最新北师大版数学五年级上册知识点总结及配套练习
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北师大版数学五年级(上册)各单元知识点
第一单元小数除法
1、除数是整数的小数除法计算法则:
①除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除;
②商的小数点要和被除数的小数点对齐;
③如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”再继续除。
2、除数是小数的小数除法计算法则:
①除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;
②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足);
③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3、在小数除法中的发现:
①当除数大于1时,商小于被除数。
如:3.5÷5=0.7
②当除数小于1时,商大于被除数。
如:3.5÷0.5=7
4、小数除法的验算方法:
①商×除数=被除数(通用)
②被除数÷商=除数
③被除数÷除数=商
5、商的近似数:
①计算时,比要求保留的小数位数多除一位,再根据“四舍五入”法保留小数位数,求出商的近似数。
例如:要求保留一位小数的,商要除到第二位小数就可以停下来;要求保留两位小数的,商除到第三位小数停下来……如此类推。
②在解决实际问题取商的近似数时,要结合实际情况用“去尾”法或者“进一”法。
6、循环小数问题:
①小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
如:0.37、1.4135等。
②小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
如:5.3……、7.145145……等。
③一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
(如5.3……、3.12323……、5.7171……)
④一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。
(如5.333……的循环节是3,4.6767…的循环节是67,6.9258258…的循环节是258)
7、用简写循环小数的方法:
①只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。
例如:只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点,5.333…写作•3.5;
有两位小数循环节的,就在这两位数字上面记上小圆点,7.4343…写作
••3 4.7
有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小数点,10.732732…写作
•
•
2
3
7.
10
8、除法中的变化规律:
①商不变性质:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外),商不变。
②除数不变,被除数扩大,商随着扩大。
③被除数不变,除数缩小,商扩大。
配套练习题:
1、6.4÷0.004的商的最高位是在()位上。
2、在括号里填上适当的数
()×0.8=3.32 0.175÷()=0.25 2.024÷()=20.24÷4 3、20÷3的商可以记作(),保留一位小数是(),7.59595……保留三位小数是()。
4、两个数相除的商是 5.3,如果除数不变,要使他们的商是53,那么被除数必须()。
5、一个三位小数四舍五入后是 4.38,这个三位小数最小是(),最大是()。
6、4.5时=()分1时15分=()时
7、在3.14、•
41.3、
•
•
41.3、3.144中,循环小数有()个,最大的数是()。
8、用竖式计算
15.6÷0.25 9.6÷0.75 1.26÷18 0.756÷0.18
9、妈妈带6000元人民币到银行兑换泰铢,大约能换多少泰铢?(100泰铢兑换人民币19.67元)
10、循环小数0.425871425871……小数部分第1000位上的数字是几,前1000位的和是多少?
第二单元轴对称和平移
轴对称:
1.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,那么这条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点,也叫对称点。
2.轴对称图形的性质:对应点到对称轴的距离相等,对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4.轴对称图形的画法:
(1)找出所给图形的关键点,如图形的顶点、相交点、端点等;
(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离;
(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;
(4)按照所给图形的顺序连接各点,就画出所给图形的轴对称图形。
平移:
1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质:
(1)平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。
(2)经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法:
(1)确定平移的方向与距离。
(2)将关键点按所需方向平移所需距离。
(3)按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。
设计图案的基本方法:平移、对称、旋转
配套练习题:
1、下列日常生活现象中,不属于平移的是()
A.飞机在跑道上加速滑行
B.大楼电梯上上下下地迎送来客
C.时钟上的秒钟在不断的转动
D.滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑动
