第一章n阶行列式

第一章 n 阶行列式
§1 全排列及逆序数
解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为
11
12
2122
a a a a =a 11a 22-a 12a 21， (1-1)
111213
21222331
32
33
a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32 -a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 1２a 2１a 33， （1-２）
其中元素a ij 的两个下标i 与j 分别表示a ij 所在的行与列的序数. 我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.
定义1 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称排列).
有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n 级排列的总数是n (n -1)(n -2)·…·2·1=n !，读为“n 阶乘”.
显然12…n 也是一个n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.
定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与 大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
一个排列j 1j 2…j n 的逆序数，一般记为τ(j 1j 2…j n ).
排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即τ(213)=1.进一步我们有以下定义.
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列. 现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律： (1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端
的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.
(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)式右端各项可写成123123j j j a a a ，这里j 1j 2j 3是1、2、3的一个三级排列，当j 1j 2j 3为偶排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为正，当j 1j 2j 3为奇排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J
，其中J=τ（j 1j 2j 3）为排列j 1j 2j 3的逆序数.从而(1-2)式可写为
123123123
111213()
21222312331
32
33
(1)
j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑，
123
j j j ∑
表示对全体三级排列求和.
例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（2） 135…（2n -1）246…(2n ).
解（1） 对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排列.
(2) 同理可得：
τ[135…(2n -1)246…(2n )]=0+(n -1)+(n -2)+…+2+1=
(1)
2
n n +. 所给排列当n =4k 或4k +1时为偶排列，当n =4k +2或4k +3时为奇排列.
§2行列式的定义
定义4 n 阶行列式
11121212221
2
n n
n n nn
a a a a a a a a a
等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
12
12n j j nj a a a （1-3）
的代数和，这里j 1j 2…j n 是1，2，…，n 的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1-3）带有正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成
121212
11121()
21222121
2
(1)
n n n
n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
， (1.4)
这里
12
n
j j j ∑
表示对所有n 级排列求和.
例2 计算四阶行列式
11
212231323341
42
43
44
000000a a a D a a a a a a a =
.
解 根据定义，D 是4!=24项的代数和，但每一项的乘积
1234
1234j j j j a a a a 中只要有一个
元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除a 11外全为0，故只需考虑j 1=1，第2行元素中只有a 21,a 22不为0，现已取j １=1，故必须取j ２=2，同理必须取j 3=3，j 4=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是
11223344a a a a ，而列标排列
1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式11223344D a a a a =.
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即i <j 时元素a ij =0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零(即i >j 时元素a ij =0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即i ≠j 时元素a ij =0)的行列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即
11
22
1122nn nn
a a D a a a a =
=.
例3 证明
11
121(1)2
12,11,211,11,2
1
(1)
n
n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a -----=
=
-.
上面的行列式中，未写出的元素都是0.
证 由于行列式的值为：
12
12
12(1)n n
J
j j nj j j j a a a -∑
，只需对可能不为0的乘积
12
12(1)n J j j nj a a a -求和，考虑第n 行元素n nj a ，知j n =1，再考虑第n -1行元素a n -1,j n -1，知
j n -1=1或j n -1=2，由于j n =1知j n -1=2，如此类推j 2=n -1,j 1=n ,排列j 1j 2…j n 只能是排列n (n -1)…21,它的逆序数为J=(n -1)+(n -2)+…+2+1=n (n -1)2,所以行列式的值为
(1)2
12,1
1,21(1)
n n n n n n a a a a ----.
由此可见
11
121314
21221314233241313241
000
a a a a a a a D a a a a a a a =
=. 例4 设
11111111111
1
000
0k k kk k
n n nk
n nn
a a a a D c c
b b
c c b b =
，
11
111
k
k kk a a D a a =
，11
121n
n nn
b b D b b =
，
证明D =D 1D 2.
证 记 11
1,,1
,k n
k n k n k n
d d D b b ++++=
，
其中
d ij =a ij (i ,j =1,2,…，k )； d k +i ,k +j =b ij (i ,j =1,2,…，n )； d i ,k +j =0 (i =1,2,…，k ; j =1,2,…，n ).
