八年级上教案《全等三角形辅助线作法》

八年级上教案《全等三角形辅助线作法》
全等三角形常用辅助线作法
一、倍长中线（或类中线）法：
若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

1、基本模型：
（1）
△ABC中AD 是BC边中线
方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A 方式2：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE
方式3： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD
经典例题
例1、（核心母题） 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
E
D F C
B A
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
E
D C
B
A
变式练习
1、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

3、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

F
C
A
D
4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC
上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。

二、截长补短法
截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线
B
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

例1、（核心母题）如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，
求证：AB=AD+BC．
例2、已知：如图，ABC
∆是等边三角形，120
BDCο
∠=，
求证：AD BD CD
=+.
A
B C
D
例3、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP
平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC
于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

变式练习
1、已知四边形ABCD中，AB BC
=，60
ABCο
∠=°，P为
四边形ABCD的对角线BD上一
点，且120
APDο
∠=，求证：
PA PD PC BD
++=
P
B
D
C
A
2、如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为
ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD
3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB
4、已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－2
1∠BDC ，求A
C
D E
O
证：AB=BD ＋DC 。

三、角平分线、中垂线法
角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

例1、（核心母题）
在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．
求证：AB AC PB PC ->-．
C
D B P
A
例2、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC
边的中点，AD为∠BAC的平分线，
过E作AD的平行线，交AB于F，交CA 的延长线于G．
求证：BF=CG．
例3、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．
变式练习
1、如图所示，在ABC
∆中，AD是BAC
∠的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB PC
+与AB AC
+的大小，并说明理由．
D
P
C
B
A
2、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：
（1）AC-BE=AE；
（2）AC=2BD．
3、如图，在ABC
∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD
∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG CF
=，
求证：AD为BAC
∠的角平分线．
F
G
E D C
B
A
四、角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法
角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

例1、（核心母题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，
求证：EF=BE+DF.
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，
（1）求证：EF=BE+FD
（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。

例3、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°
求证：AD平分∠CDE.
变式练习
1、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，∠EAQ=45°，AH ⊥EF ，求证：AH=AB.
2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN=
45②.AB
C
CMN
2=∆③.AM 、AN 分别平
分∠BMN 和∠DNM.
3、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长是AB 的2倍，求∠KDN 的度数？
4、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．。