高三数学9月诊断考试试题理(2021学年)

甘肃省民乐县２018届高三数学9月诊断考试试题理
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甘肃省民乐县２018届高三数学9月诊断考试试题 理
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

1．已知集合(){,|,,}x A x y y e x N y N ==∈∈, ()2{,|1,,}B x y y x x N y N ==-+∈∈，则A B ⋂=（ )
A. ()0,1
B. {}0,1 Ｃ． (){}0,1 Ｄ． φ
2．已知i 是虚数单位,若
172i
a bi i
+=+-（a , b R ∈）,则ab ＝（ ) Ａ。

15- B ． 3 C 。

15 D ． 3- ３.下列四个命题: 其中正确命题的个数是（ )
①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠,则2320x x -+≠"； ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件; ③若原命题为真命题,则原命题的否命题一定为假命题；
④对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<.则:p x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥； A 。

4个 B 。

３个 C 。

2个 Ｄ。

1个 4．已知,x y 满足221
{1 0
x y x y y +≤+≥-≤，则z x y =-的取值范围是 ( ）
Ａ. -2,1⎡⎤⎣⎦ B 。

[]-1,1 C. -2,2⎡⎤⎣⎦ Ｄ。

-1,2⎡⎤⎣⎦
5.已知0>x ,0>y ，且xy y x =+4，则y x +的最小值为( ) A. 8 B 。

9 C. 1２ D. 1６ ６．设n S 等差数列{}n a 的前n 项和,若3531=++a a a ，则=5S （ )
A. Ｂ. C. D 。

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
Ａ． 43 B.
23 C ． 8
3
D. 4 8.曲线y =1+24x +与直线y =k （x -2）＋4有两个交点,则实数ｋ的取值范围是( ) A 。

(0,
125） B. (125,＋∞） C 。

（125,143］ Ｄ． (3
1，4
3
] ９.已知奇函数()f x 在R 上是增函数,若21log 5a f ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭, ()2log 4.1b f =, ()0.82c f =，则,,a b c
的大小关系为（ )
A 。

a b c << Ｂ。

b a c << Ｃ。

c b a << D 。

c a b <<
10.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2
π
，若将函数()y f x =的图象向左平移6
π
个单位得到函数()y g x =的图象,则在下列区间中使()y g x =是减函数的是( ）
A ． ,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭
B 。

,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ Ｃ。

03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
， D ． ,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
11.设F 为双曲线C ： 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C 的
左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =, 60PQF ∠=,则该双曲线的离心率为（ ）
A 。

B 。

1 C. 2 D ． 4+1２.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]3,5x ∈时, ()24f x x =--，则下列不等式一定不成立的是( )
A. cos sin 66f f ππ⎛
⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ Ｂ． ()()sin1cos1f f <
C 。

22cos
sin 33f f ππ⎛
⎫⎛⎫
> ⎪
⎪
⎝
⎭⎝
⎭
D. ()()sin2cos2f f <
二、填空题（每小题5分,共20分)
13.计算
20
sin x dx π
=⎰＿____＿＿___.
１4．已知平面内三个不共线的向量a ,b ,c 两两夹角相等，且1==b a ，3=c ,则=++c b a ____＿_＿＿_＿.
15.已知三棱锥P ABC -中,ABC ∆为等边三角形,PAC ∆为直角三角形,
90,30PAC PCA ∠=︒∠=︒，平面PAC ⊥平面ABC 。

若3AB =,则三棱锥P ABC -外接球的表面积
为__________．
1６.已知数列{}n a 满足()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅,且113
a =，则数列{}n a 的通项公式n a =_________＿. 三、解答题（共70分）
17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-。

(1）求角B 的大小; (2)若4b =, ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长. 18.已知数列{}n a 中， 15a =且1221(2n n n a a n -=+-≥且*)n N ∈。

（１)证明:数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列;
（2）求数列{}1n a -的前n 项和n S 。

