湖北省鄂州市2019届中考数学模拟试卷含答案解析(word版)

2019年湖北省鄂州市中考数学模拟试卷
一、选择题
1．||的值是（）
A． B．C．﹣2 D．2
2．空气质量检测数据pm2.5是值环境空气中，直径小于等于2.5微米的颗粒物，已知1微米=0.000001米，2.5微米用科学记数法可表示为（）米．
A．2.5×106B．2.5×105C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6
3．小亮领来n盒粉笔，整齐地摆在讲桌上，其三视图如图，则n的值是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．下列运算正确的是（）
A．2a3•a4=a12B．2×=4 C．（2a4）3=8a7D．a8÷a2=a4
5．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量D．中位数是4.5
6．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为（）
A．60°B．45°C．40°D．30°
7．如图，在△AOB中，∠BOA=90°，∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两
点，若，则AO的值为（）
A．B．2 C．D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B ﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E．下列结论不一定成立的是（）
A．△AOD是等边三角形B．=
C．∠ACB=90°D．OE=BC
10．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2019O2019的面积为（）
A．B．C．D．
二、填空题
11．化简（﹣2）2019•（+2）2019=．
12．分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36=．
13．有七张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同．现
将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的方程+
=2的解为正数，且不等式组无解的概率是．
14．将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
为．
15．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为．
16．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．
三、解答题（第17-20题各8分，第21、22题各9分，第23题10分，第24题12分，共72分）
17．先化简，再求值（1﹣）﹣，其中x满足x2﹣2x=0．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围．
（2）若方程的两个实数根为x1．x2，且（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+m2=5，求m的值．
19．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
20．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；
（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？
21．星期天，小华到小明家邀请小明到新华书店看书，当小华到达CD（点D是小华的眼睛）处时，发现小明在七楼A处，此时测得仰角为45°，继续向前走了10m到达C′D′处，发现小明在六楼B处，
此时测得仰角为60°，已知楼层高AB=2.7m，求OC′的长．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
22．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且
∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x 的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
24．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
2019年湖北省鄂州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．|
|的值是（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．2
【考点】绝对值．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|
|=．
故选B ．
【点评】本题考查了绝对值的性质．
2．空气质量检测数据pm2.5是值环境空气中，直径小于等于2.5微米的颗粒物，已知1微米=0.000001米，2.5微米用科学记数法可表示为（ ）米．
A ．2.5×106
B ．2.5×105
C ．2.5×10﹣5
D ．2.5×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2.5微米=0.0000025=2.5×10﹣6；
故选：D ．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．小亮领来n 盒粉笔，整齐地摆在讲桌上，其三视图如图，则n 的值是（ ）
aa
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图可得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层盒数，由正视图和左视图可得第二层，第三层盒数，相加即可．
【解答】解：由俯视图可得最底层有4盒，由正视图和左视图可得第二层有2盒，第三层有1盒，共有7盒，则n的值是7；
故选A．
【点评】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
4．下列运算正确的是（）
A．2a3•a4=a12B．2×=4 C．（2a4）3=8a7D．a8÷a2=a4
【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；单项式乘单项式．
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、2a3•a4=2a7，原式计算错误，故本选项错误；
B、2×=4，原式计算正确，故本选项正确；
C、（2a4）3=8a12，原式计算错误，故本选项错误；
D、a8÷a2=a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，解答该题的关键在于掌握各知识点的运算法则．
5．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量D．中位数是4.5
【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．
【专题】常规题型．
【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故A选项错误；
B、这组数据的平均数是：（3×2+4×3+5×4+8×1）÷10=4.6，故B选项正确；
C、调查的户数是2+3+4+1=10，故C选项正确；
D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）÷2=4.5，则中位数是4.5，故D 选项正确；
故选：A．
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为（）
A．60°B．45°C．40°D．30°
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°﹣∠1=60°﹣20°=40°，
∵l∥m，
∴∠2=∠3=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
7．如图，在△AOB中，∠BOA=90°，∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两
点，若，则AO的值为（）
A．B．2 C．D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【分析】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到
=（）2=2，根据勾股定理得出OA2+OA2=6，即可求得OA．
【解答】解：∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°，
∠CAO=∠BOD，
∴△ACO∽△BDO，
∴=（）2，
∵S△AOC=×2=1，S△BOD=×1=，
∴（）2==2，
∴OA2=2OB2，
∵OA2+OB2=AB2，
∴OA2+OA2=6，
∴OA=2，
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数y=，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能够通过三角形系数找出OA和OB的关系是解题的关键．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B ﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=x，
∵OM=4﹣x，
∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×x（4﹣x）=﹣x2+3x；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．
9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E．下列结论不一定成立的是（）
A．△AOD是等边三角形B．=
C．∠ACB=90°D．OE=BC
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理及垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵∠B的度数不确定，∴△AOD的形状无法确定，故本选项错误；
B、∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°．∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，∴OD是AC的垂直平分线，
∴=，故本选项正确；
C、∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，故本选项正确；
D、∵OD∥BC，点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=BC，故本选项正确．
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
10．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2019O2019的面积为（）
A．B．C．D．
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．
【分析】先求出平行四边形ABO1C1，平行四边形ABO2C2…的面积，探究规律后即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABO1C1是平行四边形，
∴=S
，=，
矩形ABCD
=，
∴=•S
矩形ABCD
同理可得：平行四边形ABO2C2的面积=，
平行四边形ABO3C3的面积=，
…
∴平行四边形ABC2019O2019的面积=．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．化简（﹣2）2019•（+2）2019=+2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先利用积的乘方得到原式=[（﹣2）（+2）]2019•（+2），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式=[（﹣2）（+2）]2019•（+2）
