2020年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷(附答案详解)

2020年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在−3、0、2、−1
这四个数中，最小的数是()
2
A. −3
B. 0
C. 2
D. −1
2
2.下列运算正确的是()
A. 2a2+a=3a3
B. 3a⋅2a2=6a2
C. (−a3)2=a6
D. (a+b)2=a2+ab+b2
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
4.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是()
A.
B.
C.
D.
5.将抛物线y=(x+1)2−3先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所
得到抛物线为()
A. y=(x+2)2
B. y=x2−6
C. y=(x+4)2−2
D. y=x2
6.若x=2是关于x的方程x2−3x−m=0的一个根，则m的值为()
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
7.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，这两棵树之间的
坡面距离AB长为6m，则它们之间的水平距离AC长为()
A. 3m
B. 3√3m
C. 4√3m
D. 6m
8.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点
D，若∠ACD=40°，则∠ODB的度数是()
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 40°
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上，
DE//BC，M为BC边上一点(不与点B、C重合)，连
接AM交DE于点N，则下列结论中正确的是()
A. AD
AN =AN
AE
B. DN
BM =NE
MC
C. AN
NM =DN
BM
D. AB
AC =DE
BC
10.二次函数y=2(x−1)2+3，下列说法正确的是()
A. 二次函数图象的顶点坐标是(−1,3)
B. 当x<1时，y随x的增大而增大
C. 当x=1时，y有最小值3
D. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,3)
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.将数2001000用科学记数法表示为______．
12.在函数y=x−1
x+2
中，自变量x的取值范围是______．
13.把多项式x3+4x2y+4xy2分解因式的结果是______．
14.已知点A(2,−3)在反比例函数y=k
x
的图象上，则实数k的值为______．
15.不等式组{3x≤x+2
x+7>−4x−3的负整数解是______．
16.一个扇形的半径为10，面积为10π，则此扇形的圆心角是______度．
17.如图，在矩形ABCD中，AD=√3，将∠A向内翻折，
点A落在BC上的点A′处，折痕为DE.若将∠B沿EA′向
内翻折，点B恰好落在DE上的点B′处，则AB的长为
______．
18.在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的3个红球和2个蓝球，从口袋中
随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到蓝球的概率为______．19.在△ABC中，AD是BC边上的高，过点D作AB的平行线交直线AC于点E，若∠BAD=
50°，∠CAD=20°，则∠CED的度数为______度．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内的点，且AB=BD，线段DB绕点
D逆时针旋转α度(α<90°)得到DE，若∠BDC+1
2
∠BAC=180°，∠BCD=∠BCE，
DC BC =2√3
7
，S△BDC=7
2
√3，则线段EC的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
21.先化简，再求代数式(x+1
x−2−1)÷x2−2x
x2−4x+4
的值，其中x=2cos30°．
22.图1、图2中每个小正方形的边长均为1，线段AB、CD的端点A、B、C、D均在
小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以AB为腰的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且有一
边长为3√2；
(2)在图2中画出以CD为斜边的直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且
tan∠DCF=3，并直接写出△CDF的面积．
23.某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃
圾分类知识掌握的情况，学校在校园内随机抽取了部分学生进行问卷测试，将他们的得分按优、良、中、差进行统计，并绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)在这次问卷测试中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若全校共有1500名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良
好”的学生共有多少名．
24.已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、
OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG=AE，连接CF、CG．
(1)如图1，求证：EG=FC；
(2)如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个
平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
25.为了美化小区，物业决定购买A，B两种灯笼，B种灯笼的单价比A种灯笼的单价
少6元，若800元购买A种灯笼的个数与680元购买B种灯笼的个数相同．
(1)求A和B两种灯笼的单价各是多少元；
(2)若物业购买A、B两种灯笼共100个，总费用不能超过3800元，则物业至少购
买B种灯笼多少个？
26.已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接BD、AC，AC是⊙O的直径，点E为弧AD
上一点，作EF⊥AC于点F，EF交AD于点G．
(1)如图1，求证：∠EGD=∠ABD；
(2)如图2，连接EC、ED，∠ECD=2∠ECA，求证：ED=2EF；
(3)如图3，在(2)的条件下，点N在BD上，连接AN，延长EF交AN于点M，∠AME=
∠ECB，AB=DG，FG=3，AN=26，求线段OF的长．
k，交x釉的负半27.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+28
9
kx+b，经过点C，交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点C，直线y=−7
20
轴于点B．
(1)求线段AB的长；
(2)动点P在线段AC上(点P不与点A和点C重合)，PE⊥BC，垂足为E，PQ//x轴
交y轴于点D，交线段BC于点Q，PQ=QB，设点P的横坐标为t，线段EQ的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在(2)问的条件下，在线段CD上有一点F，连接PF和QF，∠PFQ=90°，将线
段PF绕点P逆时针旋转得到PG，连接FG，使FG//PQ，连接GQ，若∠GPQ=3∠PGQ，GQ=8，求线段EQ的长．
答案和解析
1.【答案】A
<0<2，
【解析】解：∵−3<−1
2
∴最小的数是−3．
故选：A．
依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解．
本题主要考查的是有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．2.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=6a3，错误；
C、原式=a6，正确；
D、原式=a2+2ab+b2，错误．
故选：C．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合．
4.【答案】C
【解析】解：从左边看底层是两个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：C．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=(x+1)2−3先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到抛物线为：y=(x+1−1)2−3+3，即y=x2．
故选：D．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵x=2是关于的x方程x2−3x−m=0的一个根，
∴4−6−m=0，
解得m=−2．
故选：A．
把x=2代入关于的x方程x2−3x−m=0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意可知：
∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6m，
∴AC=AB⋅cos30°=6×√3
2
=3√3(m)．
答：它们之间的水平距离AC长为3√3m.