2、判断题:
①线段不是轴对称图形。
()
②对称轴是一条线段。
()
3、能通过左边的图形平移得到的是哪个?是的打“√”。
3、作图题:画下面图形的对称轴。
第三单元倍数和因数
知识点:
像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。
像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。
(一)因数与倍数
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数,倍数与因数是相互依存的关系,要说清谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
①概念:两个不为0的自然数相乘的积,是这两个自然数的倍数,这两个自然数是积的因数。
如:4×9=36,那么36就是4或者9的倍数,4或者9就是36的因数。
②在1~100的自然数中,找出某个自然数的所有因数。
方法一:运用乘法算式,思考:哪两个数相乘等于这个自然数。
(可以一对一对找)
方法二:用除法
例如 8 ,8÷1=8
8÷2=4
那么8的因数有:1、8、2、4
由此可知:一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;
③找一个数的倍数的方法——用乘法
例如 8 , 8×1=8 8×5=40
8×2=16 8×6=48
8×3=24 8×7=56
8×4=32 ……
那么8的倍数有:8、16、24、32、40、48、56、……
由此可知:一个数的因数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;
(一)2、5的倍数的特征
2的倍数的特征:个位上是 0 ,2 ,4 ,6 ,8 的数是2的倍数。
5的倍数的特征:个位上是 0 或 5 的数是5的倍数。
既是2的倍数,又是5的倍数的特征:个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。
(二)偶数和奇数的定义:
是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数。
(三)3的倍数的特征
3的倍数的特征:一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
补充知识点:
6的倍数的特征:既是2的倍数又是3的倍数的数。
9的倍数的特征:一个数各个数位上的数字的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
4(或25)的倍数的特征:如果一个整数的末两位数字组成的数是4(或25)的倍数,那么这个整数就能是4(或25)的倍数。
(四)理解质数与合数的意义:
①一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。
②一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。
【1既不是质数也不是合数】
1、自然数中最小的偶数是0,最小的奇数是1,最小的质数是2,最小的合数是4。
(五)互质:公因数只有1的两个非零自然数互质。
两个不同的质数一定互质,如2和3。
1和任意一个自然数(0除外)互质,如1和6。
相邻的两个自然数(0除外)一定互质,如1和2。
相邻的两个奇数一定互质,如1和3。
互质的两个数可以是一个质数、一个合数,如2和15。
互质的两个数,可以都是合数,如4和9。
(六)数的奇偶性
通过规律发现奇数、偶数相加奇偶性变化:
偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数
偶数-偶数=偶数奇数-奇数=偶数偶数-奇数=奇数奇数-偶数=奇数
偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数
(记忆技巧:把偶数看做 0 ,把奇数看做 1 )
配套练习题:
1、因为60÷()=(),所以()和( )是()的因数,()是( )
和( )的倍数。
2、有一个三位数15口,如果它是5的倍数,口里可以填();如果它是3的倍数,口里可以填();如果它同时是2,5的倍数,口里填()。
3、18=( )×( )=( )×( )=( )×( ),所以18的因数有()个,因数的个数是()的,最大的是(),最小的是()。
4、在括号里填入合适的质数:
22=()+()=()-(); 27=()×()×()5、有一堆棋子,2个2个数多1,3个3个数多1,5个5个数多1。
这堆棋子最少有多少个?
6、小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的很数,他们的年龄总和是48岁,他们中最小的是多少岁?最大的是多少岁?
第四单元多边形面积
(一)比较图形的面积
知识点:
确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。
(二)底和高:
1、认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
【高和底的关系是对应的】
①从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,对应的这条对边是平行四边形的底。
【平行四边形有无数条高】
②三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
【三角形有三个顶点,所以三角形有3条高】
③从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条
垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。
【梯形有无数条高】
(三)用三角板画出平行四边形的高的方法:
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合,让三角板的另一条直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。
