四川省棠湖中学2019届高三4月月考数学(文)试题 含解析

四川省棠湖中学高2019届四月月考
数学(文)试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得：，
∴
故选：C
2.若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵
∴
故选：D
3.函数的图像大致为
A. B. C C. D.
【答案】B
【解析】
分析：判断f（x）的奇偶性，再根据f（x）的符号得出结论．
详解：f（x）定义域为R，且f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A；
又当x＞0时，＞1＞10﹣x，∴f（x）＞0，排除D，
当x时，f（x），排除C，
故选：B．
点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4.已知向量，满足，，则
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
【答案】B
【解析】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
5.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得c＝2，分类讨论焦点的位置，利用4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2＝1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【详解】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，
当焦点在x轴上时，
可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
∵方程1表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，
无解．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程的应用，考查了不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题．6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
7.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB BC，AB=6，BC=8，AA1=4，则V的最大值是
A. 4π
B.
C. 6π
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．
【详解】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
故三角形ABC的内切圆半径r2，
又由AA1=4，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，
此时V的最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱柱的内切球问题，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
8.在中，，，且的面积为，则
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据△ABC的面积为bc sin A，可得c的值，根据余弦定理即可求解BC．
【详解】解：由题意：△ABC的面积为bc sin A，
∴c＝2．
由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A
即a2＝4+12﹣84，
∴a＝2．
即CB＝a＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查解三角形问题，涉及到三角形面积公式，余弦定理，考查转化能力与计算能力，属于基础题.
9.设，若满足约束条件，则的最大值的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
作出可行域如下图：
目标函数为，当目标函数过点时，，因为，所以
，故选C.
10.若点P为抛物线C：上的动点，F为C的焦点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程求得焦点坐标，再由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小得答案．
【详解】解：由y＝2x2，得，
∴2p，则，
由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的简单应用，是基础题．
11.双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.
详解：因为，，所以，故即，
由，所以即，故，双曲线的实轴长为.故选D.
点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.
12.已知函数满足，若函数与图像的交点为
则
A. B. 2 C. 3m D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两函数的对称中心均为（0，1）可知出＝0，＝m，从而得出结论．
【详解】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）＝2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数图象关于点（0，1）对称，
即有（，）为交点，即有（﹣，2﹣）也为交点，
（，）为交点，即有（﹣，2﹣）也为交点，
…
则有（+）+（+）+…+（+）
，
=
＝m．
故选：A．
【点睛】本题考查抽象函数的运用：求和方法，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中
档题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理即可得出．
【详解】解：∵∥，∴﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.设，若，则__________．
【答案】
【解析】
∵为奇函数，
∴
故答案为：
15.若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
当时，由椭圆定义知，解得，不符合题意，当时，由椭圆定义知，解得，所以，故填.
点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.
16.已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在
单调,则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】
试题分析：由题可知，,即，解得,又因
为在区间单调，所以,即，接下来，采用排除法，若，此时，此时在区间上单调递增，在上单调递减，不满足在区间单调，若，此时，满足在区间单调递
减，所以的最大值为9.
考点：三角函数的性质
【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到,即
，第二个条件是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到的最大值.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和是，且是等差数列，已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到的通项公式；
（2），利用裂项相消法求出数列的前项和.
试题解析：
（1）记，∴，又为等差数列，公差记为，
，∴，得，∴，得
时，，时也满足.综上
（2）由（1）得
∴
，
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为，求前项和：
；
（2）已知数列的通项公式为
，求前项和：
；
（3）已知数列的通项公式为
，求前项和
:.
18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们
年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
（1）由以上统计数据填下面2乘2
列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放
开”政策的支持度有差异：
（2）若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：.
【答案】（1）没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）.
【解析】
【分析】
（1）建立2乘2列联表，利用公式求解，根据计算结果得出结论；
(2)列举出基本事件后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】解：
（1）2乘2列联表
32
＜
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异
（2）年龄在中支持“生育二胎”的4人分别为，不支持“生育二胎”的人记为，则从年龄在
的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：，。

记“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，则事件A所有可能的结果有：，所以。

所以对年龄在的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是.
【点睛】本题考查独立性检验、古典概型的概率，考查应用数学知识解决实际问题的能力.
19.如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形是边长为2的菱形，，
，，E，F分别为AC，的中点．
（1）求证：直线EF∥平面；
（2）设分别在侧棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．
【答案】（1）见解析（2）（或者）
【解析】
【分析】
（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，证明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理证明EG∥平面ABB1A1，从而平面EFG∥平面然后证明直线EF∥平面ABB1A1；
（2）证明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱锥B﹣APQC的体积，棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．
【详解】（1）取的中点G，连接EG，FG，
由于E，F分别为AC，的中点，
所以FG∥．又平面，平面，
所以FG∥平面．
又AE∥且AE＝，
所以四边形是平行四边形．
则∥．又平面，平面，
所以EG∥平面．
所以平面EFG∥平面．又平面，
所以直线EF∥平面．
（2）四边形APQC是梯形，
其面积．
由于，E分别为AC的中点.
所以．
因为侧面底面，
所以平面．
即BE是四棱锥的高，可得．
所以四棱锥的体积为．
棱柱的体积．
所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为（或者）．
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20.已知椭圆与双曲线具有相同焦点，椭圆的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过抛物线的焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求线段的长.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由题意布列方程组，即可求得椭圆的方程；（2）联立方程得到，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得线段的长.
试题解析：
（1）因为双曲线的焦点，
所以椭圆的焦点，
所以，
又因为椭圆一个顶点，
所以，故：，
所以椭圆的方程为；
（2）因为抛物线的焦点坐标为，
所以直线的方程为：，
又由（1）得椭圆方程为：，
联立得，
设，
由以上方程组可得，
所以.
21.已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.
试题解析：解：（1），
当时，，∴在上单调递减.
当时，令，得；令，得.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，令，得；令，得.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.
当时，，不合题意.
当时，，在上单调递增，
∴，故满足题意.
当时，在上单调递减，在单调递增，
∴，故不满足题意.
综上，的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.
详解：（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆
的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，M为不等式的解集.
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b时，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而
，
因此
【考点】绝对值不等式，不等式的证明.
【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．。