故选：B．
根据特殊角三角函数值即可求出AC的长．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的方法．
8.【答案】B
【解析】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠AOC=90°−∠ACD=90°−40°=50°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOC=∠OBD+∠ODB，
∴∠ODB=1
2
∠AOC=25°，
故选：B．
由切线的性质得∠OAC=90°，再利用互余计算出∠AOC=50°，由于∠OBD=∠ODB，
利用三角形的外角性质得∠ODB=1
2
∠AOC，即可得出结果．
本题考查了切线的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；求出∠AOC的度数是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵DN//BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN
BM =AN
AM
，
∵NE//MC，
∴△ANE∽△AMC，
∴NE
MC =AN
AM
．
∴DN
BM =NE
MC
．
故选：B．
先证明△ADN∽△ABM得到DN
BM =AN
AM
，再证明△ANE∽△AMC得到NE
MC
=AN
AM
，则DN
BM
=NE
MC
，
从而可对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
10.【答案】C
【解析】解：A：二次函数y=2(x−1)2+3的顶点坐标是(1,3)，故A选项错误；
B：二次函数y=2(x−1)2+3的对称轴为直线x=1，开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小，故B选项错误；
C：二次函数y=2(x−1)2+3的对称轴为直线x=1，开口向上，当x=11时，y有最小值为3，故C选项正确；
D：二次函数的图象与y轴相交时，x=0，则y=2×(0−1)2+3=5，所以二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,5)，故D选项错误．
故选：C．
根据二次函数顶点式的性质逐项进行计算，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解决本题的关键．
11.【答案】2.001×106
【解析】解：2001000=2.001×106．
故答案为：2.001×106．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，
确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】x≠−2
【解析】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠−2．
故答案为：x≠−2．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】x(x+2y)2
【解析】解：原式=x(x2+4xy+4y2)
=x(x+2y)2．
故答案为：x(x+2y)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】−6
【解析】解：∵点A(2,−3)在反比例函数y=k
的图象上，
x
∴k=2×(−3)=−6．
故答案为−6．
直接利用反比例函数图象上点的坐标特征求解．
(k为常数，k≠0)的图
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
象是双曲线；图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
15.【答案】−1
【解析】解：解不等式3x≤x+2得，x≤1，
解不等式x+7>−4x−3得，x>−2，
∴不等式组的解集为−2<x≤1，
∴负整数解为−1，
故答案为−1．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
16.【答案】36
【解析】解：设扇形的圆心角为n°，
，
由题意，10π=nπ⋅102
360
解得n=36，
故答案为：36．
利用扇形的面积公式计算即可．
．
本题考查扇形的面积公式，解题的关键是记住扇形的面积S=nπ⋅r2
360
17.【答案】3
2
【解析】解：由折叠可得，∠ADE=∠A′DE，AD=A′D=√3，∠DA′E=∠A=90°，∴∠B′A′E+∠DA′B′=90°，∠BA′E+∠DA′C=90°，
∵∠B′A′E=∠BA′E，
∴∠DA′B′=∠DA′C，
又∵∠C=∠B=∠A′B′E=90°，
∴∠C=∠DB′A′，
又∵A′D=A′D，
∴△A′DB′≌△A′DC(AAS)，
∴∠CDA′=∠EDA′，
∴∠CDA′=1
∠ADC=30°，
3
∴CD=A′D×cos30°=3
，
2
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3
，
2
故答案为：3
．
2
依据折叠的性质，即可得到∠DA′B′=∠DA′C，∠C=∠DB′A′，判定△A′DB′≌△A′DC(AAS)，∠ADC=30°，求得CD的长，即可得到AB的长．
即可得到∠CDA′=1
3