注意:从一条边上的任意一点可以向它的对边画高,也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。
(四)用三角板画出图形的高的方法:
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点,另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上
的高。
(五)探索活动
知识点:
两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
平行四边形的面积——【S平行四边形=拼成的长方形的面积】长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。
因此:平行四边形面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,那么,平行四边形的面积公式可以写成:S=ah
补充知识点:
当平行四边形的底和高相同时,其面积也是相同的。
三角形的面积——【S三角形=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2】
三角形的底和高,也就是平行四边形的底和高。
因此:三角形面积=平行四边形的面积÷2
=底×高÷2
如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,那么,三角形的面积公式可以写成:S=ah÷2
补充知识点:
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。
梯形的面积——【S梯形=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2】梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底,梯形的高就是平行四边形的高。
因此:梯形面积=平行四边形面积÷2
=底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2
如果用S表示梯形的面积,用a和b分别表示梯形的上底和下底,用h表示梯形的高,那么,梯形的面积公式可以写成:S=(a+b)h÷2
补充知识点:
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。
配套练习题:
1、一个等腰梯形的面积是20平方米,高是4米,下底是3米,上底是()米。
2、一个平行四边形面积60平方厘米,底10厘米,高( )厘米,与它等底等高的三角形面积为()平方厘米。
3、将一个长方形的铁丝圈,拉成一个平行四边形,它的面积( )原来长方形面积。
A.大于
B.小于
C.等于
4、一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米,它们的面积是()平方分米。
A、3×4÷2 B、3×5÷2 C、4×5÷2
5、有一个平行四边形相邻的两条边分别为4厘米和6厘米,其中一条高是5厘米,这个平行四边形的面积是()平方厘米。
6、有一个面积为100平方厘米的正方形,每边都增加5厘米,这个正方形的面积增加了()平方厘米。
7、求阴影部分的面积
第五单元分数的意义
(一)分数的再认识
分数对应的“整体”不同,分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样,
也就是分数具有相对性。
(二)分数的意义
把整体“1”平均分成若干份,其中的一份或几份,可以用分数表示。
分母
是几,整体就被分成了几份,分子是几,就表示其中的几份。
把整体“1”平均分成若干份,其中的一份,用分数表示,叫作分数单位,
例如:21、31、41、5
1
、……
(三)分饼(分数的分类)
像
41、62、31、43
,…这样的分数叫作真分数
像23、33、45、49
,…这样的分数叫作假分数
像412,5
1
5这样的分数叫作带分数
带分数的读法:24
1
读作:二又四分之一。
★补充知识点:
分子是分母倍数的假分数可以化成整数。
分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
(四)分数与除法
分数的分母不能是0。
因为在除法中,0不能做除数,因此根据分数与除法的关系,分数中的分母相当于除法中的除数,所以分母也不能是0。
运用分数与除法的关系解决实际问题,用分数来表示两数相除的商。
(五)假分数化成带分数——根据分数与除法的关系:
用分子除以分母,把所得的商写在带分数的整数位置上,余数做分数部分的分子上,分母保持不变。
带分数化成假分数的方法:将整数×分母+分子做分子,分母不变。
(六)分数基本性质
分数的基本性质:分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律,来理解分数的基本性质。
分子相当于被除数,分母相当于除数,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小也是不变的。
运用分数的基本性质,把一个分数化成指定分母(或分子)而大小不变的分数。
(七)找最大公因数以及最小公倍数
公因数和最大公因数:几个数公有的因数是这几个数的公因数,其中最大的一个是它们的最大公因数。
公倍数和最小公倍数:两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数,其中最小的一个,叫做最小公倍数。
最大公因数的表示方法:(A,B )
最小公倍数的表示方法:[ A,B ]
找两个数的公因数和最大公因数的方法:
1、列举法:
①运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数;
②再找出两个数的因数中相同的因数,这些数就是两个数的公因数;
③再看看公因数中最大的是几,这个数就是两个数的最大公因数;
例如:找15和50的公因数和最大公因数:
15的因数有:1、15、3、5
50的因数有:1、50、2、25、5、10
公因数:1、5
最大公因数:5
2、筛选法:
