高中数学人教A版(2019)选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习
一、单选题(共8题；共16分)
1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）
A ．(−1,−2,4)
B ．(−2,0,1)
C ．(2,0,−2)
D ．(2,0,−1)
2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p
⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-2
3．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.
A ．(5,−1,4)
B ．(5,1,−4)
C ．(−5,1,4)
D ．(−5,−1,4)
4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a
⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22
,0)
B ．(0, 1， 0)
C ．(√22,√22
,0)
D ．(1, 1， 1)
5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b
⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)
D ．(−4,−12,25)
6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b
⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35
D ．9
7．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b
⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13
B ．12
C ．−13
D ．−12
8．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m
⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13
B ．-3
C ．13
D ．6
二、多选题(共4题；共12分)
9．（3分）以下命题正确的是（ ）
A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，
B ，则 b//α 的充要条件是 p →
⋅AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
B ．已知 A ， B ，
C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面
C ．已知 a →
=(−1,1,2) ， b →
=(0,2,3) ，若 ka →+b →
与 2a →
−b →
垂直，则 k =−34
D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √13
10．（3分）下列四个结论正确的是（ ）
A ．任意向量 a ⃗ ， b →
，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→
或 b →
=0
→
或 〈a →,b →
〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线
C ．空间中任意向量 a →,b →
,c →
都满足 (a →⋅b →
)⋅c →=a →⋅(b →
⋅c →)
D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25
，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，
DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A ．点
B 1 的坐标为 (5,4,3)
B ．点
C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)
C ．点 A 关于直线 B
D 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)
12．（3分）已知向量 a
⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)
B ．(0,1,0)
C ．(√22,√22
,0) D ．(−1,−1,0)
三、填空题(共4题；共5分)
13．（1分）已知向量 a
⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．
14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a
⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16
，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b
⃗ ，则λ+μ＝ ．
16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．
四、解答题(共4题；共45分)
17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点
B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .
（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出
向量 OE
⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG
⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．
（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；
（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；
（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b
⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.
20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立
如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．
（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE
⃗⃗⃗⃗⃗ | ．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.
【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。

2．【答案】A
【解析】【解答】已知a⃗=(1,1,0),b⃗=(0,1,1),c⃗=(1,0,1)，p⃗=a⃗−b⃗=(1,1,0)−(0,1,1)=(1,0,−1)，q⃗ =a⃗+2b⃗−c⃗=(1,1,0)+(0,2,2)−(1,0,1)=(0,3,1)，
∴p⃗⋅q⃗ =1×0+0×3+(−1)×1=−1.
故答案为：A
【分析】由空间向量和数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。

3．【答案】A
【解析】【解答】向量a⃗=(3,5,−1)，b⃗=(2,2,3)，c⃗=(1,−1,2)，
则向量a⃗−b⃗+4c⃗=(3,5,−1)−(2,2,3)+4(1,−1,2)=(5,−1,4)，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。

4．【答案】C
【解析】【解答】因为向量a⃗=（1，1，0）
所以与a⃗共线的单位向量可为(a,a,0)且√a2+a2+0=1
解得a=±√2
2
所以可得与a⃗共线的单位向量为(√2
2,√
2
2
,0)或(−√22,−√22,0)
故答案为：C
【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。

5．【答案】A
【解析】【解答】由题意a⃗+b⃗=(2−2,−3+4,5+5)=(0,1,10)．
故答案为：A．【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。

6．【答案】C
【解析】【解答】a⃗+b⃗=(3,5,1)
故|a+b⃗|=√32+52+12=√35
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。

7．【答案】B
【解析】【解答】a⃗=(1，1，0)，b⃗=(−1，0，1)，则ka+b⃗=(k−1，k，1)，
ka+b⃗与a⃗互相垂直，则(ka+b⃗)⋅a=k−1+k=0，k=
1
2
.
故答案为：B.
【分析】由向量垂直的坐标公式代入数值计算出k的值即可。