考察D 的一般项12
121,1,(1)k k k R
r r kr k r k n r n d d d d d ++++-，R 是排列12
1k k k n rr r r r ++的逆序
数，由于,0i j k d += (i =1,2,…，k ; j =1，2，…，n )，因此12,,,k r r r 均不可大于k 值，否则
该项为0，故12,,
k r r r 只能在1，
2，…，k 中选取，从而1,2,,k k k n r r r +++只能在k +1,k +2,…,k +n
中选取，于是D 中不为0的项可以记作
12
121212(1)k n R p p kp q q nq a a a b b b -，
这里i i p r =,i k i q r k +=-, 1i r k ≤≤, 1k i k r k n ++≤≤+，R 也就是排列
121()()k n p p p k q k q ++的逆序数，以P ，Q 分别表示排列12k p p p 与12
k q q q 的逆
序数，则有R=P+Q ，于是
12121
1121,2,,(1)
k n k n
P Q
p p kp q q n q p p q q D a a a b b b +=-∑∑
12
12
1
1121,2,,(1)
((1))k n k
n
P
Q p p kp q q n q p p q q a a a b b b =--∑∑
12
1
122(1)k k
P p p kp p p a a a D =
-∑
12D D =.
§3对换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换(邻换).
定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.
设排列为1
112i i i i n p p p p p p -++，对换i p 与1i p +排列变为1112i i i i n p p p p p p -++，
显然1
12i i n p p p p -+这些数的逆序数经过对换并不改变，仅i p 与1i p +两数的逆序数改变：
当1i i p p +<时，经对换后，1i i p p +是逆序，新排列的逆序数增加1，当1i i p p +>时，1i i p p +不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列1
112i i i i n p p p p p p -++与排列
1112i i i i n p p p p p p -++的逆序数相差1，奇偶性改变.
下证一般对换的情形. 设排列为1
1112i i i i m i m i m n p p p p p p p p -++++++，对换i p 与1i m p ++,把i p 往后连续作
m 次相邻对换，排列变为111
12
i i i m i i m i m n p p p p p p p p -++++++，再把1i m p ++往前连续作
1m +次相邻对换，排列变为1
1112
i i m i i m i i m n p p p p p p p p -++++++，从而实现了i p 与
1i m p ++的对换，它是经21m +次相邻对换而成，排列也就改变了21m +次奇偶性，所以两个
排列的奇偶性相反.
由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式中乘积11223344a a a a 可以写成22114433a a a a ，一般n 阶行列式中乘积1212n j j nj a a a 可以写
成1122
n n p q p q p q a a a ，其中12
n p p p 与12n q q q 都是n 级排列.
定理2 n 阶行列式的一般项可以写成
1122
(1)n n S T p q p q p q a a a +-，
其中S 与T 分别是n 级排列12
n p p p 与12n q q q 的逆序数.
证 该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n 级排列12
n
p p p 与12
n q q q 同时改变奇偶性，于是S +T 的奇偶性不变，如果将排列12
n p p p 对换为自然顺
序12…n (逆序数为0)，排列12n q q q 也相应对换为12
n j j j (逆序数为J )，则有
1122
12
12(1)(1)n n n S T J p q p q p q j j nj a a a a a a +-=-.
由定理2可知，行列式也可定义为
12
12
112211
12121222()()
1
2
(1)n n n n n n p p p q q q p q p q p q n n nn
a a a a a a D a a a a a a ττ+=
=-∑. （1.5）
若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为12
n i i i ，于是行列式
又可定义为
121212
11
12121222()
121
2
(1)n n n
n n i i i i i i n i i i n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ
=
=
-∑. （1.6）
§4行列式的性质
记
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
，
11
2111222212n n n
n
nn
a a a a a a D a a a '=
，
行列式D ′称为行列式D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 记
11
1212122212
n n n n nn
b b b b b b D b b b '=
，
即ij ij b a = (i ,j =1,2,…，n )，按行列式定义
121212
()
12(1)n n n
j j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑
12
1212
()
12
(1)n n n
j j j j j j n j j j b b b D τ=
-=∑
.
性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有.
