2019-2020学年河北省唐山市九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年河北省唐山市九年级（上）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共15小题，共30.0分）
1.下列几何体，其三视图都是全等图形的是()
A. 球
B. 圆柱
C. 三棱锥
D. 圆锥
2.已知点A(1,x)和点B(y,2)关于原点对称，则一定有()．
A. x=−2，y=−1
B. x=2，y=−1
C. x=−2，y=1
D. x=2，y=1
3.下列哪种光线形成的投影不是中心投影()
A. 探照灯
B. 太阳
C. 手电筒
D. 路灯
4.下列事件中是随机事件的是()
A. 守株待兔
B. 一手遮天
C. 水中捞月
D. 种瓜得瓜
5.已知函数y=(k2+2k)x k2+k−1是关于x的反比例函数，则k的值为()
A. 1
B. −1
C. 0或−1
D. ±1
).
6.某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次(即正面朝上的频率f=n
m 则下列说法中正确的是()
A. f一定等于1
2
B. f一定不等于1
2
C. 多投一次，f更接近1
2
D. 抛掷次数逐渐增加，f稳定在1
附近
2
7.已知反比例函数y=2
，在下列结论中，不正确的是()．
x
A. 图象必经过点(1,2)；
B. 图象在第一、三象限；
C. y随x的增大而减少；
D. 若x>1，则0<y<2
8.已知点A(−3,y1)，B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上，点P(m,n)是该抛物线
的顶点，若y1>y2≥n，则m的取值范围是()
A. −3<m<2
B. −3
2<m<−1
2
C. m>−1
2
D. m>2
9.下列关于位似图形的表述，正确的是()
 ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
A. ① ②
B. ① ④
C. ②
D. ③ ④
10.河堤的横断面如图所示，堤高5m，迎水坡AB=13m，则斜坡AB的坡度i是()
A. 1∶3
B. 1∶2.6
C. 1∶2.4
D. 1∶2
11.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，若
2∠BAD=∠BCD，则BD⏜的长为()
A. π
B. 3
2
π
C. 2π
D. 3π
12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−1,0)，(3,0)，则这条抛物线的对称轴
是直线()
A. x=1
B. x=−1
C. x=0
D. x=2
13.如果一个三角形的顶点恰好在它所对边的垂直平分线上，那么这个三角形是()．
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰三角形
14.如图，点D在△ABC边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似
的是()
A. ∠ABD=∠C
B. ∠ADB=∠ABC
C. BC2=CD⋅AC
D. AB2=AD⋅AC
15.某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y(元)与童
装的销售价x(元/件)之间的函数表达式为y=−x2+160x−4800.若想每天获得的利润最大，则销售价应定为()
A. 110元/件
B. 100元/件
C. 90元/件
D. 80元/件
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
16.二次函数y=−2x2+4x+1图象的开口方向是开口向______．
17.在比例尺为1：400000的地图上，量得AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离
为______ m.
18.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园
的面积最大，这个最大面积是______m2．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19.计算：tan260°−2sin30°−√2cos45°．
四、解答题（本大题共6小题，共53.0分）
20.如图是一个几何体的主视图与俯视图，根据图中数据(单位：mm)，求该物体的体
积(π取值3.14)．
21.如图，已知AB//CD，AC与BD相交于点E，∠ABE=∠ACB．
(1)求证：△ABE∽△ACB；
(2)如果AB=6，AE=4，求CD的长．
22.将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌
面上．
(1)从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；
(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；
再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
23.如图，已知正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正
半轴上，且面积为16，点H是正方形OABC的中心，反比例
函数y=k
经过点H，与AB，BC分别交于点E、F，过点H作
x
HD⊥OA于点D，以DH为对称轴，且经过点E的抛物线L
与反比例函数的图象交于点P．
(1)求k的值；
(2)若抛物线经过点F，求此时抛物线L的函数解析式；
≤x0≤8，求m
(3)设抛物线L的顶点的纵坐标为m，点P的坐标为(x0,y0)，当8
3
的取值范围．
24.如图，一艘船在A处望见灯塔E在北偏东60°方向上，此船
沿正东方向航行60海里后到达B处，在B处测得灯塔E
在北偏东15°方向上．
(Ⅰ)求∠AEB的度数；
(Ⅱ)①求A处到灯塔E的距离AE；
②已知灯塔E周围40海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险？
(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)
25.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放
在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种
函数的理由；
(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：三棱锥，圆柱，圆锥，球中，
三视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，
故选：A．
任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，其他的几何体的视图都有不同的．
本题考查简单几何体的三视图，本题解题的关键是看出各个图形的在任意方向上的视图．2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，关于原点对称的两个点的坐标的横坐标和纵坐标都互为相反数，解答此题根据这一规律解答即可．
【解答】
解：∵点A(1,x)和点B(y,2)关于原点对称，
∴x=−2，y=−1．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有
B选项得到的投影为平行投影，故选B．
找到不是灯光的光源即可．
解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的
事件．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】
解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；
B.一手遮天是不可能事件，故B不符合题意；
C.水中捞月是不可能事件，故C不符合题意；
D.种瓜得瓜是必然事件，故D不符合题意．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的定义，注意反比例函数定义中k为非零常数.根据反比例函数的定义可得关于k的一元二次方程及不等式，解之即可得出k的值．
