中考数学——锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案

中考数学——锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案
一、锐角三角函数
1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1
an 7
t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得1
2
BG CF ≤，从而得解. 【详解】
（1）证明：连接DE ，则：
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠
∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E e 的切线.
（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10
31
x = ∴150531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆
∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
考点：切线的判定
3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：△MED∽△BCA；
（2）求证：△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17
5
S1时，求cos∠ABC的
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .
【解析】
【分析】
（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明
∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以
2
114
ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以
S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25
S 1，由于1EBD S ME S EB =V ，从而可知
52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7
2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】
（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；
（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，
MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，
由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴
2
114
ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =
1
2
S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=
2
5
S 1，
∵
1EBD
S ME
S EB
=
V ，
∴1125
S ME
EB S =
，
∴
5
2
ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，
∵
1
2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，
∴cos ∠ABC=105
147
BC x AB x ==. 【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：
如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．
(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记
AC
BC
＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时，CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，
∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC =，AC
BC
=tan30°， ∴k=tan30°=3
， ∴当k 为
3
3
时，△CPE 总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
5．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，
AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=
2
2
．动点P
在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线
A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如图1，
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•3
5
=3t．
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=1
2
PM•PE=
1
2
×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．
②当1＜t≤2时，如图2，
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．
S=1 2
PM•PE=
1
2
×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=
16
7
．
当2＜t＜
16
7
时，如图3，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=
1
2
PM•MQ=
1
2
×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为
()
()
2
2
5t14t0<t1
S{7t16t1<t2
16
14t322<t<
7
-+≤
=-+≤
⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
．（3）①当0＜t≤1时，
2
2
749
S5t14t5t
55
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7
5
，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．
②当1＜t≤2时，
2
2
864
S7t16t7t
77
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8
7
，
∴当t=8
7
时，S有最大值，最大值为
64
7
．
③当2＜t＜
16
7
时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；当t=
16
7
时，S=0，∴0＜S＜4．
综上所述，当t=8
7
时，S有最大值，最大值为
64
7
．
（4）t=20
9
或t=
12
5
时，△QMN为等腰三角形．
【解析】
（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=
2
2
，利用特殊三角函数值，得到
△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：
∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．
∵sin∠DAB=2
2
，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有
4k b0
{
b4
-+=
=
，解得：
k1
{
b4
=
=
．∴y=x+4．
∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．
（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；
③当2＜t＜16
7
时，如图3．
（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：
①如图4，点M在线段CD上，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，
由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20
9
．
②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，
此时△QMN为等腰三角形，t=12
5
．
∴当t=20
9或t=
12
5
时，△QMN为等腰三角形．
考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．
6．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．
(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标
为；
(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）
()
()()()243x 430x 33
31333x x 3x 5232S {23x 1235x 93
543x 9x
+≤≤-+-<≤=-+<≤> 【解析】
解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．
（2）当0≤x≤3时，
如图1，
OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ；
由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，
可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13
（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：
EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233
==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，
)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 3x 3=∆=-=-⋅⋅=+---梯形梯形
当5＜x≤9时，如图3，
12S BE OA
OC 312x 2323 =x 1233=+⋅=--+（）（）。

当x ＞9时，如图4，
111833S OA AH 6=22x x
=⋅=⋅⋅． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：
))))243x 430x 33
313333x 5S {23x 1235x 93
543x 9+≤≤+<≤=-+<≤>． （1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：
∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ， ∵A （6，0）、C （0，3∴点B 的坐标为：（6，3
②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：
∵OC 233tan CAO OA ∠=∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，
∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33．
∴0PE
AE 3tan 60==．
∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）．
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．
7．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.
（1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值.