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式反号. 证
11
111212221
p q n p q n n np nq nn a a a a a a a a D a a a a =
，
交换第p ，q 两列得行列式
11
1112122211
q p n q p n n nq
np
nn
a a a a a a a a D a a a a =
. 将D 与D 1按(1-6)式计算，对于D 中任一项
1212
(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -
其中I 为排列1
p q n i i i i 的逆序数，在D 1中必有对应一项
11212
(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -
（当j ≠p,q 时，第j 列元素取j i j a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取p
i p a )，其中1I 为排列
1q p n i i i i 的逆序数，而
1
p q n i i i i
与
1q
p n i i i i
只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I
-相差一个符号，又因
12121212
(1)q p n p q n I i i i q i p
i n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,
所以对于D 中任一项，D 1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与D １的项数相同，所以D =-D 1.
交换行列式i ，j 两行记作r(i ，j )，交换行列式i ，j 两列，记作c(i ，j ). 推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.
性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作r(i (k ))［c(i (k ))］.
推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面. 性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如
1112121
22211
22
1
2
n n i i i i in
in
n n nn
a a a a a a D a a a a a a a a a =
'''+++，
则行列式D 等于下列两个行列式之和：
11
1211112121
2222122212121
2
1
2
n n n n i i in i i
in n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =
+
'''.
性质6 把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列
式的值不变.
例如，以数k 乘以第i 行（列）上的元素加到第j 行(列)对应元素上,记作
()()r j i k +()()()c j i k +，有
111211112112121211
22
1
2
1
1
[()]()
n n
i i in
i i in
j j jn j j j j jn jn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++性质3—性质6的证明请读者自证.
例5 计算四阶行列式
0000
00
b b b b D a a b a b a
--=
.
解
()()()()22200000
3110000002(4)
002024210
02b b b c b b b b a b
D b a b a a b a a b b b a c a b a a b a
-+-=
=⋅=--+.
例6 计算行列式
a c
b d
c a b d
D c a d b a
c d b
=
. 解
()()()()3210.0
041100a
c b
d r c a b d
D
d b b d r d b b d
+-=--+---.
§5行列式的计算
定义6 在行列式
111
111
j
n i ij in n nj
nn
a a a a a a a a a 中划去元素aij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2
个元素按照原来的排法构成一个n -1阶的行列式
111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1
,1
,1
j j n i i j i j i
n i i
j i j i n n n j n j nn
a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+
称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记
(1)i j ij ij A M +=-，
ij A 叫做元素ij a 的代数余子式.
由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关.
引理 在n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行 列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即
ij ij
D a A =.
证 先证1,1i j ==的情形.即
11
21222321
2
3
000n n n n nn
a a a a a D a a a a =
23
23
23
()
1123(1)n n n
j j j j j nj j j j a a a a τ=
-∑
23
23
23
()
11
23(1)n n n
j j j j j nj j j j a a a a τ=-∑
21
2223233311
2
3
n
n n n nn
a a a a a a a a a a =
11111111111111(1)a M a M a A +==-=.
对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论.
定理3 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1122i i i i in in D a A a A a A =++
+（i =１，２，…，n ）
或
1122j j j j nj nj D a A a A a A =++
+（j =１，２，…，n ）.
证
11
12
1121
200
000
00n
i i in n n nn
a
a a D
a a a a
a
a =
++
++++
++
++
1112111
121111211
21
2
1
2
1
2
00000n
n n i i
in n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++.
我们称定理3为行列式的按行（列）展开处理，也称之为拉普拉斯（Laplace ）展示定理. 例7 计算行列式
2004310050100
232
D =
. 解 由定理3知
1114100
310
2(1)0104(1)501232033D ++=⋅-+⋅-
224(615)88=⨯-⨯--=.
