2019年高二上学期期末考试(数学理)

2019年高二上学期期末考试（数学理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上.
3．考试结束后，监考人员将试卷Ⅱ和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )
A. B.cos C.cos D.cos
3. 设，则是的（）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
X
Y
C
B
A
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．（x ≠0） B ．（x ≠0） C ．（x ≠0） D ．（x ≠0）
5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．在中,,则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在等比数列11
29
119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 （ ）
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ． B ． 1 C ． 4 D ． 9． 在中,若,则是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．钝角三角形
10．等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 12．四棱柱的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，，，则的长为( ) A ． B ． C ． D ．
xx第一学期高中二年级期末模块检测考试
数学试题（理工农医类）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

题号填空题17 18 19 20 21 22 总分得分
二、填空题：(本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。

) 13．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.
14．数列的通项公式为，达到最小时，n等于_______________.
15．若点到点的距离比它到直线的距离少1，则动点的轨迹方程是 _____________。

三、解答题：(本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分12分）
给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
19．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.
（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。

20. （本小题满分12分）
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费
用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二
年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是
多少年？（年平均费用最低时为最佳使用年限），并求出年平均费用的最小值
21．（本小题满分12分）
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
22．（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为（I）求椭圆的标准方程；
（II）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ。

试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

xx第一学期高二年级期末模块检测考试
数学试题（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
X
Y
C
B
A
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上.
3．考试结束后，监考人员将试卷Ⅱ和答题卡一并收回.
A. B.cos
C.cos
D.cos 2．已知不等式的解集为,则不等式 的解集为( B )
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 设，则是 的 （ A ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ B ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．在中,,则( c )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在等比数列11
29
119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 （ D ）
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( A ) A ． B ． 1 C ． 4 D ． 9． 在中,若,则是( A )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．钝角三角形
10．等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( c ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260
1
2．四棱柱的底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，，，则的长为( C )
A． B．C．D．
xx第一学期高中二年级期末模块检测考试
数学试题（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号填空题17 18 19 20 21 22 总分得分
二、填空题：(本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。

)
13．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角
形的面积是____________________.6
14．数列的通项公式为，达到最小时，n等于_______________.24
是“2x 2
－5x －3＜0”必要不充分条件；③若、共线，则、所在的直线平行；④若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；⑤，．
其中是真命题的有：_ ___．（把你认为正确命题的序号都填上）.①⑤
三、解答题：(本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分12分）
给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围． 解：对任意实数都有恒成立
；…………………………………………………………2分 关于的方程有实数根；………………………4分
∨为真命题，∧为假命题，即P 真Q 假，或P 假Q 真，……………………6分
所
以实数的取值范围为． ……………………………………………12分 18． （本小题满分12分）
中，分别是角的对边，且有()sin 230C A B +=.若，求的面积。

sin 23)0sin 232sin cos 33cos 0sin ............3C C C C C C C C C π++==∴===
解：由已知得即所以或分
00
134,90,60
...................6c a C C C =<=∴≠=是锐角
从而分
222202
2cos ,131624cos604301 3...........................9c a b ab C b b b b b b =+-=+-⨯-+=∴==由得或分
11
3
1sin 4132211
3
3sin 433 3 (1222)
2
b S ab C b S ab C ==
=⨯⨯====⨯⨯⨯
=当时，当时，分 19．(本小题满分12分)
C
B
A
C 1
B 1
A 1
如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。

解：方法一
（Ⅰ）因为三棱柱为直三棱柱所以
在中………………2分
由正弦定理得所以………………4分
（Ⅱ）如图所示，作交于，连，由三垂线定理可得
所以为所求二面角的平面角，在中，
1
1
336
2
6
A A AC
AD
AC
===，………………8分
在中，
2222
610
1()
22
BD AB AD
=+=+=，…………10分
所以
6
15
2
cos
10
AD
ABD
BD
===………………11分
即二面角A——B的余弦值是。

………………………12分
………………2分
………………4分
………………6分
………………8分
………………9分
……………
10分
222222
31101015
cos,
5
||||(3)11100
m n
m n
m n
⋅⨯+⨯+⨯
<>===
⋅++⋅++
(11)
分
所以二面角所成角的余弦值是………………………12分
20. （本小题满分12分）
23
0.20.30.40.11)
20
n n
n
+
+++++=
…（…………3分
n年的投保、动力消耗的费用（万元）为：0.2n ………4分
………6分
，
),
2.7
20
(
0.35
20
7
n
7.2
y:
2
n
n
n
n
n+
+
=
+
+
=
∴年的年平均费用为
………8分
等号当且仅当………10分
万元）
(
55
.1
2.1
35
.0
y min=
+
=
∴
………11分
答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．………12分21．（本小题满分12分）
设数列的前项和为,且，数列满足，点在直线上，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
解：（Ⅰ）由可得，两式相减得()
11
2,32
n n n n n
a a a a a n
++
-==≥.
又 ,所以.
故是首项为，公比为的等比数列. 所以.…………4分
由点在直线上，所以.
（Ⅱ）因为，所以
0121
13521
3333
n n
n
T
-
-
=++++.…………7分
则
1221
11352321
333333
n n n
n n
T
-
--
=+++++,…………8分两式相减得：
20
7
2.7
20
3
n
0.2n
0.2
7:
2
2n
n
n+
+
=
+
+
+
+
∴总费用为
2111222221133333
11[1()]2112133122()133313
n n n n n n n n T n n ----=++++----=+⨯-=---…………10分 所以. …………………………………12分
22．（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长
为
线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

解：（I ）设椭圆方程为 ………………1分
因为,)2
2,(,.22,22在椭圆上点据题意所以c a c e == 则
于是 ………………4分
因为.2,1,1,2222====-=a c b c a c a 则 ………………5分
故椭圆的方程为 ………………6分
（II ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
11222
222222222212122222
1212121222,(,),(,).
1,(21)4220.72(4)4(21)(22)8(21)0(*)422,.2121
()()()2y kx m P x y Q x y x y k x kmx m y kx m km k m k m km m x x x x k k y y kx m kx m k x x km x x m m k =+⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
∆=-+-=-+>-+=-=++=++=+++=⋅点由得分
所以于是22222
2222221212222242121
2.921
,2223220,212121
km km m k k m k k OP OQ OP OQ m m k m k x x y y k k k --+⋅+++-=+⊥⇔⊥----+=+==+++分因为所以
2
222
22
3220,.*10
3
,
12
3
k
m k m
O l d
d
+
--==
====
即所以代入（）验证成立。

分
设原点到直线的距离为
则分
当直线l的斜率不存在时，因为，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP、OQ的方程分
别为,,(((
333333
y x y x P Q P
==----
可得或、
,
3
O l
此时原点到直线…………13分
综上分析，点O到直线l的距离为定值…………14分31206 79E6 秦
k536033 8CC1 賁37903 940F 鐏Mn35309 89ED 觭0+
G34331 861B 蘛•。