数学新高考第1节 计数原理与排列、组合
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计数原理与排列、组合
《高考特训营》 ·数学 返 回
【易错点拨】分类、分步时标准不清致误．
(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则
不同的排法共有( B )
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
解析：第 1 类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第 2 类：
乙在最左端，甲不在最右端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共
有 120＋96＝216(种)排法．
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计数原理与排列、组合
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【易错点拨】忽略特殊元素优先考虑致误．
2．[教材改编]现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有
公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
202计2届数原理与排列、组合
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第1节 计数原理与排列、组合
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计数原理与排列、组合
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课标要求
命题方向
1.通过实例，了解分类加法 1.两个计数原理
计数原理、分步乘法计数原 2.两个原理的综合应用
理及其意义；
3.排列及其应用
2.通过实例，理解排列、组 4.组合及其应用
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计数原理与排列、组合
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1．[概念辨析]两个计数原理的联系与区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
每类方法都能独立完成这件事， 每一步得到的都是中间结果，任
区别一
它是独立的、一次的，且每次得 何一步都不能独立完成这件事， 到的是最终结果，只需一种方法 只有各个步骤都完成了才能完成
公式 性质
排列数
Amn ＝n(n－1)(n－2)· …·(n－m＋1)＝
n！ （n－m）！
Ann＝___n_！____， 0！＝____1____
组合数 Cmn ＝AAmmnm＝ n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）
m！ ＝m！（nn！－m）！ Cmn ＝Cnn－m，Cmn ＋Cnm－1＝Cmn＋1， Cnn＝1，C0n＝1
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计数原理与排列、组合
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1．[易错诊断](1)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重 复数字的三位数，其中奇数的个数为________． 答案：18 解析：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选 择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3 种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据 分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．
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计数原理与排列、组合
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[探究] 排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如 何选择使用？
点拨：(1)排列数与组合数之间的联系为 Cmn Amm＝Amn (m≤n)． (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式． 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
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3．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
定义
从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 __不__同__排__列___的个数
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有__不__同__组__合___的个数
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计数原理与排列、组合
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合的概念； 5.排列、组合的综合应
3. 能 利 用 计 数 原 理 推 导 排 列 用
数公式、组合数公式
数学素养 数据分析、逻辑推理 数学抽象、数学建模 数学抽象、数学运算 数学抽象、数学运算
数学抽象、数学建模
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计数原理与排列、组合
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01 02
知识特训 能力特训
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计数原理与排列、组合
数原理 方法，做第2步有n种不同的方法
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计数原理与排列、组合
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[注意] 以上两个原理可以推广到多类或多步的情形． 2．排列、组合的定义
排列的定义 组合的定义
从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素
按照___一__定___的顺 序排成一列
__合__成____一组
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计数原理与排列、组合
答案：48 解析：需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块 着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法．由分步乘法计数原理知， 共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．
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计数原理与排列、组合
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就可完成这件事
Байду номын сангаас
这件事
区别二
各类方法之间是互斥的、并列的、各步之间是相互依存的，既不能
独立的
重复也不能遗漏
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计数原理与排列、组合
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2.[思想方法]排列问题与组合问题的识别方法
名称
识别方法
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列 排列
问题与选取元素顺序有关
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合 组合
问题与选取元素顺序无关
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计数原理与排列、组合
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3.[学以致用] 【例】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区， 每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 提 示 ： ∵4 名 同 学 到 3 个 小 区 参 加 垃 圾 分 类 宣 传 活 动 ， 每 名 同 学 只 去 1 个 小 区，每个小区至少安排1名同学， ∴先取 2 名同学看作一组，选法有 C24＝6(种)． 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有 A33＝6(种)． 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法有 6×6＝36(种)．故答案为 36.
