2015高考数学一轮课件：6-2等差数列

能熟练应用等差数 列的性质解决有关 问题
综合考查等差数列的 性质
掌握等差数列的前n 项和公式
求等差数列的前n项 和；已知等差数列的 前n项和求基本量
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1.通过对近几年高考试题的分析可以看出，等差数列作为最 基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象，主要以通项 公式、前 n 项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化 归与方程等数学思想，注重通性、通法的考查，其中选择题、填 空题突出“小”“巧”，解答题“大而全”．注重题目的综合与 新颖，突出对运算能力和逻辑思维能力的考查．
2．2015 年对本部分的考查仍会突出通性、通法的应用．第Biblioteka 页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
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1.等差数列的概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的差等于 同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的 公差 ． (2)等差中项 在一个等差数列中，从第 2 项起每一项(有穷数列最后一项 除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即 2an＝ an－1＋an＋1 (n∈N*且 n≥2)．
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2．等差数列的通项公式及其前 n 项和 Sn (1)等差数列的前 n 项和 Sn 是用 倒序相加法 求得的．注意这 种思想方法在数列求和中的应用．
(2)等差数列的通项公式 an＝ a1＋(n－1)d 及前 n 项和公式 Sn
na1＋an ＝2
＝na1＋nn2－1d ，共涉及五个量 a1，an，d，n，
答案：C
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4．(2014·黄冈一模)数列{an}中，a2＝2，a6＝0 且数列{an＋1 1} 是等差数列，则 a4＝( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.4
D.6
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解析：设数列{an＋1 1}的公差为 d，由 4d＝a6＋1 1－a2＋1 1得 d ＝16，∴a4＋1 1＝2＋1 1＋2×16，解得 a4＝12，故选 A.
答案：C
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题型一 等差数列的基本运算 【例 1】 (2014·济南联考)已知下表：
4 7 ( ) ( ) ( ) … a1j … 7 12 ( ) ( ) ( ) … a2j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a3j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a4j … … … … … … ……… ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … … … … … … ………
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[变式 2] 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈ N*)，数列{bn}满足 bn＝an－1 1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
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解：(1)证明：∵an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)， bn＝an－1 1， ∴bn＋1－bn＝an＋11－1－an－1 1＝2－a11n－1－an－1 1＝ana－n 1－ an－1 1＝1. 又 b1＝a1－1 1＝－52. ∴数列{bn}是以－52为首项，以 1 为公差的等差数列．
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[变式 1] (2014·安徽江南十校素质测试)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10＝30，a20＝50，
(1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n.
解：(1)由 an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组aa11＋ ＋91d9＝ d＝3050，. 所以 an＝2n＋10.
(2)由(1)知 bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设 f(x)＝1＋2x－2 7，则 f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为 减函数． ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1，当 n＝4 时，an 取得最大 值 3.
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题型三 等差数列的性质及应用 【例 3】 在等差数列中，Sn 表示{an}的前 n 项和， (1)a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，Sn＝ 210，求项数 n； (3)S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
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其中每行、每列都是等差数列，aij 表示位于第 i 行、第 j 列 的数．
(1)写出 a45 的值； (2)写出 aij 的计算公式． [解] (1)由上表可知，第一行的首项为 4，公差是 3；第二 行的首项是 7，公差为 5.可以归纳出：第一列是以 4 为首项，3 为公差的等差数列，即 3i＋1；各行的公差构成以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 2i＋1.因为 a45 是第 4 行，第 5 列，首项 应为 13，公差是 9，所以 a45＝13＋(5－1)×9＝49.
答案：(－2)n－1
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2．(2014·绍兴调研)数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列且
bn＝an＋1－an(n∈N*)．若 b3＝－2，b10＝12，则 a8＝( )
A．0
B．3
C．8
D．11
解析：设数列{bn}的首项为 b1，公差为 d，由 b3＝－2，b10 ＝12，
S偶＝
n－1 n
.
S奇
其中 S 偶、S 奇分别为数列的所有偶数项的和、所有奇数项的
和．
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1.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则 {an}的通项公式是 an＝________.
解析：n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(23an＋13)－(23an－1＋13)＝23an－ 23an－1，得 an＝－2an－1，又 a1＝23S1＋13，得 a1＝1，故 an＝1·(－2)n －1＝(－2)n－1.
