高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例讲义教案 新人教A版必修1

学习资料
3.2。

2 函数模型的应用实例
学
习目标核心素养
1.
会利用已知函数模型解决实际问题．（重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点）3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析的素养.
1．常用函数模型
常用函数模型
（1）一次函数模型y＝kx＋b(k,b为常数，k≠0)
（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a,b，c为常数，a≠0）
(3)指数函数模型y＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0,a>0且a≠1）
（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数,m≠0,a〉0且a≠1)
(5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型y＝错误!
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；（四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(）x 45678910
y 15171921232527
C．指数函数模型D．对数函数模型
A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A。

］2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x(年）的关系为y＝a log2（x＋1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（）
A．300只B．400只
C．600只D．700只
A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1）得，100＝a log2（1＋1），解得a＝100。

所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1）＝300.］
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0。

8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()
A．y＝0。

3x＋800（0≤x≤2 000）
B．y＝0.3x＋1 600（0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0。

3x＋1 600(0≤x≤2 000)
D[由题意知，变速车存车数为(2 000－x）辆次，则总收入y＝0。

5x＋(2 000－x)×0.8＝－0。

3x＋1 600(0≤x≤2 000）．]
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N）为二次函数关系(如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
7[设二次函数y＝a（x－6)2＋11,又过点(4,7)，
所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11。

解y≥0，得6－错误!≤x≤6＋错误!，所以有营运利润的时间为2错误!.又6<2错误!〈7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
利用已知函数模型解决实际问题
的防控,各行各业也都恢复了运营，经济效益也都有了一定的提高．如某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少?
[解](1）当每辆车的月租金为3 600元时，
未租出的车辆数为错误!＝12，所以此时租出了88辆．
（2）设每辆车的月租金为x元,
租赁公司的月收益为y＝错误!（x－150)－错误!×50，
整理得y＝－错误!＋162x－21 000＝－错误!（x－4 050)2＋307 050,
所以当x＝4 050，即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值。

［跟进训练]
1．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝错误!(t∈N＊)
设该商品的日销售量Q(件）与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t（0<t≤30,t∈N＊),求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天?
［解]设日销售金额为y(元），则y＝PQ,
所以y＝错误!（t∈N＊）
①当0〈t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当t＝10时，y max＝900（元)．
②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝（t－70)2－900，
所以当t＝25时，y max＝1 125(元）．
结合①②得y max＝1 125（元）．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
自建确定性函数模型解决实际问题
达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲
率的乘积成正比，比例系数为k（k〉0）．
（1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
思路点拨：畜养率―→空闲率―→错误!错误!
求最值
［解]（1）根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为错误!，故空闲率为1－错误!,
由此可得y＝kx错误!(0<x<m)．
(2）对原二次函数配方，得y＝－错误!（x2－mx）
＝－错误!错误!错误!＋错误!，即当x＝错误!时，y取得最大值错误!.
1．（变条件）若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
［解]根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为错误!，故空闲率为1－错误!，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比,由此可得y＝错误!(0〈x<m)．
2．（变结论）若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
[解]由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m。

因为当x＝错误!时,y max＝错误!，所以0<错误!＋错误!〈m，解得－2<k<2。

又因为k>0,所以0〈k<2。

自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么,列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务。

，设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.，列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1),（x2，y2)，（x3，y3)，…，（x n，y n)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示:常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势,结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f（x)（万件）如下表所示：
x 1234
f（x）4。

005。

587。

008。

44（1
(2)建立一个能基本反映（误差小于0。

1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年（即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30％,试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少?
思路点拨：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!→错误!
［解]（1）画出散点图，如图所示．
（2）由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b（a≠0）．由已知得错误!解得错误!
∴f（x)＝1.5x＋2。

5.
检验:f（2）＝5。

5，且｜5。

58－5。

5｜＝0。

08〈0.1，
f（4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0。

1.
∴一次函数模型f(x）＝1.5x＋2。

5能基本反映年产量的变化．
(3）根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件,又年产量减少30％，即10×70％＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤是:
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图。

(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线。

(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据。

错误!
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身
高
/cm
60708090100110120130140150160170
体
重
/kg
6。

13
7.909.9012.15
15。

02
17。

50
20。

92
26.86
31。

11
38.85
47.25
55。

05
未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1。

2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?
[解](1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征,可考虑以y＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据（70,7。

90)，（160，47.25）,代入y＝a·b x得:
错误!用计算器算得a≈2，b≈1。

02。

这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1。

02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．（2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1。

02175，由计算器算得y≈63.98。

由于78÷63。

98≈1.22〉1.2，所以，这个男生偏胖．
1．核心要点:解函数应用问题的步骤（四步八字)
(1）审题:弄清题意,分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言,利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
2．数学思想：函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．
（) (3）当不同的范围下，对应关系不同时,可以选择分段函数模型．
[答案］（1)√(2）√(3）√
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（)
A．分段函数B．二次函数
C．指数函数D．对数函数
A[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．］
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）
A．y＝0。

957 6错误!
B．y＝（0。

957 6)100x
C．y＝错误!错误!
D．y＝1－0。

042 4错误!
A[由题意可知y＝(95。

76%)错误!，即y＝0.957 6错误!。

]
4．已知A,B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
（1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始），并画出函数的图象；
（2)把车速v(km/h）表示为时间t(h）的函数，并画出函数的图象．
[解]（1）①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2。

5）．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3。

5)．
③由B地返回A地,则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5）＝325－50t（3。

5＜t≤6。

5)．
综上,s＝错误!
它的图象如图(1)所示．
（1)(2）
(2）速度v(km/h)与时间t（h）的函数关系式是v＝错误!它的图象如图（2)所示．。