【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．
（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解．
试题解析：证明:连接OD
∵DE 为⊙O 的切线, ∴OD ⊥DE
∵O 为AB 中点, D 为BC 的中点
∴OD‖AC
∴DE ⊥AC
(2)过O 作OF ⊥BD,则BF=FD
在Rt △BFO 中，∠ABC=30°
∴OF=12OB , BF=32
∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=33OB
在Rt△
OFC中，tan∠BCO=
1
3
2
9
33
OB
OF
FC
OB
==.
点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识
点，有一定的综合性，根据已知得出OF=1
2
OB，BF=
3
2
OB，FC=3BF=
33
2
OB是解题关
键．
8．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．
（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；
（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；
（3）当S△BCE≤9
2
时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=23
【答案】（133
；（23秒或3秒；（3）6﹣3
【解析】
【分析】
（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；
（2）分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据3t的值；
②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，
②当△BCE在BC的上方时，
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AE，
由题意得：AD=t，
∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，
∴BC=2AC=6，
∴
∵点A、E关于直线CD的对称，
∴CD垂直平分AE，
∴AD=DE，
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，
∴DE=BD，
∴AD=BD，
∴；
（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，
∵CD垂直平分AE，
∴AD=DE=t，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2t，
∴
∴
②当∠EDB=90°时，如图3，
连接CE，
∵CD垂直平分AE，
∴CE=CA=3，
∵∠CAD=∠EDB=90°，
∴AC∥ED，
∴∠CAG=∠GED，
∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，
∴△AGC≌△EGD，
∴AC=DE，
∵AC∥ED，
∴四边形CAED是平行四边形，
∴AD=CE=3，即t=3；
综上所述，△BDE为直角三角形时，t3秒；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，
此时S△BCE=1
2
AE•BH=
1
2
×3×3=
9
2
，
易得△ACG≌△HBG，
∴CG=BG，
∴∠ABC=∠BCG=30°，
∴∠ACE=60°﹣30°=30°，
∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠DCE=15°，
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3，
∴t=6﹣33，
由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，
此时S△BCE=1
2
CE•DE=
1
2
×3×3=
9
2
，此时t=3，
综上所述，当S△BCE≤9
2
时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
9．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．
（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．
【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3
BE=
【解析】
【分析】
（1）①补全图形即可，
②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3
得出结果．
【详解】
解：（1）①补全图形如图1所示，
②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，
连接BG，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC＝90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE＝45°，
∴∠BEG＝∠GCF＝135°，
由平移的性质得：BE＝CF，
在△BEG和△GCF中，
BE CF
BEG GCF EG CG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BEG≌△GCF（SAS），∴BG＝GF，
∵G 在正方形ABCD 对角线上，
∴BG ＝DG ，
∴FG ＝DG ，
∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，
∴∠CGF+∠AGB ＝90°，
∴∠AGD+∠CGF ＝90°，
∴∠DGF ＝90°，
∴FG ⊥DG.
（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,
在Rt △ADG 中，
∵∠DAC ＝45°，
∴DH ＝AH ＝32， 在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，
∴GH ＝3＝32
3＝6，
∴DG ＝2GH ＝26，
∴DF ＝2DG ＝43，
在Rt △DCF 中，CF ＝
()22436-＝23，
∴BE ＝CF ＝23．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
(1)求证：∠EPD=∠EDO；
(2)若PC=3，tan∠PDA=3
4
，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2
5.【解析】
【分析】
（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=3
4
，可求出CD=2,进而求得
OC=3
2
，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
【详解】
（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，
∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，
∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.
（2）连接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△PAD中，
AD=4，22
PA AD
，∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△OCD中，
OC=3
2
，
OD=22
OC CD
+=5
2
，
∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=
2
5
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
25
4
，
∴OE=5
2
．
【点睛】
本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠PDA=3
4
，得线段的长是解题关键.
11．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE=15cm，AD=14cm．
（1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，
tan67°≈2.36）
（2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）
【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm；(2)扇形BOC的面积约为2
822cm．
【解析】
【分析】
(1)在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD 即为OA．
(2)用扇形面积公式即可求得.