本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18.【答案】4
25
【解析】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次都摸到蓝球的结果有4个，
∴两次都摸到蓝球的概率为4
，
25
．
故答案为：4
25
画树状图，共有25个等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有4个，再由概率公
式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】30或70
【解析】解：分两种情况讨论：
①当AD在△ABC内部时，如图所示，
∵∠BAD=50°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=70°，
又∵DE//AB，
∴∠CED=∠CAB=70°；
②当AD在△ABC外部时，如图所示，
∵∠BAD=50°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=30°，
又∵DE//AB，
∴∠CED=∠CAB=30°．
综上所述，∠CED的度数为70°或30°．
故答案为：70或30．
分两种情况：①当AD在△ABC内部时，②当AD在△ABC外部时，分别依据平行线的性质即可得出结论．
本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，利用分类思想是解决问题的关键．20.【答案】√10+√3
【解析】解：如图，过B作BF⊥CD交CD的延长线于F，过点A作AG⊥BC于G，过
点D作DH⊥BC于H，过点D作DI⊥EC于I，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=1
2BC，∠BAG=∠CAG=1
2
∠BAC，
∵∠BDC+1
2
∠BAC=180°，∠BDC+∠BDF=180°，
∴∠BDF=1
2
∠BAC=∠BAG，
在△BFD和△BGA中，
{∠F=∠AGB=90°∠BDF=∠BAG
BD=AB
，
∴△BFD≌△BGA(AAS)，∴BF=BG，AG=BF，
∵S△BDC=7
2√3=1
2
×CD×BF，
∴7√3=CD×1
2
BC，
又∵DC
BC =2√3
7
，
∴BC=7，
∴BG=GC=BF=AG=7
2
，CD=2√3，
∴CF=√BC2−BF2=√49−49
4=7√3
2
，
∴DF=3√3
2
，
∴BD=√BF2+DF2=√49
4+27
4
=√19，
∵线段DB绕点D逆时针旋转α度(α<90°)得到DE，∴DE=BD=√19，
∵sin∠BCF=BF
BC =1
2
，
∴∠BCF=30°，∴∠BCE=30°，∴∠DCE=60°，
∵DI⊥EC，
∴∠CDI=30°，
∴CI=1
2
DC=√3，DI=√3IC=3，
∴EI=√DE2−DI2=√19−9=√10，
∴EC=EI+IC=√10+√3，
故答案为√10+√3．
过B作BF⊥CD交CD的延长线于F，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，过点D作DI⊥EC于I，由“AAS”可证△BFD≌△BGA，可得BF=BG，AG=BF，由三角形面积公式可求BC=7，由勾股定理可求DF，CI，AB，DI，EI的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
21.【答案】解：原式=(x+1
x−2−x−2
x−2
)÷x(x−2)
(x−2)2
=3
x−2⋅x−2
x
=3
x
，
当x=2cos30°=2×√3
2
=√3时，
原式=3
√3
=√3．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值确定x的值，继而代入计算即可得出答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的函数值．
22.【答案】解：(1)如图1，即为以AB为腰的等腰三角形ABE；
(2)如图2，即为以CD为斜边的直角三角形CDF，
△CDF的面积为：1
2
×√2×3√2=3．
【解析】(1)根据网格即可在图1中画出以AB为腰的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且有一边长为3√2；
(2)根据网格即可在图2中画出以CD为斜边的直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且tan∠DCF=3，然后求出△CDF的面积即可．
本题考查了作图−应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23.【答案】解：(1)20÷40%=50(名)．
答：一共抽取了50名学生；
(2)50−20−10−5=15(名)，
补全条形统计图如图所示：
(3)1500×(15
50+20
50
)=1050(名)．
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”的学生共有1050名．
【解析】(1)用良的人数除以良的人数所占的百分比即可得到总人数；
(2)根据题意补全条形统计图即可得到结果；
(3)全校1500名乘“优秀”和“良好”等级的学生数所占的分率即可得到结论．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=1
