北京海淀区高三上学期数学期中考试试卷(附答案)

=
−
3 2
，b3
=
−
3 2
，b4
=
1．
(2) （必要性）当数列 {an} 是等差数列时，设其公差为 d，
当 d > 0 时，an − an−1 = d > 0，
所以 an > an−1，
5
5
根据余弦定理 c2 = a2 + b2 − 2ab
所以 △ABC 的面积 S△ABC
=
1 2
cos C 和 ab sin C
=a +6√b 6=．11，c
=
7，得到
ab
=
30，
19.
(1) 函数 f (x) 的定义域为 (0, +∞) 且 m ̸= 0．
f ′ (x) = 2mx − 1 − 1 = 2m2x2 − mx − 1 = (2mx + 1) (mx − 1) ．
B. 4
C. − 3
3
3
4
D. 3 4
5. 在等差数列
{an}
中，a1
=
1，
a6 a5
= 2，则公差 d 的值是 (
)
A. − 1
B. 1
C. − 1
3
3
4
D. 1 4
6. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = n +
a n
，则“a2
> a1”是“数列 {an} 单调递增”的 (
)
A. 充分而不必要条件
y
−
( −
3 2a
−
23
3)
=
a
(27 x
−
( −
2
)) ，
3
3
3 27
3
化简得到 y = ax − 23 ，
27 所以无论 a 为何值，直线 y = ax −
23
都是曲线
y
=
f
(x)
在点
( −
2
,
f
( −
2
))
处的切线．
27
3
3
(3) 取 a 的值为 −2．这里 a 的值不唯一，只要取 a 的值小于 −1 即可．
√ 18. 在 △ABC 中，c = 7，sin C = 2 6 ．
5 (1) 若 cos B = 5 ，求 b 的值；
7 (2) 若 a + b = 11，求 △ABC 的面积．
19. 已知函数 f (x) = mx2 − x − ln x ． m
(1) 求函数 f (x) 的极值； (2) 求证：存在 x0，使得 f (x0) < 1．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9. 计算 lg 4 + lg 25 =
．
10. 已知平面向量 −→a = (1, 2)，−→b = (3, 1)，则向量 −→a ，−→b 的夹角大小为
．
11. 已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，下表给出了 Sn 的部分数据：
n 1 2 3 4 ···
A. f (x) = x2 − |x|
∫ 3.
e
1 dx =(
)
B. f (x) =
1 x2
C. f (x) = |ln x|
1x
A. −1
B. 0
C. 1
D. f (x) = e|x| D. e
4. 角 θ 的终边经过点 P (4, y)，且 sin θ = − 3 ，则 tan θ =( )
5
A. − 4
显然 n 为奇数时，不等式不成立，
当 n 为偶数时，即 2n ⩾ 241，解得 n ⩾ 8，
所以 n 的最小值为 8．
16.
(1) f (0) = 2 sin 0 + cos 0 = 1． sin 0 + cos 0
(2) 因为 sin x + cos x ̸= 0，
所以 x ̸= kπ − π ，
当 1 < x 时，g′ (x) < 0，g (x) 单调递减．
所以 所以
g f
((x)1的)最−大1 值= 为lngm(1−)
= m
−1 <
< 0， 0，结论成立．
m
m
20.
(1) 因为 an = 2n − 3n，
所以 a1 = −1，a2 = −2，a3 = −1，a4 = 4，
所以
b1
=
−1，b2
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知向量
−→a ，−→b ，−→c
满足
−→a
+
−→ b
+
−→c
=
−→0 ，且
−→a 2
>
−→b 2
>
−→c 2，则
−→a
·
−→b ，−→b
·
−→c ，−→c
·
−→a
中最小的值是
()
A.
−→a
·
−→ b
B.
