2019中考数学第一轮复习 第3章第13讲 二次函数的应用(共40张PPT)

变式运用►1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对 称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与 x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和 抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M 到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动 点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第三章 函数及其图象 第13讲 二次函数的应用
考点梳理 考点 二次函数的应用
最值问题
根据实际意义列出二次函数关系式，并利用 二次函数求解实际生活中的最值问题
函数问题 几何问题
与方程(组)、其他函数及不等式的综合，涉 及二次函数与方程(组)及不等式的关系，需 综合应用各个数学工具，解决实际问题
与几何图形的综合，需要综合应用几何图形 的有关性质、图形变换的规律及动点问题的 处理方法
∵B(0， 3)，O(0，0)，
3 ∴直线 l 的表达式为 y＝ 2 .将其代入抛物线的表达式，
得－ 33x2＋2 3 3x＋ 3＝ 23，
10
10
解得 x1＝1＋ 2 ，x2＝1－ 2 .
10 3
10 3
∴P1(1－ 2 ， 2 )或 P2(1＋ 2 ， 2 )．
(3)如图 3，作 MH⊥x 轴于点 H.设 M(xm，ym)，
是(x，0)．
∴MN＝PN－PM
＝－54x2－147x＋1－(－12x＋1)
＝－54x2－145x
＝－54(x＋32)2＋4156，
3
45
∴当 x＝－2时，MN 的最大值为16.
1
1
S△ABC＝2AB·OC＝2×6×4＝12.
∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC.
∴SS△△BBAPCE＝(BBPA)2，即S1△2BPE＝(2－6 x)2. ∴S△BPE＝13(2－x)2.
1 又∵S△BCP＝2(2－x)×4＝2(2－x)， ∴S△CPE＝S△BCP－S△BPE＝2(2－x)－13(2－x)2＝－13x2－23x＋83＝－13(x＋1)2＋
典型例题运用
类型1 二次函数的综合应用
【例1】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x 轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标； (3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A， B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符 合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图 1，连接 BC.
∵BC＝2，OC＝1，
∴OB＝ 4－1＝ 3.
∴B(0， 3)．
将 A(3，0)，B(0， 3)代入二次函数的表达式，
－ 得
33×9＋3b＋c＝0，解得b＝2
3
3 ，
c＝ 3，
c＋ 3.
(2)存在．
如图 2，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P1，P2.
3
技法点拨► (1)在成本核算、市场经营、商品销售、消费购买等商 业行为中，建立起相关数量之间的二次函数模型，并根据二次函 数的性质解决利润最大化、成本最小化、优选购买方案等问 题．(2)借助现实生活常见的几何图形中蕴含的相关公式，建立二 次函数关系式，进而利用函数性质解决图形面积、周长、线段长 度等问题．(3)二次函数在经济生活领域以外有着广泛的应用，其 解题策略一般是先确定二次函数关系式，再利用函数性质解决实 际问题．
真题全练 命题点 二次函数的综合题
1．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半
轴交于点B，点C的坐标为(1，0)．若抛物线y＝－ 3 x2＋bx＋c
过A，B两点．
3
(1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO＝∠POB？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点，△MAB的面积 为S，求S的最大(小)值．
(2)设直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点为 M，则此时 MA＋MC 的值最小． 把 x＝－1 代入直线 y＝x＋3，得 y＝2， ∴M(－1，2)． ∴当 M 的坐标为(－1，2)时，点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最 小．
(3)如图所示，设 P(－1，t)，
又∵B(－3，0)，C(0，3)，
得 t＝4；
③若点 P 为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即 4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解
3＋ 17
3－ 17
得 t1＝ 2 ，t2＝ 2 ；
综上所述 P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋2 17) 或(－1，
3－ 17 2 )．
类型2 二次函数的实际应用
【例2】 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽， 小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了 一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水 平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
解 ： (1) 把 点
C(0 ， － 4) ， B(2 ， 0) 分 别 代 入
y
＝
1 2
x2
＋
bx
＋
c
中，得
c12＝×－22＋4，2b＋c＝0，解得bc＝＝1－，4.
∴该抛物线的解析式为 y＝12x2＋x－4.
(2)设 P 点坐标为(x，0)，则 BP＝2－x，
由12x2＋x－4＝0，解得 x1＝2，x2＝－4.∴A 点坐标为(－4，0)．
变式运用►2. 端午节前夕，三位同学到某超市调研一 种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提 供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．(价格取正整 数)
解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410－10(x－ 100)＝1410－10x， 由题意，得y＝(x－80)(1410－10x)＝－10x2＋2210x－112800.
1
1
1
则 S△MAB＝S 梯形 MBOH＋S△MHA－S△OAB＝2(MH＋OB)·OH＋2HA·MH－2OA·OB
1
1
1
＝2(ym＋ 3)xm＋2(3－xm)ym－2×3× 3
333 ＝ 2 xm＋2ym－2 3.
