相关分析与回归分析

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相关与回归
◆相关与回归分析的步骤
确定变量之间有无相关关系及呈现的形态,用定性分析、 相关表或相关图。
确定变量之间相关关系的密切程度,用相关系数。 建立变量之间变动关系的方程式,用最小二乘法建立变量
之间的回归方程。 测定因变量估计值的可靠性,计算估计标准误差。
相关与回归
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直线相关
直线相关的应用
前面我们讨论了身高和体重呈正相关关 系，随着身高的增加，体重也在增大。 那么，身高每增加1厘米，体重增加多少 克呢？
上面的相关关系分析不能提供给我们需
要的答案。这些要用直线回归的方法来
解决。
相关与回归
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相关与回归
44
直线回归
当我们知道了两个变量之间有直线相关关系，并且 一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这时， 如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的变化 可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它们之 间的关系式叫函数方程。
sr
1 r2
1 r2
n2
=n-2
相关与回归
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H0 ： =0
H1 ： ≠0
=0.05
r=0.792, n=10, 代入公式 t= r
t=3.67
n2 1 r2
查t值表， t0.05(8)=2.045
=n-2=10-2=8
查t值表， t0.05(8)=2.756, 上述计算t=3.67>2.045，由t 所推断的P值小于0.05，按=0.05拒绝接受,认为身
●您的性别： A、男 B、女 ●您的年龄： ●您的家庭人口数： ●您的家庭年收入：
相关与回归
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一、变量
相关与回归
变量 类型
举例 说明
四种变量的特征和例子
定量变量
定序变量
定距变量
定比变量
1、树、房子、出租 车等
2、性别：男、女
3、政党：自由党、 共产党等
4、宗教：基督教、 回教、印度教等
1、收入：高水平、 1、温度： 中等水平、低水平 摄氏度、华 2、社会地位：上层、 氏度 中层、下层
●定类变量也称为名义变量，只测量各种分类之间的差别，它只 能对变量进行类别差测度。（性别、企业类型，类别区别）
●定序变量是对处于某种状态不同强度和序次水平的测量，或者 说它是对同一维方向上不同序次水平的测量（学位：本科硕士； 可以进行等级比较）
●定距变量：测量单位是一致的，它不仅可以对两个观察点在序 次上进行测量，还可以对两个观察点之间或两个序次之间的间 距进行测量。（温度，零点是人为定义，相对零加减运算）
●如我们取某地区男子的身高为样本调查（数据如下表），从下
表可以看出身高的取值是连续变化的。这个变量就是连续型变
量
身高分组（CM）
人数（人）
148-154
4
154-160
12
160-166
44
166-172
64
172-178
56
178-184
16
184-190
4
合计
200
相关与回归
4
相关与回归
2、定类变量、定序变量、定距变量和定比变量
r 0.792
相关与回归
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例2
已知某高校10名大二学生统计课X和营销课Y 的成绩，根据有关数据，说明两者的关系程 度 。 ∑ X=756 ， ∑ Y=837 ， ∑ X2=57352 ， ∑Y2=70245，∑XY=63369。
相关与回归
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例2
◎解：
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
相关与回归
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例1
◎ 解 ： 已 知 ， ∑ X=1725 ， ∑ Y=485 ，
∑X2=298525， ∑Y2=23609 ，∑XY=83891
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
r
10838911725 485
10 298525 17252 10 23609 4852
相关与回归
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相关系数的假设检验
上例中的相关系数r等于0.792，说明了10名样本中身高 和体重之间存在相关关系。但是，这10名只是总体中的 一个样本，由此得到的相关系数会存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从
总体抽出的10名，其r可能不等于零。
相关与回归
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相关系数的假设检验
Linear Correlation
相关与回归
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散点图
为了确定相关变量之间的关系，首先应该 收集一些数据，这些数据应该是成对的。 例如，每人的身高和体重。然后在直角坐 标系上描述这些点，这一组点集称为散点 图。
相关与回归
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为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测 量了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上，如 图。用水平轴X上的数代表父 亲身高，垂直轴Y上的数代表 儿子的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它的形 状象一块橄榄状的云，中间的 点密集，边沿的点稀少，其主
相关与回归
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相关与回归
相关分析:从数量上分析现象之间相关关系的理论和方法 ◎函数关系（确定性关系）
对于某一变量的每个数值都有另一变量的完全确定的值与
之对应。 y ax2 bx c(抛物线)，x 2 y2 1(椭圆) 49
◎相关关系（非确定性关系）
现象之间存在一定的依存关系，但不是一一对应的关系， 即相随变动关系。
高与体重之间有正相关关系。
相关与回归
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直线相关的应用
在确实存在相关关系的前提下，如果r的绝 对值越大，说明两个变量之间的关联程度 越强，那么，已知一个变量对预测另一个 变量越有帮助；如果r绝对值越小，则说明 两个变量之间的关系越弱，一个变量的信 息对猜测另一个变量的值无多大帮助。
相关与回归
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●定比变量：是最高级的变量。可以计算两个观察点之间的比值。
有一个固定的零点，是一个绝对的尺度。如工资、年龄、重量
等
相关与回归
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定类测量举例：性别

