高中分式不等式练习题及答案

高中分式不等式练习题及答案

不等式与不等关系

1、应用不等式表示不等关系；

不等式的主要性质：

对称性：a?b?b?a 传递性：a?b,b?c?a?c

加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d

乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd

倒数法则：a?b,ab?0?11? 乘方法则：a?b?0?an?bn ab 开方法则：a?b?0?a?

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法

3、应用不等式性质证明不等式

解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：2

设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种情况22 如下表：

2、简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最

高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；根据曲线显现f的符号变化规律，写出不等式的解集。如：?x?1??x?1??x?2??03

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f?0?fg?0;g?fg?0f ?0??g?g?0

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D 上f?x?min?A

若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D 上f?x?max?B

线性规划

1、用二元一次不等式表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐

标

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

ab

1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

2．如果a,b是正数，那么a?b?ab.

2?a?b?变形：有:a+b≥2ab；ab≤??,当且仅当. ?? 3．如果a,b∈R+,a·b=P,当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2如果a,b∈R+,且a+b=S,当且仅当a=b时,ab有最大值.

注：当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：a、b、c?2?bb?mR，a2?b2?c2?ab?bc?ca；若a?b?0,m?0，则?。

不等式主要题型讲解

不等式与不等关系

题型二：比较大小

1. 设a?2，p?a?

解不等式

题型三：解不等式1，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小a?2

解不等式2?0。 .

5?x??1 x2?2x?3

2. 不等式ax2?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

3. 关于x的不等式ax?b?0的解集为，则关于x的不等式

题型四：恒成立问题 ax?b?0的解集为 x?2

4. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

5. 若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x 都成立，求m的取值范围.

6. 已知x?0,y?0且19??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy

ab

题型五：求最值

7. 求下列函数的值域

y＝3x＋ 12x 当时，求y?x的最大值。

x2?7x?108. 求y?的值域。 x?1

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?

9.

求函数y?

若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是已知x?0,y?0，且

y 已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y 的最大值.a的单调性。 x2的值域。 19??1，求x?y的最小值。xy

1 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值. ab

题型六：利用基本不等式证明不等式

10. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a

11. 已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：?

2b2c2abbcca ?1??1??1??111??ab?? c?

线性规划

题型八：目标函数求最值

2xy3012. 满足不等式组?7x?y?8?0，求目标函数k?3x?y的最大值

x,y0

13. 已知x,y满足约束条件：

x03x4y4y022xy2x的最小值是 ,则

x2y3014. 已知变量x,y满足约束条件?x?3y?3?0.若目标函数z?ax?y仅在点处取得最大值，