19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中,已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===，160B BC ∠=。

(1）证明: 1B C AB ⊥; (2)已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45,求
1
BE
BB 的值. 20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点13,2E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，且离心率为32.
(1）求椭圆Γ的方程；
(2)直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ,且与椭圆Γ相交于不同的两点A , B ，求AB 的最大值。

21.设函数()ln m
f x x x
=+
， m R ∈。

（１)当m e = (e 为自然对数的底数)时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2)讨论函数()()'3
x g x f x =-的零点的个数； （３)若对任意0b a >>，
()()1f b f a b a
-<-恒成立,求实数m 的取值范围。

请考生在22、23两题中任选一题作答.若多做，按第一题给分
22.在直角坐标系xOy 中,以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的
参数方程为12{
312
x t y t
=
=+ (t 为参数),曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点,与y 轴交于点P ．
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （2)求
11PA PB
+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-+-。

(1）求不等式()3f x ≥的解集； (2）若()11
(,0)f x m n m n
≥
+>对任意x R ∈恒成立,求m n +的最小值。

ﻬ２017—2018学年高三９月诊断考试试题
数学（理） 参考答案
1-12 CDBD ＢＡBC C ＤB Ａ
13。

4 14. ２ 15. 15π 1６．
1
2n + 1７.解析:（１)∵()()cos 2cos b A c a B π=+-, ∴()()cos 2cos b A c a B =+-,
由正弦定理可得： ()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--, ∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．
又角C 为ΔABC 内角, sin 0C >,∴1cos 2
B =- 又()0,πB ∈，∴2π3
B =
（2）有Δ1sin 32
ABC S ac B ==，得4ac =
又()2
22216b a c ac a c ac =++=+-=,∴25a c +=， 所以ΔABC 的周长为425+． 18．解析:（1）设1151
,222
n n n a b b --=
== ()11111111
21222
n n n n n n n n n a a b b a a +++++--⎡⎤-=-=-+⎣⎦=()11121112n n ++⎡⎤-+=⎣⎦ 所以数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
为首项是2公差是１的等差数列. (2)由(１）知,
()11111,22
n n
a a n --=+-⨯ ()121n
n a n ∴=+⋅+
① ②
②—①，得。

1９解:(1)证明:在1BCB ∆中, 111,2,60BC BB B BC ==∠=,则22112212?cos603B C =+-⨯⨯=,于是22211BC B C BB +=，故1B C BC ⊥。

所以AC ⊥平面11BCC B ,于是1AC B C ⊥,又BC AC C ⋂=，故1B C ⊥平面ABC ,所以1B C AB ⊥.
（2）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -,则()(
)
()()10,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1C B B A ，
由11BB CC =,得(
)
1
3,1,0
C -，设()101BE BB λλ=≤≤,则()
3,1,0
E
λλ-，于是
(
)(
)13,1,1,3,1,1AE AC λλ=
--=
--,求得平面1AEC 的一个法向量为(
)
2,33,3n λλ=---，
取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，则
()
()2
2
2·3
3cos45·41010
2313
m n m n
λλλλ=
=
=
-+-+-+，解得1
2
λ=或2λ=(舍）,
所以
1
BE
BB 的值为12。

20．【解析】试题分析:（Ⅰ)由已知列式2231
14a b
+=， 2232a b a -=
， 可得椭圆方程。

(Ⅱ）由直线l 与圆22
:1O x y +=相切，得
211
m k =+，即221m k =+,
再由y kx m =+代入22
14x y +=,联立结合韦达定理可得2222
144114k m AB k k
+-=++ 22
431
14k
k k
+=
+利用均值不等式求最值即可。

试题解析:(Ⅰ）由已知可得2231
14a b +=， 2232a b a -=
，解得2a =， 1b =, 所以椭圆Γ的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O : 221x y +=相切, 可知直线l 的方程为1x =±，易求3AB =。

