圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用

内_含 ___
两圆 x2＋y2＝9 和 x2＋y2－8x＋6y＋9＝0 的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．内切
D．外切
【解析】 两圆 x2＋y2＝9 和 x2＋y2－8x＋6y＋9＝0 的圆心分别为(0,0)和(4， －3)，半径分别为 3 和 4.
所以两圆的圆心距 d＝ 42＋－32＝5. 又 4－3<5<3＋4，故两圆相交． 【答案】 B
【解析】 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程 为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即 x＋3y＝0.
【答案】 x＋3y＝0
5．已知隧道的截面是半径为 4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行 驶，一辆宽为 2.7 m、高为 2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大 宽度为 a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
(2)当 3＜|C1C2|＜5，即 3＜a＜5 时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即 a＞5 时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即 a＜3 时，两圆内含．
两圆相交 有关问 题
求圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的公共弦所在
直线被圆 C3：(x－1)2＋(y－1)2＝245所截得的弦长．
1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共 弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此 求解，否则应先调整系数．
2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公 式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦 长的一半构成的直角三角形求解．
【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建立直角坐标系(如图)， 其中取 10 km 为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线 l 的方程为7x＋4y＝1，
即 4x＋7y－28＝0.
【解】 圆 C1，C2 的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)，半径 r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即 a＝5 时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即 a＝3 时，两圆内切．
当| 50－k－1|＝5， 50－k＝6，k＝14 时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 1＋ 50－k＜5 或| 50－k－1|＞5， 即 0≤k＜14 或 34＜k＜50 时，两圆相离．
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几 个步骤：
圆心(0,0)到航线 4x＋7y－28＝0 的距离 d＝
|－42＋287| 2＝
28 ，而半径 65
r＝3，∴d
＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．
[构建·体系]
— 两圆位置关系判定 圆与圆的位置关系 —— 两圆相交问题
— 两圆相切问题
1．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系为( )
【解析】 C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2， 由题意得|C1C2|＝5， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得 m＝2 或 m＝－5. 【答案】 2 或－5
4．已知两圆 x2＋y2＝10 和(x－1)2＋(y－3)2＝20 相交于 A、B 两点，则直线 AB 的方程是________．
当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2 －2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？
【精彩点拨】
→
利用|C1C2|与|r1－r2| 和r1＋r2的关系求k
求圆C1的 半径r1
→
求圆C2的半径r2
→
求|C1C2|
【自主解答】 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5. 当 1＋ 50－k＝5，k＝34 时，两圆外切．
2.解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
[再练一题] 3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位 于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位 于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风 的影响？
探究 2 已知台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离 台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，请建立适 当的坐标系，用坐标法求 B 城市处于危险区内的时间．
【提示】 如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系． 射线 AC 为∠xAy 的平分线，则台风中心在射线 AC 上移动．
【解】 由圆 C1 的方程减去圆 C2 的方程，整理得方程 3x－4y＋6＝0，又由 于方程 3x－4y＋6＝0 是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程 3x－ 4y＋6＝0 的解．因为两点确定一条直线，故 3x－4y＋6＝0 是两圆公共弦 AB 所 在的直线方程．
∵圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， ∴圆心为 C1(－1,3)，半径 r＝3， ∴圆心 C1 到直线 AB 的距离 d ＝|－3－2152＋6|＝95， ∴|AB|＝2 r2－d2＝2 9－952＝254. ∴AB 所在的直线方程为 3x－4y＋6＝0，公共弦 AB 的长为254.
3．已知圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[再练一题] 2．已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0 相 交于 A，B 两点，求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长．
因为 A，B 两点的坐标满足 x＋y－1＝0，
所以 AB 所在直线方程为 x＋y－1＝0，
即 C1，C2 的公共弦所在直线方程为 x＋y－1＝0，
圆
C3
的圆心为(1,1)，其到直线
AB
的距离
d＝
1 ，由条件知 2
r2－d2＝245－12＝
243，
所以直线 AB 被圆 C3 截得弦长为 2× 223＝ 23.