8．【答案】A
【解析】【解答】解：因为m⃗⃗⃗ //n⃗，
所以m⃗⃗⃗ =μn⃗,μ∈R，即：m⃗⃗⃗ =(3,1,3)=(−μ,λμ,−μ)=μn⃗，
所以μ=−3,λμ=1，解得λ=−1
3
.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，若直线b⊂α，则p→⋅AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立，故b//α不是p→⋅AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的必要条件，A不符合题意；
对于B，若OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
5
OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
5
OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2
5
OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2
5
(OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1
5
(OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2
5
(OC
⃗⃗⃗⃗⃗ −OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，
所以AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2PB
⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P，A，B，C四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得ka→+b→=(−k,k+2,2k+3)，2a→−b→=(−2,0,1)，
若ka→+b→与2a→−b→垂直，则(ka→+b→)⋅(2a→−b→)=2k+2k+3=0，解得k=−3
4
，
C符合题意；
对于D，由题意AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,0,2)，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3,0)，
则 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+4=√29 , cosA =AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20529=4√29
29 , 所以 sinA =√1−cos 2A =√1329
,
所以 AC 边上的高 |BD|=|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =√29×√1329=√13 ,D 符合题意. 故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A
错误；由空间向量的线性运算转化条件为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ 由此即可判断出选项B 正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C 正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合|BD|=|AB →
|sinA 即可判断出选项D 正确；由此得出答案。

10．【答案】A,B
【解析】【解答】对于A ：若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→
或 b →
=0→
或 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，即 a →=0→
或 b →
=0→
或 〈a →,b →
〉=
π
2 ，A 符合题意；
对于B ：由 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为 13+2
3=1 ，所以 A ， B ， C 三点共线，B 符合题意；
对于C ：向量的数量积运算不满足结合律，C 不正确； 对于D ： cos〈a
,b ⃗ 〉=a
⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a
⃗⃗ ||b ⃗⃗ |=
−2+x+4x
√2+x 2⋅√4+x 2+16
，当 〈a →
,b →
〉 为钝角或 180° 时， cos〈a ,b ⃗ 〉=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a ⃗⃗ ||b ⃗⃗ |=−2+x+4x √2+x 2⋅√4+x 2+16<0 ，解得： x <25
， 故若 x <25
，则 〈a →,b →
〉 为钝角或 180° .D 不正确； 故答案为：AB.
【分析】由数量积的性质即可判断出选项A 正确；由向量共线定理即可判断出选项B 正确；由数量积的运算
性质即可判断出选项C 错误；由数量积的坐标公式求出夹角的余弦值代数式，由已知条件即可得出cos⟨a →,b →
⟩<
0由此求解出x 的取值范围，但是有一种特殊情况180°时上述范围也成立，进而得出选项D 错误；由此得出正确答案。

11．【答案】B,C
【解析】【解答】根据题意知：点 B 1 的坐标为 (4,5,3) ，A 不符合题意；
B 的坐标为 (4,5,0) ，
C 1 坐标为 (0,5,3) ，
故点 C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3) ，B 符合题意； 在长方体中 AD =BC 1=√AD 2+AA 1
2
=5=AB ，
所以四边形 ABC 1D 1 为正方形， AC 1 与 BD 1 垂直且平分， 即点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 C 1(0,5,3) ，C 符合题意； 点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,5,0) ，D 不符合题意； 故答案为：BC.
【分析】用空间点的对称线即可得出答案。

12．【答案】A,C
【解析】【解答】对A ，存在实数 λ=−√2 ，使 (1,1,0)=−√2(−√22,−√22,0) ，且 |(−√22,−√
22
,0)|=
√12+12
=1 ，正确；
对B ，不存在实数 λ ，使 (1,1,0)=λ(0,1,0) ，错误；
对C ，存在实数 λ=√2 ，使 (1,1,0)=√2(√22,√
22
,0) ，且 |(√22,√22,0)|=√12+12=1 ，正确；
对D ， |(−1,−1,0)|=√1+1=√2 ，不是单位向量，错误. 故答案为：AC.
【分析】根据共线向量的坐标表示逐一代入验证即可.
13．【答案】1，3
【解析】【解答】 ∵ a ⃗ ， b ⃗ 同向 ∴ a ⃗ //b
⃗ ∴ x 1=x 2
+y−22=y 3
， 即 {y =3x
x 2
+y −2=2x
． 得 x =−2 或 x =1 ． 当 x =−2 时， y =−6 ； 当 x =1 时， y =3 ．
①当 {x =−2y =−6 时， b ⃗ =(−2,−4,−6)=−2a ⃗ ，
此时 a
⃗ ， b ⃗ 反向，不符合题意，所以舍去． ②当 {x =1y =3 时， b ⃗ =(1,2,3)=a ⃗ ，此时 a
⃗ 与 b ⃗ 同向，
∴ {x =1y =3 故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x 与y 的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。