女性

男性
定序测量举例：对宗教的认知，“对你来说，宗教有多重要？”

不重要
低

一般
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

比较重要 非常重要
高
相关与回归
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定距测量举例：IQ
95
3、态度：完全同意、 同意、中立、不同 意、完全不同意
1、高度：厘米 2、工资：元 3、年龄：岁 4、体重：公斤
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X2
一、变量
相关与回归
四种变量的区别
类型
定类 定序 定距 定比
类别 差 是 是 是 是
序列 间距差 差<> <>+否否 是否 是是 是是
带零点的比值 <>+-*/ 否 否 否 是
◎ 相关关系与函数关系因条件改变可以互相转化。
相关与回归
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相关与回归
◆相关关系的种类
按相关程度可分为：完全相关、不完全相关、完全不相关 按相关方向可分为：正相关、负相关 按变量多少可分为：单相关、复相关 按相关形式可分为：线性相关、曲线相关 以上相关类型均可以交叉出现。
相关与回归
r的绝对值越接近1，两变量的关联程度越强，r 的绝对值越接近0，两变量的关联程度越弱。
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相关与回归
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相关与回归
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相关与回归
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例1
已知某校10名高中生身高X与体重Y部分资 料 ： ∑ X=1725 ， ∑ Y=485 ， X2=298525 ， ∑Y2=23609，∑XY=83891。身高与体重是否 相关？

2
2
X 2
X n
Y 2
Y n

相关与回归
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相关系数
正相关时，r值在0和1之间，散点云图是斜向上 的，这时一个变量增加，另一个变量也增加；
负相关时，r值在-1和0之间，散点云图是斜向下 的，此时一个变量增加，另一个变量将减少。
要部分是一个椭圆。
相关与回归
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相关系数
相关系数是反映变量之间直线相关条件下相互密 切程度的指标。
样本的相关系数用r，r的值在-1和1之间，可以 是此范围内的任何值。
相关与回归
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( X X )(Y Y)
r