−→ b
·
−→c
C. −→c · −→a
b = 5
b = 6,
所以 △ABC 的面积 S△ABC
=
1 ab sin C = 6√6， 2
当 cos C = − 1 时，根据余弦定理 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C，
5
又 a + b = 11，c = 7，得到 ab = 45，
此时方程组 a + b = 11, 无解，
5
5
当 cos C = 1 时，根据余弦定理 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C，且 a + b = 11，c = 7， 5
得到 49 = 121 − 2ab − 2ab ，所以 ab = 30，

5
所以 a + b = 11,
ab = 30,
解得 a = 6, 或 a = 5,
1
) =
ln m ，
“存在 x0，使得 f (x0) < 1”等价于“f
( 而f
1
) −1=
ln m − m ，
(
1 m
)
<
1”，
m
m
m
m
设 g (x) = ln x − x，
则 g′ (x) = 1 − 1 = 1 − x ，
x
x
当 0 < x < 1 时，g′ (x) > 0，g (x) 单调递增，
大值”为假命题的一对函数可以是 f (x) =
，g (x) =
．
ln x, 0 < x ⩽ a 14. 已知函数 f (x) = e , x > a ．
x
（Ⅰ）若函数 f (x) 的最大值为 1，则 a =
；
（Ⅱ）若函数 f (x) 的图象与直线 y = a 只有一个公共点，则 a 的取值范围为
x f ′ (x)
( 0, −
1
)
2m
+
−1 2m 0
( −
1
) , +∞
2m
−
f (x)
↗
极大值
↘
所以函数
f
(x)
在
x
=
−
1 2m
处取得极大值
f
( −
1 2m
)
=
3 4m
+
ln (−2m) ． m
(2) 当 m < 0 时，f (1) = m − 1 < 0 < 1，结论成立．
(
当 m > 0 时，由（Ⅰ）知道，由（Ⅰ）可知，f (x) 的最小值是 f
所以 q = a2 = −2．
a1
所以 an = a1qn−1 = −1 (−2)n−1 = − (−2)n−1．
(2) 因为 Sn =
a1 (1 − qn) 1−q
=
−1 (1 − (−2)n) 1 − (−2)
=
(−2)n − 1 ， 3
所以 Sn ⩾ 80，即
(−2)n − 1 3
⩾ 80，即 (−2)n ⩾ 241，
18.
(1) 在 △ABC 中， 因为 cos B = 5 ，且 B ∈ (0, π)，
7√ 所以 sin B = 2 6 ，
7 根据正弦定理 b = c ，
sin B √sin C 代入 c = 7，sin C = 2 6 ，解得 b = 5．
5 (2) 法一：
在 △ABC 中，√
因为 sin C = 2 6 ，所以 cos C = ± 1 ，
√( = 2 sin x +
π
) .
令 2kπ − π ⩽ x + π4 ⩽ 2kπ + π ，
2
4
2
解得 2kπ − 3π ⩽ x ⩽ 2kπ + π , k ∈ Z．
4
4
令 k = 0，得到 − 3π ⩽ x ⩽ π ，
因为 x ̸=
kπ −
π 4
4 ，
4
所以
f
(x)
在区间
[ 0,
π
]
上单调递增区间为
Sn
t 10 19
65 2
···
则数列 {an} 的公比 q =
，首项 a1 =
．
12. 函数 f (x) =
sin x 2
−a
在区间 [0, π] 上的最大值为 2，则 a =
．
13. 能说明“若 f (x) > g (x) 对任意的 x ∈ [0, 2] 都成立，则 f (x) 在 [0, 2] 上的最小值大于 g (x) 在 [0, 2] 上的最
(2) 求函数
f
(x)
在
[ 0,
π
]
上的单调递增区间．
2
17. 已知函数 f (x) = x3 + x2 + ax − 1． (1) 当 a = −1 时，求函数 f (x) 的单调区间； (2) 求证：直线 y = ax − 23 是曲线 y = f (x) 的切线； 27 (3) 写出 a 的一个值，使得函数 f (x) 有三个不同的零点（只需直接写出数值）．