先找出两个数中较小的数的因数,再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数,那么这些数就是这两个数的公因数,其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如:找15和50的公因数和最大公因数:
可以先找出15的因数:1、3、5、15,再判断4个数中,哪几个也是50的因数,只有1和5,那么1和5就是15和50的公因数,5就是它们的最大公因数。
3、分解质因数法:
用分解质因数的方法,分解15和50的质因数:
15=3×5 50=2×5×5
最大公因数=公有质因数的乘积=5
4、短除法:
5、特殊数字的最大公因数:
①如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的公因数只有1;
②如果两个数具有倍数关系,那么较小的数就是这两个数的最大公因数;
③偶数与所有奇数的最大公因数是1;
④如果两个数互质,那么这两个数的最大公因数就是1;
找两个数的公倍数和最小公倍数的方法:(与找最大公因数的办法雷同)两个数公倍数的个数是无限的,因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
1、列举法:
①先找出两个数各自的倍数(限制一定的范围内),
②再找出公有的倍数,
③再看看这些公倍数中最小的是几,这个数就是两个数的最小公倍数。
例如:找6和9的公倍数和最小公倍数:
6的倍数有:6、12、18、24、30、36、42、48……
9的倍数有:9、18、27、36、45……
公倍数:18、36、……
最小公倍数:18
2、筛选法:
先找出两个数中较大的数的倍数(限制一定的范围内),再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数,那么这些数就是这两个数的公倍数,其中最小的就是这两个数的最小公倍数。
例如:找6和9的公倍数和最小公倍数:
(50以内)可以先找出9的倍数(50以内)有:9,18,27,36,45,再从这些数中找出6的倍数18,36,18和36就是6和9的公倍数,18是最小公倍数。
3、分解质因数法:
用分解质因数的方法,分解6和9的质因数:
6=2×3 9=3×3
最小公倍数= 公有质因数的乘积×独有质因数的乘积
= 3×2×3=18
4、短除法:
5、特殊数字的最小公倍数:
①如果两个数是不同的质数,那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
②如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
③如果两个数具有倍数关系,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
(八)约分
理解约分的含义:把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,
这个过程叫做约分。
理解最简分数的含义:像3
1
这样分子、分母公因数只有1了,不能再约分
了,这样的分数是最简分数。
约分的方法一般有两种:
①一种是用两个数的公因数一个一个去除; ②另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
补充知识点:
比较分数大小时,分母相同的、分子相同的可以直接比较,有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。
例如:
65○12
2 (九)分数比较大小
①数形结合:
②分母相同,分子大的就大; ③分子相同,分母小的就大; ④通分比较大小
理解通分的含义:把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母
相同的分数,这个过程叫作通分。
★通分的两个要点:①分数值与原来分数相等;
②分母相同;
通分的方法:
①先求出原分数分母的最小公倍数 ②然后根据分数的基本性质
③把分数化成分母是最小公倍数的分数 (通分一般以最小公倍数作分母)
⑤比补数:(与1或者2
1的差值进行比较大小,间接判断数的大小)
例如:98和1110 1-98=9
1
1-1110=111 91﹥111(1110
更接近于1)
所以:98<11
10
配套练习:
1、9
5
米表示把( )平均分成( )份,表示有这样( )份;也可
以表示把( )平均分成( )份,有这样的( )份。
2、把7kg 糖平均分给8个小朋友,每个小朋友分到这些糖的( ),每个小朋友分到( )kg 。
(用分数表示)
3、( )÷( )=
7
2
=)
(14
=
()
10
=( )
÷12.6
4、分母是5的最简真分数有( )个,它们的和是( )。
5、在O 里填上“>”“<”或“=”。
109O 910 315O 532 97O 3628 83O 6
1
6、一个分数的分子比分母小8,约分后是9
7
,这个分数是( )。
7、在2412、94、3426、4411、28
9中,是最简分数有( )个。
8、判断:大于61而小于6
5
的分数只有3个。
( )
9、先通分,在按照从小到大的顺序排列。
(1)94、115和4
3
10、同学们分组参加植树节活动,每8人一组或每14人一组,都没有剩余,已知该班的人数在30人至60人之间,该班有学生多少人?
11、A=2×2×3×5×7 B= 2×2×2×5×11
(A,B)= [A,B]=
第六单元可能性、鸡兔同笼
1、图形中的规律
在摆n边形的活动中,摆第一个需要n个小木棒,其余的只需n-1个小木棒,找点阵中的规律,要找到点数与点阵序号的关系
2、鸡兔同笼
①运用“假设举例与列表”的方法解题时,其中列举法就是各取总数的一半,或近似一半;
②用假设法解鸡兔同笼问题时,假设算出的腿数与实际腿数的差值除以2就是兔子的个数
3、等可能性和游戏公平性
可能性相同,游戏规则才公平
4、数量和可能性大小的关系
事件发生可能性的大小能反映出物体数量的多少,可能性越大,对应的物体数量越多;可能性越小,对应的物体数量越少
数学公式及运算律
一、运算定律:
1、加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。