【解答】
解：∵y=(k2+2k)x k2+k−1是关于x的反比例函数，
∴{k2+2k≠0
，
k2+k−1=−1
解得k=−1，
故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频率估计概率分别进行判断即可．
【解答】
)，解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次(即正面朝上的频率f=n
m
左右．
则抛掷次数逐渐增加时，f稳定在1
2
故选D．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
(k≠0)的图象是双曲线：当k>0本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=k
x
时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.因为1×2=2，所以图象必经过点(1,2)，故本选项正确；
B.因为反比例函数y=2
中，k=2>0，所以此函数的图象在一、三象限，故本选项正
x
确；
C.∵反比例函数y=2
中，k=2>0，所以此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减
x
小，故本选项错误；
D.当x>1时，此函数图象在第一象限，所以0<y<2，故本选项正确．
故选C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据点A(−3,y1)，B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上，点P(m,n)是该抛物线的顶
<m，从而可点，y1>y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x=m，则−3+2
2
以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】
解：∵点P(m,n)是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为直线x=m，
∵点A(−3,y1)，B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上，且y1>y2≥n，
∴−3+2
<m，
2
，
解得m>−1
2
故选：C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查位似变换.根据位似变换的定义及性质解答．
【解答】
解： ①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故本选项错误；
 ②位似图形一定有位似中心，故本选项正确；
 ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形不一定是位似图形，故本选项错误；
 ④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故本选项错误．
故选C．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了解直角三角形应用−坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题．如图，在Rt△ABC中，根据坡度的定义知道斜坡AB 的坡度=BC
，然后根据已知条件即可确定斜坡AB的坡度．
AC
【解答】
解：如图，在Rt△ABC中，
∵斜坡AB的坡度=BC
，
AC
而堤高BC=5cm，迎水坡AB的长为13m，
∴AC=√AB2−BC2=12(cm)，
=1∶2.4 ．
∴斜坡AB的坡度是：5
12
故选C．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵2∠BAD=∠BCD，
∴2∠BAD+∠BAD=180°，
解得：∠BAD=60°，
连接OB、OD.则∠BOD=2∠BAD=120°，
=2π；
∴BD⏜的长=120π×3
180
故选：C．
由圆内接四边形的性质求出∠BAD=60°，连接OB、OD，根据圆周角定理得出∠BOD= 120°，再由弧长公式即可得出答案．
本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称轴，属于基础题．
根据题意，可知：两交点关于抛物线的对称轴对称，即可得解．
【解答】
解：∵抛物线与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
=1．
则此抛物线的对称轴是直线x=−1+3
2
故选：A．
13.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的概念，掌握线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的概念判断即可．
【解答】
解：∵三角形的顶点恰好在它所对边的垂直平分线上，
∴三角形的顶点与它所对边的两个端点距离相等，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选D．
14.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形判定，题中所给的两个三角形已有一个公共角相等，再添加一个条件使两个三角形相似即可．
【解答】
解：由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；故A、B选项都不符合题意;
C、由BC2=CD⋅AC，可得：BC
CD =AC
BC
，两组对应边的比相等，但∠A不是夹角，无法判
定两个三角形相似，故C选项符合题意；
D、由AB2=AD⋅AC，可得：AB
AD =AC
AB
，再加上∠A是公共角，可以判定△ADB∽△ABC，
不符合题意．
故选C．
15.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数求最大值问题，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
根据函数解析式为y=−x2+160x−4800，可得当x=−160
−2
=80时，y有最大值1600．【解答】
解：∵y=−x2+160x−4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=−160
−2=80时，y=4×4800−1602
−4
=1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选D．
16.【答案】下
【解析】解：∵y=−2x2+4x+1中a=−2<0，
∴图象的开口向下，
故答案为：下．
根据二次函数y=−2x2+4x+1中a=−2<0，即可判定．
本题考查了二次函数的性质，通过a的符号即可判断开口方向．17.【答案】96000
【解析】解：设AB两地实际距离为xcm．
根据题意得：1
400000=24
x
，
解得：x=9600000，
∵9600000cm=96000m，
∴AB两地实际距离为96000m．故答案为：96000．
首先设AB两地实际距离为xcm.根据比例尺的性质即可得方程：1
400000=24
x
，解此方程
即可求得答案，注意统一单位．
此题考查了比例尺的性质．此题比较简单，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．
18.【答案】225
2
【解析】解：设矩形的长为xm，则宽为30−x
2
m，
菜园的面积S=x⋅30−x
2=−1
2
x2+15x=−1
2
(x−15)2+225
2
，(0<x≤20)
∵当x<15时，S随x的增大而增大，
∴当x=15时，S
最大值=225
2
m2，
故答案为：225
2
．
设矩形的长为xm，则宽为30−x
2
m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．
本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(√3)2−2×1
2−√2×√2
2 =3−1−1
=1．
【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.【答案】解：该几何体的体积为：
3.14×(20÷2)2×20+25×30×40
=36280(mm3).