∵ym＝－
33xm2＋2
3
3 xm＋
3，
∴S△MAB＝
33 2 xm＋2(－
33x2m＋2
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，4)，且与直线 y＝－ 1 x＋1相交于A，B两点(如图)，A点在y轴上，过点B作
2
BC⊥x轴，垂足为点C(－3，0)．
(1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴， 垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； (3)在(2)的条件下，点N在何位置时，BM与NC互相垂直平分？并 求出所有满足条件的N点的坐标．
技法点拨►(1)对于存在性问题要注意灵活运用数形结合思想，可 先假设存在，然后再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符 合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出 的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在．(2)对动点 问题通常利用数形结合、分类和转化思想，借助图形，切实把握 图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然 后根据题意建立方程模型或者函数模型求解．(3)对于特殊图形判 断题首先把握特殊图形的特点，如等腰三角形按三边分别为底边 进行分类；直角三角形按三个内角分别为直角进行分类，再代入 函数关系式中，利用方程思想来求解．
【思路分析】(1)待定系数法即可得到结论；(2)连接AC，作 BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F(－1， －3)，设D(0，m)，则OD＝|m|即可得到结论；(3)设M(a，a2－2a－ 3)，N(1，n)，①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作 ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE ＝AF＝3，ME＝BF＝3，得到M(4，5)或(－2，11)；②以AB为对角 线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到 结论．
3.
∴x＝－1 时，S△CPE 的面积为最大值是 3.
(3)①△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：①当 MO＝MD 时，如图 1， 过 M 作 MN⊥OD，垂足为点 N，则点 N 为 OD 的中点． ∴ON＝DN＝1. 又∵∠OAC＝45°， ∴NM＝NA＝3. ∴点 M 的坐标为(－1，－3)．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解 析式； (2)求出水柱的最大高度的多少？
【思路分析】(1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所 在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物 线的解析式为y＝a(x－1)2＋h，代入(0，2)和(3，0)得出方程组， 解方程组即可；(2)求出当x＝1时，y＝ 8 即可．
3
3 xm＋
3 3)－2
3
＝－ 23xm2＋32 3xm
＝－ 23(xm－32)2＋98 3.
3
9
∴当 xm＝2时，S△MAB 取得最大值，最大值为8 3.
2．如图，抛物线y＝1 x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，－4)，与x轴 交于点A，B，且B点2的坐标为(2，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP， 求△PCE面积的最大值； (3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角 形，求M点的坐标．
－2ba＝－1， 解：(1)由题意，得 a＋b＋c＝0，
c＝3，
a＝－1， 解得b＝－2，
c＝3.
∴抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为 x＝－1，且抛物线经过 A(1，0)，∴B(－3，0)． 把 B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线 y＝mx＋n，得－ n＝3m3＋ ，n＝0， 解得 m＝1， n＝3. ∴直线 y＝mx＋n 的解析式为 y＝x＋3.
解：(1)由题意可知 A(0，1)，B(－3，52)，
∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A，B 及点(－1，4)，
∴c9＝a－13，b＋c＝52， a－b＋c＝4. a＝－54，
解得bc＝＝－1.147，
∴二次函数的表达式为 y＝－54x2－147x＋1.
(2)设 N(x，－54x2－147x＋1)，则 M 点的坐标是(x，－12x＋1)，P 点坐标
∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，
PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若点 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即 18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解
得 t＝－2；
②若点 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即 18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解
当 y＝8580 时，－10x2＋2210x－112800＝8580，整理，得 x2－221x＋12138 ＝0，解得 x＝102 或 x＝119. ∵当 x＝102 时，销量为 1410－1020＝390(盒)；当 x＝119 时，销量为 1410－1190＝220(盒)， ∴若要达到 8580 元的利润，且薄利多销． ∴此时的定价应为 102 元． 小杰：y＝－10x2＋2210x－112800 ＝－10(x－2221)2＋186205， ∵价格取整数，即 x 为整数，∴当 x＝110 或 x＝111 时，y 取得最大值， 最大值为 9300. ∴8580 元的销售利润不是最多，当定价为 110 元或 111 元时，销售利润 最大，最大销售利润为 9300 元．
②当 DM＝DO 时，如图 2 所示．DO＝DM＝DA＝2. ∴∠OAC＝∠AMD＝45°. ∴∠ADM＝90°. ∴点 M 的坐标为(－2，－2)．
③当 OM＝OD 时， ∵△OAC 为等腰直角三角形，
2 ∴点 O 到 AC 的距离为 2 ×4＝2 2，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离 为 2 2. ∵2 2>2， ∴OD＝OM 的情况不存在． 综上所述，点 M 的坐标为(－1，－3)或(－2，－2)．