2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：选修4-4 第1节 坐标系

第一节 坐标系 结束
第一节
坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：xy′′＝＝
λ·x ，λ＞0， μ·y ，μ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，
称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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第一节 坐标系 结束
1．在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时，易忽视判断 点所在的象限(即角 θ 的终边的位置)．
2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈ Z)表示同一点的坐标．
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第一节 坐标系 结束
[课堂练通考点]
1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos
θ与直线θ＝
π 4
(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
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第一节 坐标系 结束
[试一试] 1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，求点 P 的极坐标．
解：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2， 且 OP 与 x 轴所成的角为－π3，所以点 P 的极坐标为2，－π3. 2．求极坐标方程 ρ＝sin θ＋2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程．
(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为 2 2.
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第一节 坐标系 结束
在本例(1)的条件下，求曲线 C 与曲线 C1：ρcos θ ＝3(ρ≥0,0≤θ<π2)交点的极坐标. 解：由曲线 C，C1 极坐标方程联立ρρc＝os4cθo＝s θ3，，
一不可． 2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤
(1)运用 ρ＝ x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0) (2)在[0,2π)内由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，由直角坐标的符 号特征判断点所在的象限．
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第一节 坐标系 结束
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[典例] (2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，
以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C1 的极坐标方程为 3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．
(1)求曲线 C1 的直角坐标方程；
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第一节 坐标系 结束
(2)极坐标： 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的 距离|OM| 叫做点 M 的极径，记为 ρ ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 _x_O_M__叫做点 M 的极角，记为 θ .有序数对 (ρ，θ)叫做点 M 的 极坐标，记为 M(ρ，θ) . 一般地，不做特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意 _实__数__.
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第一节 坐标系 结束
[解] (1)曲线 C1 的方程可化为 3(x2＋y2)＝12x－10， 即(x－2)2＋y2＝23. (2)依题意可设 Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆 C1 的圆心坐标 为 C1(2,0)． 故|QC1|＝ 4cos θ－22＋4sin2θ ＝ 12cos2θ－16cos θ＋8
∴cos2θ＝34，cos θ＝± 23，又 ρ≥0，θ∈[0，π2)．
∴cos θ＝ 23，θ＝π6，ρ＝2
3，故交点极坐标为2
3，π6.
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第一节 坐标系 结束
[类题通法] 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
＝2
3cos
θ－232＋23，
|QC1|min＝2 3 6，所以|PQ|min＝
6 3.
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[类题通法] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化 公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情 境进行．
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第一节 坐标系 结束
3．极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极
坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下
表： 点M 直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化
公式
x＝ ρcos θ y＝_ρ_s_i_n_θ__
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第一节 坐标系 结束
[解] (1)由已知得，曲线 C 的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
即 x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是 ρ＝4cos θ.
(2)由题意知，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0，
由
x2＋y2－4x＝0， x＋y＝4，
得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为
代入 y＝sin x 得 y′＝3sin 2x′.
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2．求函数 y＝sin(2x＋π4)经伸缩变换yx′′＝＝122yx， 后的解析式．
x′＝2x， 解：由y′＝12y，
得x＝12x′， y＝2y′.
①
将①代入 y＝sin(2x＋π4)，得 2y′＝sin(2·12x′＋π4)，
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第一节 坐标系 结束
1. (2014·佛 山 模 拟 ) 设 平 面 上 的 伸 缩 变 换 的 坐 标 表 达 式 为
x′＝12x， 求在这一坐标变换下正弦曲线 y＝sin x 的方程． y′＝3y，
解：∵x′＝12x， y′＝3y，
x＝2x′， ∴y＝13y′.
代入 x2－6y42 ＝1 得x′9 2－4y6′4 2＝1，化简得x′9 2－
y1′6 2＝1， 即x92－1y62 ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(－
5,0)，F2(5,0)为所求．
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第一节 坐标系 结束
[类题通法] 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩 变换xy′′＝＝μλ··xy，，λμ>>00 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变 成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也 可以变成圆．
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第二十三页，编辑于星期五：九点 四十三分。
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[针对训练] (2013·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆 ρ＝6cos θ 的圆心，且垂 直于极轴的直线的极坐标方程． 解：ρ＝6cos θ 在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为 3 的 圆．过圆心且垂直于 x 轴的直线方程为 x＝3，其在极坐标系下 的方程为 ρcos θ＝3.
