理科数学高考大一轮总复习课件：第1章 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件

命题；
(4)“若 A∩B＝A，则 A⊆B”的逆否命题．
其中真命题个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
15 第十五页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【思路点拨】根据倒数的定义判断(1)即可；写出否命题， 然后判断(2)的真假；写出逆否命题，通过解得方程无解的 条件来判断(3)；利用命题与逆否命题真假相同来判断(4)．
答案：A
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【温馨提示】(1)充要条件反映了条件和结论之间的关 系，解决此类问题的关键是分析条件 p 和 q 是否具有推出 关系，首先要化简条件，其次要明确条件 p 是什么，结论 q 是什么，接着判断一是 p 能否推得条件 q；二是 q 能否推得 条件 p；(2)常用方法有定义法、逆否法、集合法．
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【跟踪训练 6】已知 p：x－1 2≥1，q：|x－a|<1，若 p 是 q
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【解答过程】当命题 p 成立时，直线 l1：x－y－1＝0 与 直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，故两直线的斜率相等，所以 a＝ －1.当 q 成立时，a＝－1，直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x ＋ay－2＝0 平行，故命题 p 成立．综上，p 是 q 的充要条件．
12 第十二页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：原命题“对于正数 a，若 a＞1，则 lg a＞0”是真 命题；逆命题“对于正数 a，若 lg a＞0，则 a＞1”是真命题； 否命题“对于正数 a，若 a≤1，则 lg a≤0”是真命题；逆否 命题“对于正数 a，若 lg a≤0，则 a≤1”是真命题．故答案 为 4.
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【跟踪训练 3】(2014·浙江)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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8 第八页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：由题意知，A、B、C 的关系用下图来表示．
由上图结合“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则 易得：“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，故① 错误，②正确，③错误，④错误．
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【跟踪训练 1】 (2014·陕西)原命题为“若 z1，z2 互为共轭
复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假
性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
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偶数”的( A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：m，n 均为偶数，则 m＋n 为偶数，即“m，n 均 为偶数⇒m＋n 是偶数”为真命题，但 m＋n 为偶数推不出 m， n 均为偶数，如 m＝1，n＝1.“m，n 均为偶数”是“m＋n 是偶数”的充分而不必要条件，故选 A.
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一 四种命题的关系及真假判断
【例 1】有下列四个命题：
(1)“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；
(3)“若 m≤1，则方程 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否
22 第二十二页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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二 充分条件、必要条件的判断
【例 2】已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－ 2＝0 平行，q：a＝－1，则 p 是 q 的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
②其逆否命题为真，故②是真命题； ③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题； ④否命题：“若 xy≠0，则 x、y 都不为零”，是真命题． 故答案为①②④.
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5.命题“对于正数 a，若 a＞1，则 lg a＞0”及其逆命题、 否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为 4 .
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Байду номын сангаас
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第2讲 命题及其关系，充分条件与必要条件
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1.设 m，n 是整数，则“m，n 均为偶数”是“m＋n 是
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解析：由“a＜b”如果 a＝0，则(a－b)a2＝0，不能推出 “(a－b)a2＜0”，故必要性不成立．由“(a－b)a2＜0”，其 中 a2＞0，所以 a＜b，故充分性成立．
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三 充要条件、必要条件的探求
【例 3】函数 f(x)＝x|x＋a|＋b 是奇函数的充要条件是
() A．a·b＝0
B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0
D．a＝b
31 第三十一页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【思路点拨】若 f(x)是奇函数，则 f(－x)＝－f(x)恒成立， 根据恒等式成立的条件即可求得 a，b 的值．
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【跟踪训练 2】若“x∈[2,5]或 x∈{x|x＜1 或 x＞4}”是假 命题，则 x 的取值范围是 .
21 第二十一页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：若“x∈[2,5]或 x∈{x|x＜1 或 x＞4}”是假命题， 则它的否命题为真命题即{x|x＜2 或 x＞5}且{x|1≤x≤4}是真 命题，所以 x 的取值范围是[1,2)．
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解析：根据共轭复数的定义，命题“若 z1，z2 互为共轭 复数，则|z1|＝|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|＝|z2|， 则 z1，z2 互为共轭复数”，例如|1|＝|－1|，而 1 与－1 不是 互为共轭复数，所以逆命题是假命题；根据否命题与逆命题 是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，所以原命题 的否命题是假命题；逆否命题是真命题．故选 B.