例8 计算行列式
00000000a b a b D a b b
a
=
. 解 41440
00
(1)0000a b b D a a b b a b a b a a b
+=+-=- 例9 计算行列式(加边法)
1111
1111
11111111x x D y y
+-=
+-. 解 当x=0或y=0时，显然D =0，现假设x ≠0且y ≠0，由引理知
11111
011110111
1011110
1111x D x y y +=
-+-
()()
111111000111
0002,3,4,51
0001
x r i x i y y
-+---=--- 2211211111
1130
000
00010
0001400
115c x c x
x x y x y c y y
c y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫+- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭. 例10 证明范德蒙（V an der mo n de ）行列式
1
2
3
2
22212
3
11
1
111231111()n
n n i j j i n
n n n n n
x x x x V x x x x x x x x x x ≤≤≤----==
-∏
,
其中连乘积
2131132212211()()()()()()()()()
i j n n n n n n n n j i n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----≤≤≤-=--------∏
是满足条件1≤j <i ≤n 的所有因子()i j x x -的乘积.
证 用数学归纳法证明.当n =2时，有
22112
1
2
11()i j j i V x x x x x x ≤≤≤=
=-=
-∏
,
结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.
在V n 中，从第n 行起，依次将前一行乘-x 1加到后一行，得
2132122133212
2
2
221332111110
0()
()
(
)
()
()
()
n n n n n n n n n n n n x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=
------按第1列展开，并分别提取公因子，得
2
3
2
2221312
3
2
2223111()()
(1)n
n n n n n n n
x x x V x x x x x x x x x x x ---=---
上式右端的行列式是n -1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得
21312()()
(1)
()n n i j j i n
V x x x x x x x ≤≤≤=----∏
,
所以
1()n i j j i n
V x x ≤≤≤=
-∏
.
推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数 余子式乘积之和等于零，即
11220i j i j in jn a A a A a A ++
+= (i ≠j )
或
11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).
证
1111
112211
n
i in
j j j j
jn jn j jn n nn
a a a a a A a A a A a a a a ++
+=
.
当i ≠j ，因为jk A 与行列式中第j 行的元素无关，将上式中的jk a 换成ik a （k =1，2，…，n )，有
1111
112211
0n i in
i j i j
in jn i in n nn
a a a a a A a A a A a a a a ++
+=
=. 同理可证
11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).
综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：
1,,
0,;n
ik jk k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩
∑当当 或
1,,
0,.n
ki kj
k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩
∑当当 例11 计算n 阶行列式(递推公式法)
1
2
2
1
10
00
10000000001n n
n n x
x x D x a a a a x a ----=
-+.
解 由行列式n D 可知，111D x a x a =+=+.
将n D 按第1列展开
11
2
3
2
1
10
0010000
100100(1)0
0000010
1
n n n n n n x x x
D x
a x x a a a a x a x
+-------=+--+-， 即1n n n D xD a -=+.
这个式子对任何n (n ≥2)都成立，故有
121()n n n n n n D xD a x xD a a ---=+=++
221n n n x D a x a --=++=
12121n n n n x D a x a x a ---=++
++
12121n n n n n x a x a x a x a ---=+++
++
例12 求方程()0f x =的根，其中
121242()364148252
x x x x x x x x
f x x x x x x x x x ------=
--------. 解 由观察可知0x =是一个根，因为0x =时，行列式第1、2列成比例，所以(0)0f =.要求其他根需展开这个行列式，将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，结合例4，即得
11012201()33124412
x x f x x x x ----=
------ 11002
200
33114
412
x x x x x ----=
--------
1111
2212
x x x ----=
⋅
---- (1)x x =-+.
所以方程()0f x =有两个根：0与-1.
§6克莱姆法则
由二元、三元线性方程组的克莱姆法则，我们有n 元线性方程组的克莱姆法则. 克莱姆法则 如果线性方程组
11112211211222221122,,n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=
⎩ （1-7）
的系数行列式不等于零，即
11
11
0n
n nn
a a D a a =
≠，
那么，方程组(1.7)有惟一解
1212,,,,n
n D D D x x x D D
D
=
==
（1-8） 其中j D （j =１，２，…，n )是把系数行列式D 中的第j 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即
11
1,111,11212,222,221
,,j j n j j n j n n j n
n
n j n
nn
a a
b a a a a b a a D x
a a
b a a -+-+-+=.
证明
（1） 把方程组(1-7)简写为
1
,1,2,
,n
ij j
i j a x
b i n ===∑.