2．题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低 档的多，也有个别的难题．
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3．命题切入点：以等差数列为载体，一是考查等差数列的 基本运算问题；二是考查等差数列的综合问题．
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1.预测在明年的高考中，小题重点考查等差数列的定义与性 质、数列的通项与前 n 项和、等差数列的判断等内容；大题考查 解题能力，如数列与不等式、函数的交汇等综合解决问题的能力．
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(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q， 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数． ∴{an＋1－an}是等差数列． [方法·规律] 证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有 两种： (1)利用等差数列的定义证明，即证明 an＋1－an＝d(n∈N*)； (2)利用等差中项证明，即证明 an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)． 注意：在选择方法时，要根据题目的特点，如果能够求出数 列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法．
解得da＝1＝21. 2，
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(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)．
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题型二 等差数列的判断与证明 【例 2】 已知数列{an}的通项公式 an＝pn2＋qn(p、q∈R， 且 p、q 为常数)． (1)当 p 和 q 满足什么条件时，数列{an}是等差数列； (2)求证：对任意实数 p 和 q，数列{an＋1－an}是等差数列． [解] (1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p ＋q，要使{an}是等差数列，则 2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关的 常数，所以只有 2p＝0，即 p＝0. 故当 p＝0 时，数列{an}是等差数列．
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3．(2014·乌鲁木齐地区高三第一次测验)等差数列{an}的前 n
项和为 Sn，若 a2＋a7＋a9＝15，则 S11 的值为( )
55 A. 2
B．50
C．55
D．110
解析：由等差数列性质得 a2＋a7＋a9＝3a6＝15，∴a6＝5，
S11＝11a6＝55.故选 C.
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④Sn＝na1＋nn－2 1d＝nan－nn－2 1d；
⑤若{an}共有 2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)，S 偶－S 奇＝nd an＋1
，S偶 S奇
＝ an ；
若{an}共有 2n－1 项，则 S2n－1＝(2n－1)an，S 奇－S 偶＝ an ，
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(2)由(1)知，第 i 行的数是首项为 4＋3(i－1)，公差为 2i＋1 的等差数列，
所以 aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j. [方法·规律] 有关等差数列运算的求解技巧 (1)数列的通项公式在解题中起到变量代换的作用，a1，an， d，n，知其三就能求其余量，体现了用方程思想解决问题． (2)注意设元技巧，减少运算量．如果三个数成等差数列， 一般可设为 a－d，a，a＋d；如果四个数成等差数列，可设为 a －3d，a－d，a＋d，a＋3d.
④项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即 ak，ak＋m， ak＋2m，…(k，m∈N*)成等差数列．
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(3)前 n 项和的性质 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则 ①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是公差为 k2d 的等差 数列； ②{Snn}也是一个等差数列； ③Sn＝na12＋an＝na2＋2 an－1＝na3＋2 an－2＝…；
Sn，知其三就能求另二．
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3．等差数列的性质 (1)等差数列的单调性 若{an}是公差为 d 的等差数列，则当 d＞0 时，{an}是递增 数 列；当 d＜0 时，{an}是 递减 数列；当 d＝0 时，{an}是常数列 ． (2)通项特征 ①等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n≥1)可推广为 an＝ am＋ (n－m)d . ②若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq . ③若{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和相加 等于首末两项之和．
得bb11＋ ＋29dd＝ ＝1－22，， 解得db＝1＝2－，6， ∴bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8.
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∴bn＝an＋1－an， ∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3 － a2) ＋ (a2 － a1) ＋ a1 ＝ b7 ＋ b6 ＋ b5 ＋ … ＋ b1 ＋ a1 ＝ 7×－6＋22×7－8＋3＝3. 答案：B
答案：A
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5．(2014·荷泽调研)在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0， 若此数列的前 10 项和 S10＝36，前 18 项和 S18＝12，则数列{|an|} 的前 18 项和 T18 的值是( )
A．24
B．48
C．60
D．84
解析：由 a1＞0，a10·a11＜0 可知 d＜0，a10＞0，a11＜0，∴ T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60，故选 C.
第二节 等差数列
第一页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
第二页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
考点
等差数列 的概念及 通项公式
等差数列 的性质
等差数列 的前n项和
考纲要求
考查角度
理解等差数列的概 念；掌握等差数列 的通项公式；了解 等差数列与一次函 数的关系
证明或判定某个数列 是等差数列；求等差 数列的通项公式、等 差中项