2OB，DF=1
2
OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
{AB=CD
∠ABE=∠CDF BE=DF
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=FC，
∵EG=AE，
∴EG=FC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB//CD，AB=CD，S四边形ABCD=4S△ABO，∵EG=AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO=S△BGO，
∴S
四边形ABGO =2S△ABO=1
2
S
四边形ABCD
，
∵OA=OC，EG=AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE//CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，∴BG//AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S
四边形BGCO =2S△BGO=2S△ABO=1
2
S
四边形ABCD
，
∵四边形ABGO是平行四边形，∴GO//AB，GO=AB，
∵AB//CD，
∴GO//CD，GO=CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S
四边形CDOG =2S△CDO=2S△ABO=1
2
S
四边形ABCD
，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF=1
2
BD=OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，∴CG//EF，CG=OD，
∴EF=CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S
四边形EFCG =S
四边形CDOG
=1
2
S
四边形ABCD
，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，OB=OD，由平行线的性质得∠ABE=∠CDF，易证BE=DF，由SAS证得△ABE≌△CDF(SAS)，得出AE=FC，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得OA=OC，AB//CD，AB=CD，S四边形ABCD=4S△ABO，易证
AG、OB互相平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形
ABGO =2S△ABO=1
2
S
四边形ABCD
，
易证OE是△ACG的中位线，则OE//CG，易证四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO=
2S△BGO=2S△ABO=1
2S
四边形ABCD
，证GO//CD，GO=CD，则四边形CDOG是平行四边
形，S四边形
CDOG =2S△CDO=2S△ABO=1
2
S
四边形ABCD
，证CG//EF，EF=CG，则四边形
EFCG是平行四边形，S四边形
EFCG =S
四边形CDOG
=1
2
S
四边形ABCD
．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为(x+6)元，
依题意得：800
x+6=680
x
，
解得：x=34，
经检验，x=34是原方程的解，且符合题意，
∴x+6=40．
答：A种灯笼的单价为40元，B种灯笼的单价为34元．(2)设购买B种灯笼m个，则购买A种灯笼(100−m)个，
依题意得：40(100−m)+34m≤3800，
，
解得：m≥100
3
又∵m为整数，
∴m的最小值为34．
答：物业至少购买B种灯笼34个．
【解析】(1)设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为(x+6)元，根据用800元购买A种灯笼的个数与用680元购买B种灯笼的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买B种灯笼m个，则购买A种灯笼(100−m)个，根据总价=单价×数量结合总费用不能超过3800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.【答案】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFG=90°，
∴∠DAC+∠AGF=90°，
∴∠ACD=∠AGF，
∵∠EGD=∠AGF，
∴∠EGD=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠EGD=∠ABD；
(2)证明：连接OE、OD，作OH⊥DE于点H，
ED，
∴∠EHO=90°，EH=DH=1
2
∵OE=OD，
∴∠EOH=∠DOH=1
∠EOD，
2
∵∠EOD=2∠ECD，
∴∠EOH=∠ECD，
∵∠ECD=2∠ECA，
∴∠EOH=2∠ECA，
∵∠AOE=2∠ACE，
∴∠AOE=∠EOH，
∵∠EFO=∠EHO=90°，OE=OE，
∴△OFE≌△OHE(AAS)，
∴∠FEO=∠HEO，EF=EH，
ED，
∵EH=DH=1
2