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【跟踪训练 5】已知集合 A＝{x|x＞5}，集合 B＝{x|x＞a}， 若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 (－∞，5) .
35 第三十五页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：因为命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条 件，所以 A B，故 a＜5.
5 第五页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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2.下列四个命题中，正确的是( D ) A．{0}∈R B．2 11≤{x|x≤3 5} C．2 11∉{x|x≤3 5} D．{2 11}⊆{x|x≤3 5}
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6 第六页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：A 中，集合{0}与 R 之间的关系是“⊆”，所以 选项 A 错误；B 中，元素 2 11与集合{x|x≤3 5}之间的关系 是“∈”或“∉”，所以选项 B 错误；C 中，2 11＝ 44， 3 5＝ 45，所以 2 11＜3 5，即 2 11∈{x|x≤3 5}，所以 选项 C 错误；D 中，因为 2 11＜3 5，所以集合{2 11}⊆ {x|x≤3 5}．所以选项 D 正确．
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4.给定下列命题： ①若 k＞0，则方程 x2＋2x－k＝0 有实数根；
②若 x＋y≠8，则 x≠2 或 y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若 xy＝0，则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题．
其中真命题的序号是
.
10 第十页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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解析：①因为 Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命 题；
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【解答过程】若 f(x)是奇函数，则 f(－x)＝－f(x)，即－ x|x－a|＋b＝－x|x＋a|－b 恒成立，亦即 x(|x－a|－|x＋a|)＝2b 恒成立，要使上式恒成立，只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，即 a ＝b＝0，故函数 f(x)＝x|x＋a|＋b 是奇函数的充要条件是 a＝ b＝0，故选 C.
答案： D
17 第十七页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【温馨提示】 (1)熟悉四种命题的概念是判断四种命题 真假的关键；(2)当判断一个命题的真假时，若命题简单可 直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断；(3)正确 的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例， 这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向， 有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
28 第二十八页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【跟踪训练 4】(2013·天津)设 a，b∈R，则“(a－b)a2<0” 是“a<b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
29 第二十九页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
7 第七页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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3. 若非空集合 A、B、C 满足 A∪B＝C，且 B 不是 A 的 子集，则下列说法中正确的是 ② (填序号)．
①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件； ②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件； ③“x∈C”是“x∈A”的充要条件； ④ “x ∈ C” 既 不 是 “x ∈ A” 的 充 分 条 件 也 不 是 “x ∈ A”的必要条件．
答案：C
33 第三十三页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【温馨提示】对于结论中含有参数问题，可先将其转 化为最简形式，利用充分条件、必要条件或充要条件揭示 命题和结论之间的从属关系，借助于 Venn 图或数轴的直观 性列方程或不等式，即可求出参数的值或取值范围．
34 第三十四页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
16 第十六页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【解答过程】 (1)原命题的逆命题是：若 x，y 互为倒数， 则 xy＝1，根据倒数的定义，是真命题；(2)原命题的否命题 是：面积不相等的三角形不全等，是真命题；(3)原命题的逆 否命题是：方程 x2－2x＋m＝0 没有实数解，则 m＞1，因为 Δ＝4－4m＜0⇒m＞1，所以是真命题；(4)因为 A∩B＝A，则 A⊆B 是真命题，所以它的逆否命题是真命题．
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解析：四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，如果四 边形 ABCD 为菱形，那么菱形的对角线垂直，即“四边形 ABCD 为菱形⇒AC⊥BD”，但是“AC⊥BD”推不出“四边 形 ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形等，所以四 边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为 菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选 A.
23 第二十三页，编辑于星期日：十八点 四十六分。
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【思路点拨】当命题 p 成立时，利用两直线平行，斜率相 等，能推出 q 成立；当 q 成立时，利用斜率相等，在纵轴 上的截距不相等，能推出命题 p 成立．故 p 是 q 的充要条 件．
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