小于100的质数
B. 数轴上到原点的距离大于1的点的集合
C.
充分接近的所有实数的全体
D. 身高不高于1.70m 的所有人的全体
【解析】集合的元素是确定的.选项A 、B 、D 所描述的对象均是确定的，而选项C 对于接近的程度没有确切的定义，不能确定一个集合.故选C.
【小结】集合元素的确定性是解决问题的理论依据.
例2.集合，
，若A=B ，求的值.
【解析】集合相等则集合的元素完全相同.
（1）(根据集合元素的互异性舍去) 或 （2）（舍）
∴
【小结】集合相等则集合元素相同，然后利用集合元素的互异性进行检验.
例3.若集合
中有且仅有一个元素，求实数的值.
【解析】集合A 有且仅有一个元素，则方程2440kx x ++=有且仅有一个根.
（1）当时，{1}A =-
（2）当时
∴
33},,1{b a A =},,{2ab a a B =b a ,⎩⎨⎧∈=⇒⎩⎨⎧==R b a a ab b 112⎩
⎨⎧=-=01b a 112
==⇒⎩⎨⎧==b a ab a b 0,1=-=b a }044|{2=++=x kx x A k 0=k 0≠k 01616=-=∆k 1=k }0,1{∈k
例4.若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中
元素的个数为（）
A ．9
B ．6
C ．4
D ．2
【解析】由题知集合N 中元素(x ，y)所满足的条件为
经计算可得N 中元素个数为6
因此选C.
例5.用列举法表示下面集合
（1）
（2）
（3）
（4）且
【解析】本题考查集合的表示方法，分别将符合题目中所描述的集合元素性质的所有元素列举出来即可，因此有
（1）
（2）
（3）
（4）
1 以下元素的全体不能构成集合的是（ ）
A 周长为10cm 的三角形
B 中国四大发明
C 你现在的家庭成员
D 地球上的小河流
2设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a
+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
3 给出下列关系：①R ∈2
1；②Q ∈2；③*3N ∈；④Z ∈0.其中正确的个数（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4
4下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）
A }14159.3{},{==N M π
B )}3,2{(N }32{==，，
M C {1}N }N ,11|{=∈≤<-=，x x x M D |}3|1{},,3,1{M -==，，
ππN
}043|{2=--=x x x A },,,0,|{R c b a c b a abc abc c c b b a a x x A ∈≠⋅⋅+++=
=}522|{*+<<∈=x N x A Z x x A ∈=3|{}20≤x }4,1{-=A }4,0,4{-=A }3,2{=A }18,15,12,9,6,3,0,3,6,9,12,15,18{------=A
5 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）大于2小于7的整数；
（2）由方程0)32(2
=--x x x 的所有实数根组成的集合.
6. 已知实数集A 满足条件：若a ∈A ，则a a -+11∈A （a ≠0且a ≠±1），问集合A 中至少有几个元素？并证明你的结论.
1·1·2集合间的基本关系
1.包含：
（1）一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即若B a A a ∈∈则,，就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A.记作A B （或B A ）.这时我们就说集合A 是集合B 的子集.
（2）相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时我们就说集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.
即若A B ，且B A ，则A ＝B.（在证明集合相等的题目中经常会用到）
2.真子集：
（1）对于两个集合A 与B ，如果A B 且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作
A B A （或B A ）
（2）空集是任何集合的子集，即对任意集合A ，都有：φA ；空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠φ，则有φ A.
注：1空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的子集（Φ⊆A ），∅是任何非空集合的真子集（若A ≠Φ,则ΦA ），解题时不可忽视∅．
任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.
2易混符号
①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于（∈）关系；集合与集合之间是包含（⊆）关系
如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R,{1}⊆{1,2,3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合,而Φ是不含任何元素的集合
如：Φ⊆{0}不能写成Φ={0},Φ∈{0}
⊆⊇
⊆⊆⊆⊆
3.性质：
1. 任何一个集合是它本身的子集，即A A.
2．集合间的包含关系具有递推性质，即若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,.
例1.满足{1，2} x ⊆{1，2，3，4，5}的集合x 的个数为 （ ）
A ．4个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
【解析】：
由题中所给的集合之间的包含关系即可给出
}5,4,3,2,1{},5,4,2,1{},5,3,2,1{},4,3,2,1{},5,2,1{},4,2,1{},3,2,1{=======x x x x x x x
共有7个，因此选C.
例2. 已知集合A ＝{x ｜}12+=x y ，B ＝{y ｜y ＝12+x }，C ＝{(x ，y )｜}12+=x y ，试讨
论集合A 、B 、C 三者之间的关系．
【解析】：
集合A 可视为函数12+=x y 的定义域[),2
1
+∞-，集合B 可视为函数12+=x y 的值域[)∞+,1，
集合C 可视为函数12+=x y 的图象上所有的点构成的集合，因此B 是A 的真子集，而C 与A 、C 与B 无公共元素，故没有“包含”、“相等”关系．
例3. （），（）且，求的取
值集合.
【解析】：
本题考查集合间的关系.将集合A 、B 在同一数轴上表示出来
由于，在数轴上表现为集合A 的取值范围在集合B 的取值范围之内
∴
例4.已知集合A ＝{x ｜0122=++x ax }
（1）若A ＝∅，求a
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的值.
⊆}5|{≤≤=x a x A 5<a }3|{b x x B <<=3>b B A ⊆b a ,B A ⊆53<<a 5>b
【解析】：
(1)ΘA ＝∅ ∴方程0122=++x ax 无实根，当10,0>⇔<∆≠a a 时；当
12
1,0>∴-==a x a 时． (2) 问题等价于方程0122=++x ax 只有一解．
若00=∆≠则a ，解得1=a ，此时1-=x ；若2
10-
==x a 则10==∴a a 或时A 中只有一个元素．
(3) 问题等价于方程0122=++x ax 至多有一个解， ∴⎩
⎨⎧≠≤-=∆0044a a 或a ＝0，01=≥∴a a 或 01=≥∴a a 或当时，A 中至多有一个元素．
1. 已知P ＝{x ｜12
x x --≥0}，Q ＝{x ｜(x －1)(x －2)≥0}，S ＝{x ｜2(x －1)(2－x )≤1}，则下面结论正确的是 （ ）
A ．P ＝Q ＝S
B ．P Q S
C ．P ⊆S Q
D ．P S ＝Q
2．已知A ＝{x || x －1| <2}，B ＝{x | x < a }，且满足A ⊆B ，则a 的取值范围是 ．
3.已知集合A={x|x=4k ±1,k ∈Z}，B={x|x=2k+1,K ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系.
4.已知A ＝{x ∣x<a}，B ＝{x ∣x<3}，若A B ，试求a 的取值范围 ⊆。