把(1-8)式代入第i 个方程，左端为
1
11n
n
j
ij ij j j j D a a D D D ===∑∑. 因为
11221
n
j j j n nj s sj s D b A b A b A b A ==++
+=∑，
所以
11111
111n n n
n n
ij j ij s sj ij sj s j j s j s a D a b A a A b D D D =======∑∑∑∑∑
1111
11()n n n n
ij sj s ij sj s s j s j a A b a A b D D ======∑∑∑∑
1
i i Db b D
=
=. 这相当于把(1-8)式代入方程组(1-7)的每个方程使它们同时变成恒等式，因而(1-8)式确为方程组(1-7)的解.
（2） 用D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A 依次乘方程组(1-7)的n 个方程，
再把它们相加，得
111
1
1
1
()()()n
n
n n
k kj kj kj j kn kj n k kj k k k k a A x a A x a A x b A ====+
++
+=∑∑∑∑.
于是有
j Dx D = (1,2,
,)j n =.
当D ≠0时，得解一定满足(1-8)式. 综上所述方程组(1-7)有惟一解. 例13 解线性方程组
1234124
2341234258,369,225,4760.
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨
-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解
215113062702121476D ---==--,
1815193068152120476D ---==---,
22851190610805121076
D --==----,
3218113962702521406D --==--,
4215813092702151470
D --==---.
于是方程组有解
12343,4,1,1x x x x ==-=-=.
克莱姆法则亦可叙述为
定理4 如果线性方程组(1-7)的系数行列式D ≠0，则方程 组(1-7)一定有解，且解是惟一的.
它的逆否命题如下
定理4′如果线性方程组(1-7)无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为零(D =0).
特别地，当方程组右边的常数项全部为零时，方程组(1-7)称为齐次线性方程组
1111221211222
211220,0,0.
n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪++
+=
⎩ （1-9）
它总有解120,0,
,0n x x x ===，称为齐次线性方程组(1-9)的零解.
若一组不全为零的数，它是齐次线性方程组(1-9)的解，则称它为齐次线性方程组(1.9)
的非零解.由定理4知
定理5 如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组(1-9)没有非零解.
推论 如果齐次线性方程组(1-9)有非零解，则齐次线性方程组(1-9)的系数行列式必为零.
在第四章我们会进一步证明，如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式为零，则齐次线性方程组(1-9)有非零解.
例14 问λ为何值时，齐次线性方程组
1231213(5)220,2(6)0,2(4)0
x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩
（1-10）
有非零解?
解 方程组的系数行列式为
522
260(5)(2)(8)2
4D λλλλλλ
-=
-=----. 若方程组(1.10)有非零解，则它的系数行列式0D =,从而有λ=2,λ=5,λ=8,容易验证，当λ=2，λ=5或λ=8时，齐次线性方程组(1-10)有非零解.
例15 求4个平面0(1,2,3,4)i i i i a x b y c z d i +++==相交于一点000(,,)x y z 的充分必要条件.
解 我们把平面方程写成
0i i i i a x b y c z d t +++=,
其中1t =，于是4个平面交于一点，即,,,x y z t 的齐次线性方程组
11112222
333344440,0,0,0.
a x
b y
c z
d t a x b y c z d t a x b y c z d t a x b y c z d t +++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 有惟一的一组非零解（000,,x y z ,1），根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0，即4个平面相交于一点的充分必要条件为
1111
2222
33334
4
4
4
0a b c d a b c d a b c d a b c d =.
本章小结与补充
行列式在教学中有着重要的作用，在本书的后续部分是一个有力的工具.
为了引进n 阶行列式的定义，揭示行列式中各项符号的规律，我们介绍了全排列及逆序数的概念。

由于在确定行列式中项的符号时，需要计算排列的逆序数，要求读者能熟练地掌握逆序数的计算方法。

一般来说，计算排列逆序数的方法有两种，第一种方法：分别计算出排在1，2，，n-1,n 前面比它大的数码之和，即分别求出1，2，，n-1,n 这n 个元素的逆序数，则这n 个元素的逆序数之总和即为这个n 级排列的逆序数.第二种方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即分别求出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和即为这个排列的逆序数.
行列式的计算是行列式理论中的一个重要问题.关于n 阶行列式的计算，除了应用定义
计算外，还有以下几种常见的方法：
1.化三角形法：
我们知道，上三角形行列式或下三角形行列式的值等于它的主对角线上各元素的乘积.所谓化三角形法，也就是利用行列式的性质将原行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式来进行计算.
