2016-2017学年度高二第一学期期末调研试卷答案数学

南京市2016－2017学年度第一学期期末调研试卷 高二数学〔理科〕
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部
分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写
在答题卡．．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上
1．命题“假设a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．
2．双曲线x 2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．
3．已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．
5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．
6．已知实数x ，y 满足条件则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且
PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则
r 的取值范围是 ▲ ．
9．观察以下等式
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
依此规律，当n ∈N *时，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．
10．假设“ x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设在x ＝－3处函
数
f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．
12．有以下命题：
①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件；
③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；
④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是 ▲ ．
13．已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为 (－2c ，0)．假设椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．
14．已知t ＞0，函数f (x )＝假设函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值
范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(此题总分值14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．
(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC 边上的高所在直线的方程．
16．(此题总分值14分)
已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *).
(1)求a 2，a 3，a 4；
(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.
17．(此题总分值14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)．
(1)求圆M 的方程；
(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为，求直线l 的方程．
18．(此题总分值16分)
某休闲广场中央有一个半径．．
为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．
(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．
19．(此题总分值16分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3＝，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)假设BC ⊥CD ，求k 的值；
(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：为定值．
A
B C F D E 〔第18题图〕 O θ
20．〔此题总分值16分〕
已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)假设存在x∈[1，3]，使得＋ln x＝2成立，求a的取值范围;
(3)假设对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，求a的取值范围.
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学〔理科〕参考答案及评分标准2017．01说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕
1．假设|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12．②④13．[，] 14．(3，4)
二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕
解：〔1〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，………………2分所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，
即8x－y－48＝0．……………… 7分〔2〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分
所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，
即x＋y－15＝0．………………………… 14分16．〔此题总分值14分〕
解：〔1〕令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝，………………1分令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝，………………2分
令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝．………………3分
〔2〕猜想a n＝(n∈N*)．………………5分
证明：当n＝1时，a1＝1＝，所以a n＝成立，……………… 6分
假设当n＝k时，a n＝成立，即a k＝，………………8分
则(a k－3)a k＋1－a k＋4＝0，即(－3)a k＋1－＋4＝0，
所以a k＋1＝，即a k＋1＝＝，
所以当n＝k＋1时，结论a n＝成立. ………………12分
综上，对任意的n∈N*，a n＝成立. ………………14分17．〔此题总分值14分〕
解：〔1〕过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由解得
所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分
所以圆M的半径为r＝＝，………………6分
所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，
所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分
假设直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
由d＝＝，………………11分
整理得k2＋8k＋7＝0，
解得k＝－1或－7，………………13分
所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．〔此题总分值16分〕
解：〔1〕作AH⊥CF于H，
则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分
则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ
＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)．………………6分
〔2〕f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]
＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分
令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，
所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分
当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；
当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减，…………14分
所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝．…………15分
答：当θ＝时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．
…………………………16分19．〔此题总分值16分〕
解：〔1〕因为3＝，
所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．………………4分〔2〕方法1
设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,
则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．
因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为＋y02＝1，②
联立①②，解得x0＝－，y0＝，………………8分
所以k＝＝2．………………10分
方法2
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，
所以BC的方程为y＝－(x－2)，………………6分
联立方程组，可得点C的坐标为(，)，………………8分
代入椭圆方程，得＋()2＝1，
解得k＝±2．
又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，
所以k＝2 ………………10分〔3〕方法1
因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝．…………………12分
所以＝＝＝
＝…………………14分
＝＝＝3，
所以为定值．………………………16分方法2
因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，
由解得D(，)，………………………12分
因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，
由解得C(，)，
由于C，M，D三点共线，故，共线，
又＝(＋1，)＝(，)，
＝(＋1，)＝(，)，
所以·＝·，……………14分
化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，
假设4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(，)，
化简得C(，)，
此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，
所以＝3，即为定值．………………………16分
方法3
设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，
由消去y，
得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分又因为＋y02＝1，所以得D(，)，………………14分
所以＝·＝·＝3，
所以为定值．……………………16分方法4
设D(x0，y0)，y0≠0，
则k1k BD＝·＝＝＝－．…………………12分
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以k2k BD＝×＝＝
＝＝＝－．…………………14分
又因为k1k BD＝－，
所以＝3，即为定值．………………………16分20．〔此题总分值16分〕
解：〔1〕a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，
令f '(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分〔2〕因为＋ln x＝2(x＞0)，
所以ax－ln x＝(2－ln x)x2，即a＝2x－x ln x＋，…………………6分设g(x)＝2x－x ln x＋，x∈[1，3]，
则g '(x)＝2－(1＋ln x)＋＝(1－ln x)(1＋)，
令g '(x)＝0，解得x＝e，
当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；
当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减，………………8分因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，
因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e＋]，
所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分〔3〕对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，
则ax－ln x≥＋ln x，即a(x－)－2ln x≥0．
令h(x)＝a(x－)－2ln x，则h'(x)＝a(1＋)－＝，
①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，
所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，
所以a≥1满足条件．………………12分
②当0＜a＜1时，有＞1，假设x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，
此时h'(x)＝＜0，
所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，
即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分
③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．
综上，a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。