故该几何体的体积是36280mm3．
【解析】该几何体一个圆柱叠放在一个长方体上面，因此体积是一个圆柱体和一个长方体体积的和．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是判断该几何体的形状．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB；
(2)解：∵△ABE∽△ACB，
∴AB
AC =AE
AB
，
∴AB2=AC⋅AE，∵AB=6，AE=4，∴AC=AB2
AE
=9，
∵AB//CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴CD
AB =CE
AE
，
∴CD=AB⋅CE
AE =AB⋅(AC−AE)
AE
=6×5
4
=15
2
．
【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
(1)根据相似三角形的判定证明即可；
(2)利用相似三角形的性质解答即可．
22.【答案】解：(1)P(偶数)=2
4=1
2
；
(2)树状图为：
或列表法为：
第一次
第二次
1 2 3 4 1− 21 31 41
2 12− 32 42
3 13 23− 43
4 14 2434 −
所以P(4的倍数)=3
12=1
4
．
【解析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)∵正方形OABC面积为16，
∴A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)，H(2,2)，
∵反比例函数y=k
x
经过点H，
∴k=4；
(2)由已知可知：F(1,4)，E(4,1)，
∵DH为对称轴，
设二次函数解析式为y=a(x−2)2+ℎ，
∴{4=a+ℎ
1=4a+ℎ，
∴{a=−1
ℎ=5，
∴y=−x2+4x+1，
(3)∵P(x0,y0)在反比例函数图象上，
∴y0=x0
4
，
当8
3≤x0≤8，有3
2
≤y0≤1
2
，
设函数y=a(x−2)2+m，∵E(4,1)在函数上，
∴a=1−m
4
，
∴当P(8
3,3
2
)时，m=25
16
∴当P(8,1
2)时，m=17
16
，
∴17
16≤m≤25
16
．
【解析】(1)根据正方形面积求出各点坐标，将点H(2,2)代入反比例函数表达式即可；
(2)二次函数解析式为y=a(x−2)2+ℎ，将点E，F，代入即可求；
(3)设函数y=a(x−2)2+m，当8
3≤x0≤8，有3
2
≤y0≤1
2
，E(4,1)在函数上，所有a=
1−m 4，将点P(8
3
,3
2
)，P(8,1
2
)时代入，可求m的范围．
本题考查反比例函数图象，二次函数图象，正方形的综合知识，利用待定系数法求解函数解析式．数形结合研究函数的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(Ⅰ)∠AEB=180°−30°−90°−15°=45°；
(Ⅱ)①作BM⊥AE，EH⊥AB，垂足分别为M，H，
∵AB=60，∠MAB=30°，
∴BM=30，AM=AB⋅cos∠MAB=60×cos30°=30√3，
∵∠MBE=90°−∠AEB=90°−45°=45°=∠AEB，
∴EM=ME=30，
∴AE=30√3+30≈82(海里)，
∴EH=15√3+15≈41(海里)，
②EH=41>40，
∴此船继续向正东方向航行，无触礁危险．
【解析】(Ⅰ)根据方向角的概念、三角形内角和定理计算即可；
(Ⅱ)①作BM⊥AE，EH⊥AB，求出AM、BM，得到AE，根据正弦的概念求出EH，比较即可得到答案．
②根据EH的长度即可判断；
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵x=−2时，y=49，
x=0时，y=49，
x=2时，y=41，
∴{4a−2b+c=49 c=49
4a+2b+c=41
，
解得{a=−1 b=−2 c=49
，
所以，y关于x的函数关系式为y=−x2−2x+49；不选另外两个函数的理由：
∵点(0,49)不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数；
∵点(−4,41)，(−2,49)，(2,41)不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数；
(2)由(1)得，y=−x2−2x+49=−(x+1)2+50，∵a=−1<0，
∴当x=−1时，y有最大值为50，
即当温度为−1℃时，这种作物每天高度增长量最大；
(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，−x2−2x+49=25，
整理得，x2+2x−24=0，
解得x1=−6，x2=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在−6℃< x<4℃．
【解析】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，然后选择x=−2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x不能为0，一次函数的特点排除另两种函数；
(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围．。