LNQD 序列回归函数小波估计的渐近正态性

LNQD 序列回归函数小波估计的渐近正态性
丁立旺;蔡际盼;吕孝亮
【摘要】本文考虑非参数固定设计回归模型Y g t ε=i () i+，1 i n<<，其中{}it 是非随机固定设计i点，()g t 是回归函数，{}iε为平稳 LNQD 序列随机误差。

在适
当的条件下，用异于文献[5]的估计方法，讨论了函数()g t 的小波估计量的渐近正态性，得到了与文献[5]相同的结论。

%This paper considers the nonparametric fixed design regression model Y g t ε=i ( ) i+ , i< < , (1 ) i n where { }it is non-random design points, ( )g t is regression function, and { }iε is a strictly stationary linearly negative quadrant dependent sequences. Under certain conditions, using a method different from paper [5], the asymptotic normality for the wavelet estimator of ( )g t is studied and the same conclusion as in paper [5] is drawn.
【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)002
【总页数】4页(P12-15)
【关键词】LNQD 序列;回归函数;小波估计;渐近正态性
【作者】丁立旺;蔡际盼;吕孝亮
【作者单位】广西财经学院金融学院，广西南宁 530003;广西师范学院数学与统计科学学院，广西南宁530023;桂林电子科技大学信息科技学院公共课程教学部，广西桂林 541004
【正文语种】中文
【中图分类】O212.7
关于独立随机变量的理论，早在20世纪30年代就已很完善，随后，根据样本不
独立且获得的数据往往具有相依的特点，提出了各种相依随机变量的概念：如1950年代引入的各种混合随机变量，1960年代引入的PA随机变量，以及1980年代引入LNQD（Linearly Negative Quadrant Dependent）随机变量. 近年来，对LNQD的研究也取得了一些结果，如Newman[1]建立了强平稳LNQD过程的中心极限定理，董志山等[2]证明了LNQD列的中心极限定理，王敏会等[3]讨论了LNQD列生成的移动平均过程的完全收敛性，沈建伟[4]给出了非平稳LNQD列部分和的精确渐近性结果，李永明等[5]研究了LNQD列的不等式，并讨论了渐近正态性.
本文是继续在非参数回归模型中，利用小波估计的方法，在误差为LNQD平稳序
列的条件下，对函数的小波估计量的一致渐近正态性进行研究，讨论是否与文献[5]有一致的结果.
1 定义
本文考虑非参数回归模型
其中是定义在的回归函数，为非随机设计点列，是LNQD序列随机误差.
令记为上的分割，且. 所以式（1）对于的小波估计的定义如下：
定义1 称随机变量和是NQD的，若对任意，有.
定义2 称随机变量序列是LNQD的，若对任意两个非空不交的有限子集和任意正实数列，都有和是NQD的.
2 条件及引理
为讨论小波估计和证明的需要，先给出以下基本条件：
1）（阶为的Sobolev空间），且满足1阶Lipschitz条件；
2）刻度函数为阶正则(为正整数)且具有紧支撑，满足1阶Lipschitz条件，且当时，，其中为的Fourier变换；
3）i）；ii）；
4）对于每一个，的联合分布与的联合分布相同，且是平稳LNQD随机变量序列，具有零均值和有限二阶矩，；ii），对某个；
5）记，且；
6）存在正整数和，对充分大的，满足，当时，i）；ii）.
为了得到定理先引入以下引理：
引理1[6]
i），；ii）；
iii）； iv）.
引理2[5]5 设是LNQD随机变量序列，具有零均值和有限二阶矩，，又设是一实数列，满足，则对任意的，有
引理3[5]3 如果是LNQD随机变量序列，令和是和对应的函数，则对所有非正（或非负）实数，则.
3 定理及证明
定理假设条件1）-6）成立，则.
证明记，，，当，显然. 记. 将分成，，，，，，，，，.
为了证明定理，我们先证明下面的式子
. （4）
由引理1可得，事实上
，（5）
由引理1，引理2，式（5），条件5）和6），可得
因此式（3）成立.
再证式（4）. 令，，则. 由条件5）可知. 所以
，（6）
所以结合式（3）和（6）可知，即.
由此，为了建立的渐近正态性，假设是独立随机变量序列，与有相同的分布，则，. 令，则是独立随机变量，且，. 用表示随机变量的特征函数，所以
由引理1，引理3和式（6），可知
，（8）
而是明显的，所以结合式（7）和式（8），即可得到.又由于，因此. 根据李雅普洛夫定理条件，当时，有
再由引理1，引理2和条件6），可得
所以式（9）成立.
[1] NEWMAN C M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables [J]. Lecture Notes Monograph Series, 1984, 5: 127-140.
[2] 董志山，杨小云. NA及LNQD随机变量列的几乎处处中心极限定理[J]. 数学学报，2004, 47(3): 593-600.
[3] 王敏会，吴珍英，袁冬梅. LNQD随机变量序列生成的移动平均过程的完全收敛性[J]. 东北电力大学学报，2006, 26(2): 83-89.
[4] 沈建伟. 非平稳LNQD序列部分和的精确渐近性[J]. 浙江科技学院学报，2011, 23(1): 6-9.
[5] LI Yongming, GUO Jianhua, LI Naiyi. Some inequalities for a LNQD sequence with applications [J]. Journal of Inequalities and Applications, 2012, 216: 1-10.
[6] 李永明，尹长明，韦程东. 混合误差下回归函数小波估计的渐近正态[J]. 应用数学学报，2008, 31(6): 1016-1055.
[责任编辑：韦韬]。