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01
知识特训
知识必记 拓展链接 对点训练
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计数原理与排列、组合
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1．两个原理
名称
完成一件事的策略
完成这件事共有的方 法
有两类不同方案，在第1类方案中有m
分类加法计
N＝m＋n种不同的方
种不同的方法，在第2类方案中有n种
数原理
法
不同的方法
分步乘法计 需要两个步骤，做第1步有m种不同的 N＝m×n种不同的方法
计数原理与排列、组合
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【易错点拨】分类、分步时标准不清致误．
(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则
不同的排法共有( B )
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
解析：第 1 类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第 2 类：
乙在最左端，甲不在最右端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共
有 120＋96＝216(种)排法．
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【易错点拨】忽略特殊元素优先考虑致误．
2．[教材改编]现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有
公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
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第1节 计数原理与排列、组合
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课标要求
命题方向
1.通过实例，了解分类加法 1.两个计数原理
计数原理、分步乘法计数原 2.两个原理的综合应用
理及其意义；
3.排列及其应用
2.通过实例，理解排列、组 4.组合及其应用
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计数原理与排列、组合
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1．[概念辨析]两个计数原理的联系与区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
每类方法都能独立完成这件事， 每一步得到的都是中间结果，任
区别一
它是独立的、一次的，且每次得 何一步都不能独立完成这件事， 到的是最终结果，只需一种方法 只有各个步骤都完成了才能完成
公式 性质
排列数
Amn ＝n(n－1)(n－2)· …·(n－m＋1)＝
n！ （n－m）！
Ann＝___n_！____， 0！＝____1____
组合数 Cmn ＝AAmmnm＝ n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）
m！ ＝m！（nn！－m）！ Cmn ＝Cnn－m，Cmn ＋Cnm－1＝Cmn＋1， Cnn＝1，C0n＝1
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1．[易错诊断](1)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重 复数字的三位数，其中奇数的个数为________． 答案：18 解析：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选 择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3 种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据 分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．
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[探究] 排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如 何选择使用？
点拨：(1)排列数与组合数之间的联系为 Cmn Amm＝Amn (m≤n)． (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式． 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
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3．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
定义
从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 __不__同__排__列___的个数
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有__不__同__组__合___的个数
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合的概念； 5.排列、组合的综合应
3. 能 利 用 计 数 原 理 推 导 排 列 用
数公式、组合数公式
数学素养 数据分析、逻辑推理 数学抽象、数学建模 数学抽象、数学运算 数学抽象、数学运算
数学抽象、数学建模
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知识特训 能力特训
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数原理 方法，做第2步有n种不同的方法
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[注意] 以上两个原理可以推广到多类或多步的情形． 2．排列、组合的定义
排列的定义 组合的定义
从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素
按照___一__定___的顺 序排成一列
__合__成____一组
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答案：48 解析：需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块 着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法．由分步乘法计数原理知， 共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．
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就可完成这件事
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这件事
区别二
各类方法之间是互斥的、并列的、各步之间是相互依存的，既不能
独立的
重复也不能遗漏
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计数原理与排列、组合
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2.[思想方法]排列问题与组合问题的识别方法
名称
识别方法
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列 排列
问题与选取元素顺序有关
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合 组合
问题与选取元素顺序无关
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计数原理与排列、组合
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3.[学以致用] 【例】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区， 每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 提 示 ： ∵4 名 同 学 到 3 个 小 区 参 加 垃 圾 分 类 宣 传 活 动 ， 每 名 同 学 只 去 1 个 小 区，每个小区至少安排1名同学， ∴先取 2 名同学看作一组，选法有 C24＝6(种)． 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有 A33＝6(种)． 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法有 6×6＝36(种)．故答案为 36.
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01
知识特训
知识必记 拓展链接 对点训练
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1．两个原理
名称
完成一件事的策略
完成这件事共有的方 法
有两类不同方案，在第1类方案中有m
分类加法计
N＝m＋n种不同的方
种不同的方法，在第2类方案中有n种
数原理
法
不同的方法
分步乘法计 需要两个步骤，做第1步有m种不同的 N＝m×n种不同的方法