14．【答案】1
【解析】【解答】∵向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1），
∴a ⃗ ⋅b ⃗ =− 2+λ+2＝λ， |a |=√12+λ2+22=√5+λ2 ， |b ⃗ |=√(−2)2+12+12=√6 ． 又 a ⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16
，∴16=a
⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a ⃗⃗ ||b ⃗⃗ |=λ
√5+λ⋅√6 ，可知λ＞0． 解得λ＝1． 故答案为：1．
【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式即可得出a →⋅b →
关于λ的代数式，结合空间向量模的定义计算出λ的值，再由数量积的运算公式计算出夹角的余弦值由此得出λ的值即可。

15．【答案】−35；7
10
【解析】【解答】 a ⃗ ⋅b ⃗ =3(μ+1)+0+2μ=0 ，故 μ=−35
； a ⃗ //b ⃗ ，则 a ⃗ =mb ⃗ ，即 (3，2λ−1，1)=m(μ+1，0，2μ) ，故 {3=m(μ+1)2λ−1=01=2mμ ，解得 {λ=12
μ=1
5 故 λ+μ=7
10
.
故答案为： −3
5 ； 710 .
【分析】首先由数量积的空间坐标公式结合已知条件计算出μ的值，再由共线向量的空间坐标公式计算出 λ 和μ的值即可。

16．【答案】3
【解析】【解答】因为 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，
所以 λa +b ⃗ =(4,1−λ,λ) ， 可得 16+(1−λ)2+λ2=29 ， 因为 λ>0 ，解得 λ=3 ，故答案为3.
【分析】由空间向量的坐标运算求出λa +b
⃗ =(4,1−λ,λ)。

再结合结合向量模的定义计算出结果即可。

17．【答案】（1）解：因为点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心 所以 O(0,0,0),E(1,12,1),F(1,0,12),G(12,1,1
2
)
所以 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,1),OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,12),FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12
,1,0) （2）解：由（1）可得 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG
⃗⃗⃗⃗⃗ =(32⋅32,32)⋅(−12,1,0)=32×(−12)+32×1+32×0=34
又由 EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−12) ，所以 |EG
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−12)2+(12)2+(12)2=√32
【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐
标。

(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再由空间向量模的定义即可求出|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值。

18．【答案】（1）解：由题意，点 B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) 且点D 为线段 BC 的中点， 可得 D(1,2,1) ，则 AD
⇀=(1,1,−1) ，所以 |AD ⇀|=√1+1+1=√3 ， 即线段 AD 的长为 √3
（2）解：由点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ，则 AB
⇀=(1,−2,1) ， 所以 AB
⇀⋅AD ⇀=2−2a +1=1 ，解得 a =1 ，所以 AD ⇀=(2,1,1) ， 则 cos〈AB ⇀,AD ⇀〉=AB ⇀⋅AD ⇀
|AB
⇀||AD ⇀|=1√6×√6
=1
6 ， 即向量 AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为 16
【解析】【分析】(1)根据题意由空间的斜率坐标公式计算出中点的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结
果即可。

(2)首先由空间点的坐标求出向量的坐标再由空间数量积的坐标公式代入数值计算出夹角的余弦值由此即可得出向量的夹角。

19．【答案】（1）解：由已知得： a ⃗ =（0,1,−1）,b ⃗ =（2,2,1） |b ⃗ |=3 ，则 b 0⃗⃗⃗⃗ =（23,23,13）
（2）解： 2a −b ⃗ =(−2,0,−3) ， |2a −b ⃗ |=√13 −3a =(0,−3,3) ， |−3a |=3√2
（3）解： cos <a ,b ⃗ > =a ⃗⃗ ·b ⃗⃗ |a ⃗⃗ ||b ⃗⃗ |
=√26
（4）解： OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 |OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <a ,b
⃗ > ， |OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <a ,b
⃗ >=3×√2
6
=
√2
2
点B 到直线OA 的距离 d =√|OB|2−(22)2=√342
【解析】【分析】(1)结合空间向量的坐标运算由向量模以及单位向量的公式代入数值计算出结果即可。

(2)结合空间向量坐标的运算以及向量模的公式代入数值计算出结果即可。

(3)由向量投影的公式代入数值计算出投影再由三角形内的几何计算关系计算出距离的值即可。

20．【答案】解：（Ⅰ）由题意有： A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(2,2,0)
D(0,2,0) ， P(0,0,2) ， E(0,1,1)
（Ⅱ）∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1) ， ∴|CE
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2)2+(−1)2+1=√6 【解析】【分析】（Ⅰ）利用空间直角坐标系的性质能求出点A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．（Ⅱ）先求出向量 CE
⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求 |CE ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的长。