2.降阶法：
所谓降阶法，也就是利用行列式的按行（列）展开处理（第一章§5定理3）将行列式展开降阶.通常先利用行列式的性质把原行列式的某行（列）的元素尽可能多地变为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个，然后再按该行（列）展开降阶后进行计算.
3.加边法：
所谓加边法，也就是把行列式添加一行和一列，使升阶后的行列式的值保持不变.一般来讲，如果一个n 阶行列式n D 除主对角线上的元素外，每一行（列）的元素分别是n-1个元
素
1
a ,
2
a ,,
1i a -1
i a +,,
n
a 的倍元，即为
i k 1a ,i k 2a ,
,i k 1i a -,i k 1i a +,,()1,2,i n k a i n =,则可添加第1行列的元素依次为
1,1a ,2a ,
,1i a -1i a +,
,n a ,第一列（行）的元素依次为1,0,
,0,将n D 转化为1
n D +进行计算（如第一章§5 例9）.
计算行列式的方法比较灵活，除了上面介绍的几种方法外，还可以利用递推法、数学归纳法以及范德蒙行列式等来计算行列式的值.有的行列式计算需要几种方法综合利用.在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行交换后，再考察它是否能用常用的几种方法.
作为行列式的一个直接应用，我们给出了克莱姆法则，但需要指出的是：用克莱姆法则的前提是线性方程组的方程个数与未知数个数要相符且系数行列式不等于零.当系数行列式等于零时，线性方程组可能有无穷多个解，也可能无解，这一点我们将在第四章中展开讨论.
由于行列式的计算工作量大，在系数行列式的阶数较大时用克莱姆法则解线性方程组是不适用的，克莱姆法则主要用于理论推导的论证方面.
习 题 一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2.
2. 求出,j k 使9级排列24j 157k 98为偶排列.
3. 写出四阶行列式中含有因子2234a a 的项.
4. 写出行列式4512312123122x x x D x x x
=的展开式中包含3x 和4
x 的项.
5. 用定义计算下列各行列式.
(1) 0200
0010
3000
0004
； (2)
1230
0020
3045
0001
.
6. 计算下列各行列式.
(1) 2141
3121
1232
5062
-
--
-
-
； (2)
ab ac ae
bd cd de
bf cf ef
--
--
---
；
(3)
100
110
011
001
a
b
c
d
-
-
-
； (4)
1234
2341
3412
4123
.
7. 证明下列各式.
(1)
22
3 22() 111
a a
b b
a a
b b a b
+=-；
(2)
2222
2222
2222
2222
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d
+++
+++
=
+++
+++
；
(3)
232
232
232 11
1()1
11
a a a a
b b ab b
c ca b b
c c c c
=++
(4)
2
00
00
()
00
00
n n
a b
a b
D ad bc
c d
c d
=-；
(5)
1
2
11
111
1111
1
111
n
n
i
i i
i
n
a
a
a
a
a
==
+
+⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
+
∑∏()
0,1,2,,
i
a i n
≠=.
8. 计算下列n阶行列式.
(1) 111111
n x x D x
=
(2) 122
2222
222
3
2222
n D n
=； (3)00
00
00
0000
0n x
y x y D x y y x
=
;
(4) n ij D a =其中(,1,2,
,)ij a i j i j n =-= ；
(5) 2100
01
21
000120000021000
12
n D =
.
9. 计算n 阶行列式.
1
2121
2
111n n n n
a a a a a a D a a a ++=
+.
10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,
,i a i n ≠=）.
11
11
123222211
22
33
22221122331
11
112
3n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
a a a a a
b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=
.
11. 已知4阶行列式
41234334415671122
D =
; 试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式.
12. 用克莱姆法则解方程组.
(1) 123123412342345,21,22,23 3.
x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 12123234345
45561,
560,
560,560,
5 1.
x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪
++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
1231231
230,
0,20
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?
14. 问：齐次线性方程组
12341234
123412340,20,30,0
x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨
+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？
15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得
(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====
16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.。