【详解】
(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒． ∵cos DE ODE DO ∠=
， ∴150.39
OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．
．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ．
(2)∵67ODE ∠=︒，
∴157BOC ∠=︒，
∴2360
BOC n r S π=扇形 2
157 3.1424.52360
⨯⨯≈ ()2822cm ≈．
答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．
12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.
（2）若2ABD BDC ∠=∠.
①求证：CF 是O e 的切线.
②当6BD =，3tan 4
F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =
. 【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；
②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=
OC CF =34
，即可求出CF ． 【详解】
解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点， 90ADB ∴∠=︒，
CE DB ⊥Q ，
90DEC ∴∠=︒，
//CF AD ∴，
180DAC ACF ∴∠+∠=︒.
（2）①如图，连接OC .
OA OC =Q ，12∴∠=∠.
312∠=∠+∠Q ，
321∴∠=∠.
42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠，
421∴∠=∠，
43∴∠=∠，
//OC DB ∴.
CE DB ⊥Q ，
OC CF ∴⊥.
又OC Q 为O e 的半径，
CF ∴为O e 的切线.
②由（1）知//CF AD ，
BAD F ∴∠=∠，
3tan tan 4
BAD F ∴∠==，
34BD AD ∴=. 6BD =Q 483AD BD ∴=
=， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.
OC CF Q ⊥，
90OCF ∴∠=︒，
3tan 4
OC F CF ∴==， 解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
13．如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，CG 是⊙O 的弦∠PCA ＝∠ABC ，CG ⊥AB ，垂足为D
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)求证：PA AD PC CD
=； (3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ，若sin ∠P ＝
35，CF ＝5，求BE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，由PC 切⊙O 于点C ，得到OC ⊥PC ，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB 为⊙O 的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA ，证得∠OCA=∠OAC ，于是得到结论； （2）由AE ∥PC ，得到∠PCA=∠CAF 根据垂径定理得到弧AC=弧AG ，于是得到∠ACF=∠ABC ，由于∠PCA=∠ABC ，推出∠ACF=∠CAF ，根据等腰三角形的性质得到CF=AF ，在R t △AFD 中，AF=5，sin ∠FAD=35
，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t △OCD 中，设OC=r ，根据勾股定理得到方程r 2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB 为
⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3
5，得到
BE
AB
＝
3
5
，于是求得
结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=3
5
，
∴sin∠FAD=3
5
，
在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R t△OCD中，设OC=r，
∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，
∵sin∠EAD=3
5，∴
3
5
BE
AB
，
∵AB=20，
∴BE=12．
【点睛】
本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°，
①如图1，∠DCB等于多少度；
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝
2DE•tanα．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；
②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，
（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝
DEtanα即可．
【详解】
（1）①∵∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，
∴∠B ＝60°，
∵AD ＝DB ，
∴CD ＝AD ＝DB ，
∴△CDB 是等边三角形，
∴∠DCB ＝60°．
②如图1，结论：CP ＝BF ．理由如下：
∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，
∴△CDB 为等边三角形.
∴∠CDB ＝60°
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，
∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，
∴∠FDB ＝∠CDP ，
在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCP ≌△DBF ，
∴CP ＝BF.
（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．
理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，
∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，
∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，
∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，
∵∠PDF ＝2α，
∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，
∴DP ＝DF ，
在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCP ≌△DBF ，
∴CP ＝BF ，
而 CP ＝BC+BP ，
∴BF ﹣BP ＝BC ，
在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，
∴tan ∠CDE
＝CE DE ， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，
即BF ﹣BP ＝2DEtanα．
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
15．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD= 45
，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．
【答案】tan ∠AEC=3, CD=
12125
【解析】 解：在RT △ACD 与RT △ABC 中
∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中，45
BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35
BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且2 则2，2 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC EC =3
CD AC ,，
∵RT△ACD中cos∠ACD=4
5。