北京海淀区高三上学期数学期中考试试卷
1. 已知集合 A = {x | x − a ⩽ 0}，B = {1, 2, 3}，若 A ∩ B ̸= ∅，则 a 的取值范围为 ( )
A. (−∞, 1]
B. [1, +∞)
C. (−∞, 3]
D. [3, +∞)
2. 下列函数中，是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递增的是 ( )
′ (x) = 3x2 + 2x + a，令 f = −1，直线 y = ax − 23
′ (x) = 3x2 不经过 (0,
+ 2x + a = a，解得
−1)，而
f
( −
2
)
=
x1 = 0，x2 − 2 a − 23
= ，
−
2 3
，
所以曲线 y
=
f
( (x) 在点 −
2
,
f
(27 −
2
))
处的切线为
D. 不能确定的
8. 函数 f
(x)
=
x，g (x)
=
x2−x+3，若存在 x1, x2, · · ·
, xn
∈
[ 0,
9 2
] ，使得 f
(x1)+f
(x2)+· · ·+f
(xn−1)+g (xn)
=
g (x1) + g (x2) + · · · + g (xn−1) + f (xn)，则 n 的最大值为 ( )
4
{
即函数 f (x) 的定义域为 x | x ̸= kπ −
π 4
,
+ cos 2x
sin x + cos x
= 2 sin x + cos2 x − sin2 x sin x + cos x
= 2 sin x + cos x − sin x
= sin x + cos x
当 x 变化时，f ′ (x)，f (x) 的变化情况如表：
x f ′ (x) f (x)
(−∞, −1) + ↗
−1
0 极大值
( −1,
1
)
3
−
↘
1 3 0
极小值
(
1
,
) +∞
3
+
↗
所以函数 f
( (x) 的单调递增区间为 (−∞, −1)，
1
,
) +∞ ，单调递减区间为
( −1,
1
) ．
3
3
(2) 因为 f 因为 f (0)
．
e
15. 设 {an} 是等比数列，Sn 为其前 n 项和，且 a2 = 2，a1 + S2 = 0． (1) 求 {an} 的通项公式； (2) 若 Sn ⩾ 80，求 n 的最小值．
16. 已知函数 f (x) = 2 sin x + cos 2x ．
sin x + cos x
(1) 求 f (0) 的值；
ab = 45
综上，△ABC 的面积 S△ABC
=
1 ab sin C 2
= 6√6．
法二：
在 △ABC 中，
因为 a2 + b2 ⩾ (a + b)2 = 121 > c2，
2
2
根据余弦定理 cos C = a2 + b2 − c2 ，得到 cos C > 0，
√
2ab
因为 sin C = 2 6 ，所以 cos C = 1 ，
( 0,
π
) ．
2
4
17.
(1) 函数 f (x) = x3 + x2 + ax − 1 的定义域为 (−∞, +∞)，
当 a = −1 时，f (x) = x3 + x2 − x − 1，所以 f ′ (x) = 3x2 + 2x − 1，
令 f ′ (x) = 0，得 x1 = −1，x2 =
1， 3
参考答案
12345678 BDCCACAD
9. 2 10. π
4 11. 3 ，4
2 12. −1 或 2
13. x，x − 1
14. e，(0, e]
15.
(1) 设 {an} 的公比为 q，
因为 a1 + S2 = a1 + a1 + a2 = 2a1 + a2 = 0，
又 a2 = 2，
所以 a1 = −1，
20. 记无穷数列 {an} 的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 bn =
Mn + mn ． 2
(1) 若 an = 2n − 3n，请写出 b1，b2，b3，b4 的值；
(2) 求证：“数列 {an} 是等差数列”是“数列 {bn} 是等差数列”的充要条件；
(3) 若 ∀n ∈ N∗，|an| < 2018，|bn| = 1，求证：存在 k ∈ N∗，使得 ∀n ⩾ k，有 bn+1 = bn．