∴ED=2EF；
(3)解：∵∠ECB=∠EDB，∠AME=∠ECB，∴∠AME=∠EDB，
∴∠EDB+∠EMN=∠MED+∠MND=180°，∵∠MNB+∠AND=180°，
∴∠ANB=∠MED，
∵∠ABD=∠EGD，AB=DG，
∴△ABN≌△DGE(AAS)，
∴AN=DE，
∵AN=26，
∴DE=26，
∴EF=1
ED=13，
2
∵FG=3，
∴EG=10，
作DG的垂直平分线交ED于点K，连接GK，∴KG=KD，
∴∠KGD=∠KDG，
∴∠EKG=2∠EDG，
∵∠EDA=∠ACE，∠ECD=2∠ECA，
∴∠ACD=3∠ACE，
∵∠EGD=∠ACD，
∴∠EGD=3∠ACE=3∠EDA，
∴∠EGK =∠EKG =2∠EDG ，
∴EK =EK =10，
∴KG =KD =DE −EK =26−10=16，
连接OE 交GK 于点Q ，
由(2)知∠FEO =∠DEO ，
∵EG =EK ，
∴QG =QK =12KG =8，
在Rt △EQG 中，EQ =√EG 2−GQ 2=6，
∴tan∠EQG =EQ GQ =34，
∴∠AOE =2∠ACE =∠EGK ，
∴tan∠EOA =34=EF OF ，
∴OF =
523．
【解析】(1)由“AC 是⊙O 的直径，EF ⊥AC ”得到∠ACD =∠AGF ，再利用同弧所对的圆周角相等即可得到∠EGD =∠ABD ；
(2)连接OE 、OD ，作OH ⊥DE 于点H ，则∠EHO =90°，EH =DH =12ED ，利用AAS 证得△OFE≌△OHE ，得到∠FEO =∠HEO ，EF =EH ，即可证得ED =2EF ；
(3)利用AAS 证得△ABN≌△DGE ，得到AN =DE ，可得EG ，作DG 的垂直平分线交ED 于点K ，连接GK ，得到∠EKG =2∠EDG ，求得KG ，连接OE 交GK 于点Q ，得到QG ，利用勾股定理可得EQ ，进而得到tan∠EQG ，即可求得OF ．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵直线y =kx +
289k ，交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点
C ， 令y =0，则x =−289，令x =0，则y =
289k ， ∴A(−289,0)，
∵直线y =−720kx +b 经过点C ，
∴b =289k ，
∴y=−7
20kx+28
9
k，
令y=0，则x=80
9
，
∴B(80
9
,0)，
∴AB=80
9−(−28
9
)=12；
(2)作QH⊥AB于点H，设P(t,kt+28
9
k)，
∵PQ//x轴，
∴点Q的纵坐标是kt+28
9
k，∠PQE=∠QBH，
∵点Q在y=−7
20kx+28
9
k上，
∴kt+28
9k==−7
20
kx+28
9
k，
∴x=−20
7
t，
∴Q(−20
7t,kt+28
9
k)
∵四边形DOHQ是矩形，∴DQ=OH=−20
7
t，
∴HB=80
9−(−20
7
t)=80
9
+20
7
t，
在△PEQ和△QHB中，
{∠PEQ=∠QHB ∠PQE=∠QBH PQ=QB
，
∴△PEQ≌△QHB(AAS)，∴EQ=HB，
∴d=20
7t+80
9
；
(3)延长GP交y轴于K，连接QK，取GQ的中点M，连接PM，取GM的中点N，连接PN，
由旋转可得PG=PF，
∴∠PGF=∠PFG，
∵FG//PQ//x轴，
∴∠GFK=90°，
∠KGF+∠GKF=∠PFG+∠PFK=90°，∴∠GKF=∠PFK，
∴PF=PK，
∵FG//PQ，
∴∠PGF=∠KPQ，∠PFG=∠CPQ，
∴∠FPQ=∠KPQ，
在△PFQ和△PKQ中，
{PF=PK
∠FPQ=∠KPQ PQ=PQ
，
∴△PFQ≌△PKQ，
∴PG=PF=PK，
∴P是GK的中点，
∴PM//KQ，
∴∠GPM=∠GKQ=90°，
∵点N是GM的中点，P是GK的中点，
∴PN=GN=NM，
∴∠NGP=∠NPG，
∴∠QNP=2∠PGQ，
∵∠GPQ=3∠PGQ，
∴∠QPN=∠QNP=2∠PGQ，
∴QP=QN，
∵GQ=8，点N是GM的中点，M是GQ的中点，∴NQ=PQ=6，即PQ==−20
7
t−t=6，
∴t=−14
9
，
∴EQ=d=20
7t+80
9
=40
9
．
【解析】(1)根据y=kx+28
9k求出点A，点C的坐标，可得k=28
9
k，再根据y=−7
20
kx+
b求出点B的坐标，即可求得线段AB的长；
(2)作QH⊥AB于点H，设P(t,kt+28
9
k)，求出点Q的坐标，可得HB的长，再证明△PEQ≌△QHB，根据全等三角形的性质即可求解；
(3)延长GP交y轴于K，连接QK，取GQ的中点M，连接PM，取GM的中点N，连接PN，由旋转可得PG=PF，先证明△PFQ≌△PKQ，根据全等三角形的性质可得
∠PFQ=∠PKQ=90°，根据直角三角形斜边上的中线可得PG=PF=PK，根据三角形的中位线得//KQ，在Rt△GPN中，根据直角三角形斜边上的中线可得PN=GN=NM，根据角的和差得出∠QPN=∠QNP=2∠PGQ，等角对等边得QP=QN，由GQ=8得
NQ=PQ=6，根据PQ=−20
7
t−t=6，求出t的值，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求两直线的交点坐标，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握待定系数法及几何图形的性质是解题的关键．。