2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(辽宁卷,理数).pdf

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（辽宁卷）
数学（理科）
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效．
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．
参考公式：
椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高．
若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，
，
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的?
1．设集合，则集合是（ ）
A．B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．中心在原点，焦点坐标为（0，）的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
4?一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A．2400 B．2450
C．2500 D．2550
6．已知，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
7．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．4 B．8
C．16 D．36
8．已知直线（其中）与圆交于，O是坐标原点，则·=（ ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
9．关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，分别是三棱锥的棱的中点，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．60° B．45°
C．0° D．120°
11．下列命题中正确的一项是（ ）
A．“”是“直线与直线相互平行”的充分不必要条件
B．“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的充分条件
C．已知，，为非零向量，则“”是“”的充要条件
D．，，则，
12．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当时，，则函数在区间上的反函数的值为（ ）
A． B．
C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分?第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答?第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答?
二?填空题：本大题共4小题，每小题5分?
13．若实数均不为零，且，则展开式中的常数项等于________．
14．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为___________．
15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则___________．
16．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系．
245683040605070根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测销售额为115万元时约需___________万元广告费． 参考公式：回归方程为，其中，
三?解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤?
17．（本小题满分12分）
设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）若，求证：∥．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱
（1）求证：平面；
（2）若与底面成的角，试求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
（1）请先求出频率分布表中①?②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3?4?5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3?4?5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官面试的概率?
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，上顶点为为上任一点，是圆的一条直径，若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切． （1）已知椭圆的离心率；
（2）若的最大值为49，求椭圆的方程．
21．（本小题满分12分）
设函数．
（1）求函数的极大值；
（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围．
请考生在第22?23?24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分?做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑?
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是边长为的正方形，以从为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点F，延长交于．
（1）求证：是的中点；
（2）求线段的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
坐标系与参数方程过作倾斜角为的直线l与曲线E：（为参数）交于两点． （1）求曲线的普通方程及的参数方程；
（2）求的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（辽宁卷）
数学（理科）
一?选择题
1—5：CCCBD 6—10：BDADA 11—12：DB
二?填空题
13．-672 14． 15． 16．15
三?解答题
17．（1）∵b-2c，且a与b-2c垂直
∴
即
∴， ∴．
（2）∵，∴，即
∴
即a与b共线
∴a∥b
18． （1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
故BD2=AD2+AB22AD?ABcos60°=4+162×2×4×=12．
又AB2=AD2+BD2，
∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°，
即AD⊥BD．
在ΔPDB中，PD=，PB=，BD=，
，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD．
∴平面PAD⊥平面ABCD
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD．∴PE⊥平面ABCD．
∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDE=60°
∴PE=PDsin60°=．
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC．
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角．
又EF=BD=，在ΔRtΔPEF中，
．
故二面角P—BC—A的大小为．
19．（1）由题可知，第2组的频数为0．35×100=35人
第3组的频率为
频率分布直方图如图所示
（2）因为第3?4?5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：人
第4组：人
第5组：人
所以第3?4?5组分别抽取3人?2人?1人．
（3）设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
，，，
，，，
，，，
，，
其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为
20．（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为，
因为直线与圆相切，所以，即
从而
（Ⅱ）设?圆的圆心记为，则
（0），又=(
解得c=4，此时椭圆方程为；
(当
解得 但故舍去．
综上所述，椭圆的方程为．
21．（1）∵，且，
当时，得；当时，得；
∴的单调递增区间为；
的单调递减区间为和．
故当时，有极大值，其极大值为．
（2）∵，
①当时，，
∴在区间内是单调递减．
∴
∵，∴
此时，不存在．
②当时，．
∵，
∴即
此时，．
综上可知，实数的取值范围为．
选做题
22．（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，
因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，
所以，即∠CDO=∠BCE
故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以
所以E是AB的中点
（2）连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得
∵ABCD是边长为a的正方形 ∴
23．（1）消去参数θ，可得曲线E的普通方程为
由条件可得L的参数方程为（t为参数）．
（2）将L的参数方程代入由曲线E的方程得
由，
得
又由于倾斜角满足，∴
24．（1），令
得，所以不等式的解集是
（2）在上递减，上递增，所以，，
由于不等式的解集是非空的集合，所以，， 解之，，即实数的取值范围是：．。