X.Y XY
n
( X X )2 (Y Y)2
相关与回归
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一、变量
相关与回归
●变量就是指具有可测量性的概念，其属性在幅度和强度上的 变化程度可以加以度量，如问卷中所提出的问题；
●变量可以通过主观数据或客观数据来测量。比如重量、出席 率、温度等都可以客观测量。态度、感情、感觉则可以通过 主观的数据来测量；
●对社会事务的测量有不同种类、不同层次的变量，根据变量 层次种类不同统计描述分析也会有所不同。
操作化
饭菜的质量与服 务态度
宿舍的人均面积
娱乐活动场所的 多少
（具体指标）
相关与回归
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溺爱孩子 （抽象概念）
操作化
不注意培养孩子的 生活自理能力
不注意培养孩子的 劳动习惯
对孩子过分迁就
物质上尽量满足
相关与回归
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相关与回归
“相关”一词最早由英国著名生物学家、 统 计 学 家 高 尔 顿 （ Galton ） 提 出 。 1889 年在《自然遗传》一书中他不仅阐述了 “相关”的概念，还提出并计算了两个 变量的“相关系数”，后来他还提出了 “回归”的概念。
相关与回归
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相关与回归
◆ 研究者感兴趣的变量通常不止一个，寻找变量间的关 系是管理定量分析的首要目的。
◆哲学告诉我们，客观事物之间往往是相互联系和相互 依赖的。
◆ 统计学上用“相关关系”是说明事物之间的关系程度。
如发放购物卷和增加消费；家电下乡活动与扩大农村
消费等、农村公共产品管理绩效与农民满意度。
相关与回归
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相关与回归
高尔顿在研究孩子及他们父母的身高时发现， 身材高的父母，他们的孩子也高。但这些孩子 平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较 矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但 这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身 高高。高尔顿把这种孩子的身高向中间值靠近 的趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究 两个数值变量的方法称为回归分析。
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现状描述 中学生追星
的程度
原因分析
追星行为的心 理原因探索
相关与回归
追星 现象
关系研究 追中星行学为生和追学星习 成绩的之程间度关系
对策研究
如何有效引导 追星行为
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同情心 （抽象概念）
操作化
主动帮助盲人过 街
主动给讨饭者钱 物
主动向灾区捐款
（具体指标）
相关与回归
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生活满意度 （抽象概念）
相关与回归
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相关与回归
1、离散型变量和连续型变量
●如我们取某地区家庭人口数为样本调查（数据如下表），从下
表可以看出每个家庭的人数只能取整数。这个变量就是离散型
变量
家庭人口数（人） 家庭数（户）
1
27
2
130
3
340
4
154
5
95
6
30
7
15
8
6
相关与回归
9
1
3
相关与回归
1、离散型变量和连续型变量
100
105
110
115
定比测量举例：收入

￥0 ￥10,000 ￥20,000 ￥30,000 ￥40,000 ￥50,000
图1 测量层次
相关与回归
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相关与回归
一、变量
●您的政治面貌：A、中共党员 B、民主党派 C、共青团员 D、群众
●您的文化程度： A、不识字或识字很少 B、小学 C、初中 D、高中 E、中专 F、大专 G、本科 H、硕士
所以，要判断该样本的r是否有意义，需与总体相关 系数=0进行比较，看两者的差别有无统计学意义。
这就要对r进行假设检验，判断r不等于零是由于抽 样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
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对相关系数的假设检验，常用t检验，选用 统计量t的计算公式如下：
t r0 r r n2
直线相关的应用
一般说来，当样本量较大（n>100），并对 r进行假设检验，有统计学意义时：
r的绝对值大于0.7，则表示两个变量高度 相关；
r的绝对值大于0.4，小于等于0.7时，则表 示两个变量之间中度相关；
r的绝对值大于0.2，小于等于0.4时，则两 个变量低度相关。
相关与回归
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r
10 63369 756837
10 57352 7562 10 70245 8372
r 0.475
相关与回归
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相关与回归
问题：我们能否得出结论说明身高和体重之 间呈正相关，相关系数是0.792；为什么？
相关与回归
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相关与回归
问题的提出：如果两个变量是互相独立的，则两 个总体的相关系数ρ=0（ρ希腊字母，读rou）， 从理论上讲，来自两个总体的样本相关系数r也 应为0。但实际上由于抽样误差的存在，r往往不 为0。面对一个相关系数r≠0的情况，如何判断 它们的总体是否相关呢？有何理论依据呢？可以 借助假设检验判断。