θ＝__π_＋__α_____ (ρ≥0)
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第一节 坐标系 结束
曲线
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
过点a，
直线
π 2
，与极轴平行的
图形
极坐标方程
ρ_c_o_s_θ_＝__a___ __－__π2_＜__θ_＜__π2_
ρ_s_in__θ_＝__a___ (_0_＜__θ_＜__π_)___
[练一练] 1．在极坐标系中，求圆心在( 2，π)且过极点的圆的方程．
解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－ 90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得ρ＝－2 2cos θ.
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第十页，编辑于星期五：九点 四十三分。
第一节 坐标系 结束
2．已知直线的极坐标方程为 ρsin (θ＋π4)＝ 22，求极点到该直 线的距离．
极坐标方程
ρ_＝__r(_0_≤_θ_＜__2π__) _____
ρ_＝__2_r_c_os_θ____ _－__π2_≤__θ_≤___π2 __ρ_＝__2_r_s_in__θ____ (_0_≤_θ_＜__π_)____
(1)θ_＝__α_(_ρ_∈__R_)_____ 或θ_＝___π_＋_____ _α_(_ρ_∈_R__) ___ (2)θ＝α(ρ≥0)和
正半轴为极轴)中，直线 l 的方程为ρsin(θ＋π)＝2 2. 4
(1)求曲线 C 在极坐标系中的方程；
(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
(1)点拨：将曲线C的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方
程. (2)点拨：将直线l的方程化为直角坐标方程，求出交点坐标
进而求出弦长.
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ρ2＝__x_2＋__y_2_
tan
θ＝_xy__x_≠_0__
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4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为r的圆
圆心为(r,0)，半径为r的圆
为r的圆圆心为r，
π 2
，半径
过极点，倾斜角为α的直线
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第一节 坐标系 结束
2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个 角度 单 位(通常取 弧度 )及其正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立 了一个极坐标系．
(2)曲线
C2
的方程为 x2 ＋y2＝1，设 16 4
P，Q
分别为曲线
C1 与曲线 C2 上的任意一点，求|PQ|的最小值．
(1)想一想：极坐标与直角坐标互化公式是什么？
(2)点拨：欲求|PQ|的最小值，可将问题转化为求椭 圆上的点Q到圆心的距离的最小值，为此可设出Q点 的极坐标，利用三角函数求最值.
解：由 ρ＝sin θ＋2cos θ，得 ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x2＋y2－2x－y＝0.故极坐标方程 ρ＝sin θ＋2cos θ 表 示的曲线直角坐标方程为 x2＋y2－2x－y＝0.
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末页Biblioteka 第八页，编辑于星期五：九点 四十三分。
第一节 坐标系 结束
1．确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺
解：极点的直角坐标为
O(0,0)
，
ρsin(θ
＋
π 4
)
＝
ρ
2 sin＋
2
2 2
cos
＝
22，∴ρsin
θ＋ρcos
θ＝1，化为直角
坐标方程为 x＋y－1＝0.∴点 O(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距
离为
d＝
1＝ 2
22，即极点到直线
ρsinθ＋π4＝
22的距离为
2 2.
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第一节 坐标系 结束
[针对训练] (2013·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线 ρcos θ－ρsin θ＋1＝ 0 与圆 ρ＝2sin θ 的位置关系． 解：直线 ρcos θ－ρsin θ＋1＝0 可化成 x－y＋1＝0，圆 ρ＝2sin θ 可化为 x2＋y2＝2y，即 x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线 x－y ＋1＝0 的距离 d＝|0－12＋1|＝0<1.故直线与圆相交．
即 y′＝12sin(x′＋π4)．
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第十三页，编辑于星期五：九点 四十三分。
第一节 坐标系 结束
3．求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y′＝＝3yx， 变换后所得曲 线 C′的焦点坐标． 解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由上述可知，将
x＝13x′， y＝2y′，
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第十九页，编辑于星期五：九点 四十三分。
第一节 坐标系 结束
[典例] (2013·郑州模拟)已知在直角坐标系 xOy 中，曲线
C
的参数方程为
x＝2＋2cos y＝2sin θ
θ，
(θ为参数)，在极坐标系(与直
角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