当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y kx m =+,
由直线l 与圆22:1O x y +=相切，得
211
m k =+，即221m k =+,
将y kx m =+代入2
214
x y +=,整理得()
222148440k x kmx m +++-=,
设()11,A x y , ()22,B x y ,则122814km
x x k -+=+, 2122
4414m x x k
-=+, ()
2
22
121212114AB k x x k x x x x =+-=++-
2
2
222
2
222
8161614141141414km m k m k k k k k --+-⎛⎫=+-=+ ⎪+++⎝⎭
， 又因为221m k =+, 所以(
)2222
2
231431
21414k k k
k AB k k +++=
≤
=++，
当且仅当231k k =+，即2
2
k =±时等号成立, 综上所述, AB 的最大值为2.
２1解析:（1）当m e =时， ()ln e f x x x =+，所以()221e x e
f x x x x
='-=
-, ()11k f e ='=- ，切点坐标为()1,e 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1210e x y e --+-=． （２)因为函数()()()21033x m x g x f x x x x -
=--'=>令()0g x =,得()31
03
m x x x =-+>，设()()31
03
h x x x x =-+>所以()()()2111h x x x x =-+=--+',当()0,1x ∈时, ()0h x '>，此时()h x 在
()0,1上为增函数；当()1,x ∈+∞时， ()0h x '<,此时()h x 在()1,+∞上为减函数,所以当1x =时，
()h x 取极大值()12113
3
h =-+=
, 令()0h x =,即3103
x x -+=，解得0x =或3x =,由函数()h x 的图像知:
当2
3m >
时，函数y m =和函数()y h x =无交点； 当2
3
m =时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点；
当2
03
m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；
④当0m ≤时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点。

综上所述,当2
3
m >时,函数()g x 无零点; 当2
3
m =
或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点 当2
03
m <<时，函数()g x 有两个零点
(3)对任意()()0,1f b f a b a b a
->><-恒成立,等价于()()f b b f a a -<-恒成立,设
()()()ln 0m x f x x x x x x ϕ=-=+
->则()x ϕ在()0,+∞上单调递减,所以()2110m
x x x
ϕ=-'-≤在()0,+∞上恒成立，所以2
21124m x x x ⎛⎫≥-+=--+ ⎪⎝
⎭在()0,+∞上恒成立,因为2
10,4x x x >-+≤，所以14m ≥
,当且仅当12x =时， 1
4
m =, 所以实数
的取值范围1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭。

22．解:(１)消去参数t ,把直线l 的参数方程1
2
{ 3
12
x t
y t
==+ (t 为参数)化为普通方程得
310x y -+=，
曲线C 的极坐标方程=22sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭可化为2
2sin 2cos ρρθρθ++， ∴曲线C 的直角坐标方程是2222x y y x +=+, 即()()2
2
112x y -+-=.
(2）∵直线l 与曲线C 交于,A B 两点,与y 轴交于点P ,
把直线l 的参数方程1
2
{ 3
12
x t
y t
==+ (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程()()22112x y -+-=，
得210t t --=, ∴12121,1t t t t +==-.
依据参数t 的几何意义得
()
2
1212121212
1111
4t t t t t t PA PB t t t t -+=+==+- ()21415=-⨯-=
2３.（试题解析:（()13321
{1(2) 2
33(2)
x x f x x x x x ⎛
⎫-+≤ ⎪
⎝⎭=+<≤->
()3f x ≥1
{ 2
333
x x ≤
∴-+≥12
{ 213x x <≤+≥2{
333
x x >-≥解得|0x ≤或2x ≥
()3f x ≥的解集为{|0x x ≤或2}x ≥.
(2）由图知()min 3
113,22f x m n =∴
+≤.32
m n mn +∴≤, 即2
33222m n m n mn +⎛⎫
+≤≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =时等号成立,
,0m n >，解得8
3m n +≥，当且仅当m n =时等号成立
故m n +的最小值为8
3。

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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富，科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。

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