=（5﹣4）2019•（+2）
=+2．
故答案为+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12．分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36=（a+b﹣6）2．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=（a+b﹣6）2．
故答案为：（a+b﹣6）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．有七张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同．现
将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的方程+
=2的解为正数，且不等式组无解的概率是．
【考点】概率公式；分式方程的解；解一元一次不等式组．
【分析】由关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解，可求得符合题意的m的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵+=2，
∴2﹣（x+m）=2（x﹣1），
解得：x=，
∵关于x的方程+=2的解为正数，
∴＞0且≠1，
解得：m＜4且m≠1，
∵不等式组无解，
∴m≤1，
∴使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的有：﹣1、﹣2、0；
∴使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用、分式方程的解以及不等式组无解．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
14．将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
2cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr=，
解得r=2cm．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
15．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，
使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由于AF=CF，在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD﹣AE，再由直角三角形的面积公式，求得Rt△AGE中边AE上的高，即可计算阴影部分的面积．
【解答】解：由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8
在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣AF）2=AF2，
解得AF=5，
∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，
∴∠BAF=∠EAG，
∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，
∴△BAF≌△GAE（AAS），
∴AE=AF=5，ED=GE=3
过G作GH⊥AD，垂足为H
∵S△GAE=AG•GE=AE•GH
∴4×3=5×GH
∴GH=，
∴S△GED=ED•GH=×3×=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了翻折变换，解决问题的关键是利用矩形的性质和轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行求解．解题时注意：翻折前后的对应边相等，对应角相等．
16．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、
⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．
【考点】圆的综合题．
【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．
【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B==，
∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=﹣2﹣1=﹣3，
∴PM+PN的最小值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．
三、解答题（第17-20题各8分，第21、22题各9分，第23题10分，第24题12分，共72分）
17．先化简，再求值（1﹣）﹣，其中x满足x2﹣2x=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式第一项利用括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，由已知方程求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•﹣=x﹣=，
由x2﹣2x=0变形得：x（x﹣2）=0，
解得：x=0（不合题意，舍去）或x=2，
则x=2时，原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围．
（2）若方程的两个实数根为x1．x2，且（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+m2=5，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）首先根据一元二次方程的一般形式求得b2﹣4ac的值，再进一步根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，即△≥0进行求解．
（2）方程变形为（x﹣1）2=1﹣m，根据题意则（x1﹣1）2=1﹣m，（x2﹣1）2=1﹣m，代入（x1﹣1）2+（x
2+m2=5解得即可．
2﹣1）
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，
∴b2﹣4ac=4﹣4m≥0，
即m≤1．
（2）∵x2﹣2x+m=0，
∴（x﹣1）2=1﹣m，
∵方程的两个实数根为x1．x2，
∴（x1﹣1）2=1﹣m，（x2﹣1）2=1﹣m，
∵（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+m2=5
∴（1﹣m）2+（1﹣m）2+m2=5，
解得m=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE （SAS）．
（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得四边形E′BGD 为平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB﹣AE′=CD﹣CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识的综合应用，以及考生观察、分析图形的能力．
20．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；
（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据喜爱羽毛球的人数除以喜爱羽毛球所占的百分比，可得答案；
（2）根据总人数减去喜爱乒乓球的人数、篮球的人数、羽毛球的人数、排球的人数，可得答案；
根据喜爱乒乓球的人数比上总人数乘以圆周角，可得答案；
（3）根据喜爱篮球的人数比上总人数，可得喜爱篮球人数所占的百分比，根据全校总人数乘以喜爱篮球人数所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）30÷15%=200，
故答案为：200；
（2）跳绳人数为200﹣70﹣40﹣30﹣12=48人，
圆心角=126°，
如图：；
（3）估计全校最喜欢“篮球”的学生人数为1500×=300人．
【点评】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
21．星期天，小华到小明家邀请小明到新华书店看书，当小华到达CD（点D是小华的眼睛）处时，发现小明在七楼A处，此时测得仰角为45°，继续向前走了10m到达C′D′处，发现小明在六楼B处，
此时测得仰角为60°，已知楼层高AB=2.7m，求OC′的长．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】连接DD′并延长交OA于E，则DE⊥OA，先解Rt△ADE，得AE=DE，在Rt△BD′E中，
得BE=D′E，即10+D′E=BE+2.7，从而求求出D′E的值即可．
【解答】解：连接DD′，并延长交AO于点E，则DE⊥OA，
在Rt△ADE中，∵∠AED=90°，∠ADE=45°，
∴AE=DE，
在Rt△BD′E中，∵∠BED′=90°，∠BD′E=60°，
∴BE=D′E．
∴10+D′E=BE+2.7
解得D′E=10m，
∴OC′=10m．
答：OC′的长为10m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
22．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且
∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x
的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
【考点】圆的综合题．
【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ 于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF，则可求出x的取值范围；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．【解答】解：发现：如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°﹣30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
==，
∴S
扇形KRQ
在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=，
∴S△PRK=•RE=，
阴影
拓展：如图5，
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△AON∽△BMN，
∴，即，
∴BN=，
如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2
﹣1，
∴x的取值范围是0＜x≤2﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，
OS==2，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG=KO′=﹣，
∴在Rt△OGK中，sinα===，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，
∴α=60°，
综上所述sinα的值为：或或．
【点评】此题属于圆的综合题．考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意根据题意正确的画出图形是解题的关键．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
=8000元，
∴当x=60时，P
最大值
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
=﹣20×58+1600=440，
∴当x=58时，y
最小值
即超市每天至少销售粽子440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．。