[基础·初探] 教材整理 1 圆与圆位置关系的判定 阅读教材 P129 至 P130“练习”以上部分，完成下列问题． 1．几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置 关系的判断方法如下：
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d 与 r1、r2 _d_＞__r_1_＋__r_2 _ 的关系
AB 的垂直平分线方程为( ) A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
【解析】 所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由2y－－00＝
－x－1－11，得 x＋y－1＝0.
【答案】 A
3．(2016·福州高一检测)圆 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9 与圆 C2：(x＋1)2＋(y－ m)2＝4 外切，则 m 的值为________.
图 4-2-1
【精彩点拨】 建立适当坐标系，设出圆 O 和圆 C 的方程，利用两圆相交 求公共弦方程，证明 CD 中点在公共弦 EF 上．
【自主解答】 以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标 系．如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝ r2－a2，
∴C(a， r2－a2)，
【精彩点拨】
联立圆C1、C2的方程
―作―差→
得公共弦所 在的直线
―→
圆心C3到公共 弦的距离d
―→
圆的半径r
―→
弦长＝2
r2－d2
【自主解答】 设两圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A，B 的坐标是方程组
x2＋y2＝1， x2＋y2－2x－2y＋1＝0
的解，
两式相减得 x＋y－1＝0.
∴圆 O：x2＋y2＝r2，
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2.
两方程作差得直线 EF 的方程为
2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2.
令 x＝a，得 y＝12 r2－a2，
∴Ha，12
r2－a2，即 H 为 CD 中点，适当的坐标系， 建系时要坚持如下原则： (1)若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为 x 轴和 y 轴； (2)充分利用图形的对称性； (3)让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； (4)关键点的坐标易于求得．
则点 B 到 AC 的距离为 20 2千米，则射线 AC 被以 B 为圆心，以 30 千米为 半径的圆截得的弦长为 2 302－20 22＝20(千米)．
所以 B 城市处于危险区内的时间为 t＝2200＝1(小时)．
如图 4-2-1 所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于点 E，F，且 EF 与 CD 相交于 H. 求证：EF 平分 CD.
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰 的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[再练一题] 1．已知圆 C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆 C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2 ＝0(a＞0)．试求 a 为何值时，两圆 C1，C2 的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
D．2 米
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设蓬顶距地面高度为 h，则 A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为： x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把 A(0.8，h－3.6)代入得 0.82＋h2＝3.62，∴h＝4 0.77 ≈3.5(米)．
【答案】 B
[小组合作型]
圆与圆位 置关系 的判定
_d_＝__r_1＋__r_2_
__|r_1－__r_2_| _ _＜__d_＜__r1_＋__r_2_
_d_＝__|_r1_－__r_2_|
_0_≤__d_＜__ _|_r1_－__r_2|_
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
Δ>0⇒相交 ____
圆C1 圆C2
方 方程 程―消―元→一元二次方程ΔΔ＝ <外_切 0_0⇒_⇒__外离或 内切或___________
教材整理 2 直线与圆的方程的应用 阅读教材 P130“练习”以下至 P132“练习”以上部分，完成下列问题． 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
一辆卡车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道，则这辆卡车的
平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4 米
B．3.5 米
C．3.6 米
[探究共研型]
直线与圆 的方程 的应用
探究 1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4 表示，村外一 小路方程可用 x－y＋2＝0 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？
【提示】 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋2＝0 的距离减去圆的半径 2，即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2.
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【解析】 圆 O1 的圆心坐标为(1,0)，半径长 r1＝1；圆 O2 的圆心坐标为(0,2)， 半径长 r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝ 5＜r1＋r2＝3，即两圆相交．
【答案】 B
2．圆 x2＋y2－2x－5＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A、B，则线段